陳艷陽

? 江蘇省南通市北城中學(xué)

變式教學(xué)以試題改編、一題多解、知識(shí)遷移等為手段,從不同的角度引發(fā)學(xué)生對(duì)試題產(chǎn)生新的思考,有效鍛煉學(xué)生的思維能力,是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種常用的訓(xùn)練手段.變式教學(xué)使學(xué)生對(duì)原有的試題產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí),為知識(shí)建構(gòu)、實(shí)現(xiàn)舉一反三創(chuàng)造了條件,調(diào)動(dòng)學(xué)生的高階思維參與學(xué)習(xí)活動(dòng),有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的開展,提升學(xué)習(xí)效果.

1 何謂深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)積極主動(dòng)地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行觀察、分析和探究,并主動(dòng)接受新的知識(shí),領(lǐng)悟其中思想,從而將新知與舊知進(jìn)行整合,進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu),有效實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移,尋求解決問題路徑的一種學(xué)習(xí)方式.深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者能夠有效整合知識(shí),注重對(duì)學(xué)習(xí)過程的反思與建構(gòu),從而培養(yǎng)批判性思維,發(fā)展思維的靈活性,提升解決問題的能力.本文從八年級(jí)“直角三角形”中的一道習(xí)題出發(fā),通過習(xí)題變式展開教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)和方法的建構(gòu)與反思,從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

2 指向深度學(xué)習(xí)的變式教學(xué)

2.1 例題展示與分析

例題如圖1,已知AD與BD垂直,AC與BC垂直,AB的中點(diǎn)為E,請(qǐng)問DE與CE是否相等,并說明理由.

圖1

解析：因?yàn)锳B的中點(diǎn)為E,AD與BD垂直,AC與BC垂直,所以根據(jù)直角三角形斜邊與斜邊上中線的關(guān)系,可以得到DE,CE都等于AB的一半.因此,DE與CE相等.

本題考查學(xué)生對(duì)直角三角形斜邊與斜邊上中線的關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)的掌握情況,通過將兩個(gè)直角三角形疊加,找到它們共用的斜邊,構(gòu)建出多種等量關(guān)系,實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化,從而找到答案.本題在結(jié)構(gòu)上看似簡(jiǎn)單,巧妙地構(gòu)造出共用斜邊的直角三角形,實(shí)則結(jié)構(gòu)精巧,內(nèi)涵豐富.通過這道例題,學(xué)生更加深刻地掌握了直角三角形的性質(zhì)定理,提升了知識(shí)運(yùn)用能力.

2.2 變式教學(xué)的實(shí)踐

(1)線段關(guān)系

變式1如圖2,已知AD與BD垂直,AC與BC垂直,AB的中點(diǎn)為E,CD的中點(diǎn)為F,證明EF與CD垂直.

圖2

分析：本題從等腰三角形的性質(zhì)出發(fā),將原題中求解線段的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明線段的位置關(guān)系,從而引導(dǎo)學(xué)生能夠透過現(xiàn)象抓住本質(zhì),運(yùn)用已學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,進(jìn)一步理解三角形的性質(zhì)定理,靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題,發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

(2)角度關(guān)系

變式2如圖3,在三角形ABC中,BD與AC垂直,垂足為D,AB與CE垂直,垂足為E,BC的中點(diǎn)為F,∠EFD等于50°,求∠DEF的度數(shù).

圖3

變式3如圖4,在四邊形ABCD中,∠ABC和∠ADC為直角,對(duì)角線AC的中點(diǎn)為E,連接BE,ED,BD,若∠BAD等于58°,求∠EBD的度數(shù).

圖4

分析：變式2和變式3依托放置在不同位置的直角三角形進(jìn)行設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考,使學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)遷移,從思考線段間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樗伎冀情g的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階,提升學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力,進(jìn)一步理解三角形的性質(zhì)定理.

變式4如圖5,在銳角三角形ABC中,AB與AC上的高分別是CD和BE,M和N分別是線段BC和DE的中點(diǎn).

圖5

(1)連接DM與ME,請(qǐng)問∠A與∠DME之間是什么關(guān)系,并證明.

(2)如圖6,若將銳角三角形ABC變?yōu)殁g角三角形ABC,你的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.

圖6

解析：(1)∠DME=180°-2∠A.下面證明.由已知條件,可知BM=DM=EM=CM,因此∠ABC=∠MDB,∠ACB=∠MEC.所以∠BMD+∠CME=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=2∠A,故∠EMD=180°-(∠BMD+∠CME)=180°-2∠A.

(2)連接DM與ME,可以得到∠BME+∠CMD=2(∠ABC+∠ACB),經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以得到∠DME=2∠BAC-180°.

變式4通過條件的拓展,進(jìn)一步探究三角形中的角度關(guān)系,考查學(xué)生從復(fù)雜問題中抽象數(shù)學(xué)模型的能力,提升分析和推理能力,進(jìn)一步促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

3 多角度設(shè)計(jì)指向知識(shí)遷移

3.1 基本圖形中的線段長度關(guān)系

變式5如圖7,已知AC與BC垂直,BD與AD垂直,AB的中點(diǎn)為E,AB與CD相交于點(diǎn)F,假設(shè)AD與BD相等,EF,DE的長度分別為3和4,求CD的長度.

圖7

本題利用基本圖形中直角三角形共用斜邊,運(yùn)用勾股定理、等面積法、等腰三角形三線合一等知識(shí)求解線段的長度,滲透了知識(shí)遷移的思想,使學(xué)生能夠綜合運(yùn)用知識(shí)求解問題,培養(yǎng)思維的靈活性.

3.2 基本圖形中的坐標(biāo)問題

變式6如圖8,在三角形ABC中,∠A等于67.5°,BC的長度等于4,BE與CA垂直,垂足為E,CF與AB垂直,垂足為F,BC的中點(diǎn)為D.假設(shè)以F為原點(diǎn),以FD所在的直線為x軸構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是( ).

圖8

本題在基本圖形中加入了坐標(biāo)軸的知識(shí),使學(xué)生學(xué)會(huì)將三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形與坐標(biāo)軸的知識(shí)相結(jié)合,利用直角三角形共用斜邊的知識(shí),結(jié)合線段的長度求解點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)一步發(fā)散思維,學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象抓住本質(zhì),拓寬了視野,培養(yǎng)舉一反三和知識(shí)遷移的能力.

3.3 基本圖形中的面積關(guān)系

變式7如圖9,已知三角形ABC中,BD和CE是高,BC邊的中點(diǎn)為F,連結(jié)DE,EF和DF.

圖9

(1)如果∠A等于45°,請(qǐng)判斷三角形DEF的形狀,并說明理由;

(2)如果∠A與∠DFE的度數(shù)比為5∶2,BC的長度為4,求三角形DEF的面積.

解析：(1)三角形DEF是等腰直角三角形.下面證明.因?yàn)锽D和CE是高,BC邊上的中點(diǎn)為F,所以EF等于BC的一半,且與DF相等.因?yàn)椤螦等于45°,所以∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°.因?yàn)镋F與BF相等,所以∠EBF與∠FEB相等,同理∠DCF與∠FDC相等.于是∠FEB與∠FDC的和為135°,所以∠BFE與∠CFD的和為90°.由此可知,三角形DEF為等腰直角三角形.

(2)作EG垂直于DF,垂足為G.設(shè)∠A為5x,則∠DFE為2x,所以∠FEB+∠FDC=∠EBF+∠DCF=180°-5x.因此可得∠BFE+∠CFD=10x,所以10x+2x=180°,解得x=15°.結(jié)合BC的長度為4,可以求得三角形DEF的面積為1.

本題涉及等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理及面積公式,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.通過變式7,進(jìn)一步考查學(xué)生從綜合性問題中抽象出基本圖形的能力,有效訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)和遷移知識(shí)的能力.根據(jù)這一變式練習(xí),鞏固了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)圖形性質(zhì)定理的掌握,同時(shí)又開闊了視野,在不同角度的知識(shí)應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)能力的提升和思維的跨躍.

從基本的習(xí)題出發(fā),通過題干條件和設(shè)問內(nèi)容的變化,實(shí)現(xiàn)變式練習(xí),使學(xué)生能夠通過基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想,形成關(guān)于基本圖形的結(jié)論、解題思路和解題方法,并能夠?qū)⒔忸}方法靈活運(yùn)用到變式習(xí)題中,有效鍛煉了抽象思維能力.這樣的教學(xué)過程能幫助學(xué)生建立起一種解決問題的模型,并應(yīng)用這一模型解決問題,既落實(shí)了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,同時(shí)又發(fā)展了抽象思維能力,在積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)又體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的思想和方法,在變式練習(xí)中落實(shí)了核心素養(yǎng).