俞宏毓,尉勁松,胡 松,程一帆,4

(1.南京信息工程大學(xué) 教師教育學(xué)院,江蘇 南京 210044;2.紹興市柯橋區(qū)蘭亭中學(xué),浙江 紹興 312041;3.南京市第二十九中學(xué)初中部,江蘇 南京 210029;4.江蘇省啟東中學(xué),江蘇 南通 226200)

一、問題的提出

發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是基礎(chǔ)教育課程改革的主要導(dǎo)向。近五年國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育界涌現(xiàn)出眾多關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究,而如何發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是其主要議題之一。“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展的主要載體”[1]246,改進(jìn)課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。關(guān)于如何改進(jìn)課堂教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),喻平曾進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施研究并提供了很多典型的案例[2]。

拓展課是最近十年盛行的一種新課型,它強(qiáng)調(diào)對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)充、開拓、擴(kuò)展、延伸和展開,以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。拓展課一般沒有可參考的教材,對(duì)教師的學(xué)科功底、設(shè)計(jì)能力及教學(xué)水平都有較高的要求。通過對(duì)一些拓展課的課堂觀察及研究發(fā)現(xiàn),目前拓展課設(shè)計(jì)及教學(xué)存在一些問題,如有的拓展課缺乏目標(biāo)性,盲目延伸和拓展,超出學(xué)生的能力范圍,且拓展后沒有原理或方法上的歸納和總結(jié)。目前關(guān)于拓展課的研究雖然涉及各個(gè)學(xué)段各個(gè)學(xué)科,但數(shù)量不多。已有相關(guān)研究成果主要出自一線教師,內(nèi)容集中在拓展課的開發(fā)、拓展課設(shè)計(jì)與實(shí)施和拓展課教學(xué)案例三個(gè)方面。比較典型的研究如浙江省溫州市溫州大學(xué)城附屬學(xué)校陳加倉(cāng)的系列研究,其中有很多典型的小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課案例[3]。為進(jìn)一步研究如何設(shè)計(jì)好拓展課以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,課題組于2019年12月以“直線的軸對(duì)稱和平移”為教學(xué)主題在浙江省紹興市柯橋區(qū)KY中學(xué)進(jìn)行了教學(xué)研究活動(dòng),下面對(duì)此予以介紹并作相關(guān)闡述。

二、研究概況

(一)參與人員與研究對(duì)象

浙江省紹興市柯橋區(qū)KY中學(xué)目前有50個(gè)班級(jí)、150多名教職工,是一所浙江省示范初中,在浙江省有較高的知名度。參與該教學(xué)研究活動(dòng)的專家有兩位,一位是某重點(diǎn)大學(xué)從事數(shù)學(xué)教育研究的教師YHY(副教授,博士),另外一位是紹興市柯橋區(qū)某中學(xué)校長(zhǎng)YJS(中學(xué)高級(jí)教師,教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富)。YHY的四名數(shù)學(xué)教育方向外籍碩士研究生也參與了本次教研活動(dòng)。本次教學(xué)實(shí)驗(yàn)的兩位執(zhí)教者即教師Z和教師Q均為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè),教齡分別為12年、7年,均為中學(xué)二級(jí)教師,屬于經(jīng)驗(yàn)教師。本次實(shí)驗(yàn)班級(jí)為八年級(jí)四個(gè)平行班,各班學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相當(dāng)[4]。

(二)研究材料

“直線的軸對(duì)稱和平移”是“一次函數(shù)的圖象”的拓展課。該校使用的是浙江教育出版社2013年版教材,“一次函數(shù)”安排在八年級(jí)上冊(cè)第5章。在第4章“圖形與坐標(biāo)”中,已經(jīng)學(xué)過“坐標(biāo)平面內(nèi)圖形的軸對(duì)稱和平移”,該部分主要涉及的是“點(diǎn)的軸對(duì)稱和平移”。

(三)研究思路和過程

“直線的軸對(duì)稱和平移”是“點(diǎn)的軸對(duì)稱和平移”內(nèi)容的延伸和拓展,實(shí)驗(yàn)?zāi)康募赐ㄟ^拓展課的學(xué)習(xí)使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從點(diǎn)的軸對(duì)稱和平移到線的平移和軸對(duì)稱的延伸,初步掌握函數(shù)圖象的對(duì)稱與平移規(guī)律,為二次函數(shù)以至高中函數(shù)圖象的對(duì)稱與平移學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。這在一定程度上可以促進(jìn)學(xué)生抽象能力、幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

整節(jié)課主要有兩部分內(nèi)容:從點(diǎn)的軸對(duì)稱延伸到直線的軸對(duì)稱、從點(diǎn)的平移延伸到直線的平移。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用,處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流”[5]的教學(xué)理念,教師教學(xué)可以通過復(fù)習(xí)點(diǎn)的變換,引導(dǎo)學(xué)生探索直線的變換。從點(diǎn)的軸對(duì)稱延伸到直線的軸對(duì)稱可以通過復(fù)習(xí)點(diǎn)的軸對(duì)稱、找點(diǎn)確定直線、通過點(diǎn)的坐標(biāo)確定直線的方程,找點(diǎn)是找特殊的點(diǎn),對(duì)于直線來說一般是與對(duì)稱軸的交點(diǎn)。而直線的平移可以讓學(xué)生自主探索,首先是直線的上下平移,學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種思路:第一種思路是類比直線的軸對(duì)稱,通過平移后特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來求直線方程;第二種是根據(jù)平移直接改變?cè)本€方程中的b值。教師需要指出這兩種方法的原理是一致的,都是由點(diǎn)延伸到線,而且平移所得直線與原直線是平行關(guān)系k值相等,所以由點(diǎn)坐標(biāo)來求只需要一個(gè)點(diǎn)。直線的平移也可看作左右平移,可以簡(jiǎn)單處理。為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖象變換問題的理解、拓展學(xué)生的思維,教學(xué)不應(yīng)局限于點(diǎn)和直線變換,應(yīng)在最后總結(jié)函數(shù)圖象變換的通用規(guī)律。

(四)研究過程

教學(xué)活動(dòng)采取的是簡(jiǎn)化的行動(dòng)教育模式,簡(jiǎn)化了第二階段,首先是教師原生態(tài)的第一次執(zhí)教,第一次課后基于課堂觀察的結(jié)果進(jìn)行課后研討,教師根據(jù)研討的結(jié)果改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì),然后針對(duì)改進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行第二次研討,教師再次修改教學(xué)設(shè)計(jì)后第二次執(zhí)教[6]。為驗(yàn)證教學(xué)改進(jìn)的結(jié)果,對(duì)學(xué)生進(jìn)行前后測(cè)(測(cè)試題由專家YHY和YJS共同設(shè)計(jì)修訂,并在正式使用前已選取部分學(xué)生進(jìn)行過預(yù)測(cè))。兩次課堂教學(xué)及課后的研討會(huì)議都進(jìn)行了全程錄像,兩次課均對(duì)學(xué)生進(jìn)行前、后測(cè),收集了學(xué)生的課堂作業(yè)單、教師的教學(xué)設(shè)計(jì)及課件等數(shù)據(jù)資料。

(五)數(shù)據(jù)分析方法

運(yùn)用錄像帶分析法對(duì)課堂教學(xué)和研討會(huì)議進(jìn)行了分析。對(duì)于學(xué)生測(cè)試卷、課堂作業(yè)單,首先做了量的統(tǒng)計(jì),然后進(jìn)行了質(zhì)的分析。對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)及課件進(jìn)行質(zhì)性分析。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)工具是Excel2007。

三、結(jié)果與分析

兩位教師的原生態(tài)教學(xué)(即第一次課)主要為灌輸式教學(xué),執(zhí)教者完全沒有領(lǐng)會(huì)本實(shí)驗(yàn)的意圖。經(jīng)專家指導(dǎo),兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂教學(xué)均發(fā)生了質(zhì)的改變,教學(xué)重點(diǎn)落在了從點(diǎn)的變換延伸到圖形的變換上,尤其教師Z真正實(shí)現(xiàn)了從灌輸?shù)揭龑?dǎo)學(xué)生探究的轉(zhuǎn)變。下面以教師Z的教學(xué)為例,分析兩次課教學(xué)理念及行為的變化并對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析。

(一)教師Z兩次課堂教學(xué)比較

分析教師Z兩次課堂教學(xué)錄像發(fā)現(xiàn),教師Z前后兩次課在教學(xué)理念、主要教學(xué)內(nèi)容和具體教學(xué)行為方面均有改變(表1和表2)。

1.教師Z兩次課概況。從教學(xué)內(nèi)容來看,第一次課僅涉及直線的平移,綜合練習(xí)用了較多的時(shí)間。第一次課后研討,兩位專家指出本節(jié)課的重點(diǎn)是從點(diǎn)的變換延伸到直線的變換,關(guān)鍵在于對(duì)圖象變換原理的理解,不需要太多的練習(xí),而相對(duì)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱內(nèi)容可以放在一節(jié)課。第二次課,教學(xué)分別從點(diǎn)的軸對(duì)稱延伸到直線的軸對(duì)稱、點(diǎn)的平移延伸到直線的平移,最后安排了綜合練習(xí)。

表1 教師Z兩次課主要教學(xué)環(huán)節(jié)及用時(shí)

表2 教師Z兩次課教學(xué)行為變化

表2 教師Z兩次課教學(xué)行為變化(續(xù))

2.教師Z第一次課教學(xué)行為。從教學(xué)行為來看,在第一次課上無論是直線的上下平移還是左右平移,都是通過具體實(shí)例來歸納平移的方法、推出平移公式(圖1至圖3),貌似有數(shù)與形的結(jié)合且經(jīng)歷了由具體到抽象的過程,但歸納的過程中僅限于數(shù)值的比較和公式的變形,沒有充分利用點(diǎn)的軸對(duì)稱和平移原理來解釋直線的軸對(duì)稱和平移,教學(xué)以教師傳授為主且強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶,如左右平移讓學(xué)生記住“左加右減”口訣。下面為左右平移小部分教學(xué)片段,從中可以看出教學(xué)過程中學(xué)生完全被教師牽著鼻子走而沒有進(jìn)行深入的思考。

圖1 第一次課直線的平移公式推導(dǎo) 圖2 第一次課直線左右平移的推導(dǎo)(1)

師:我要求是左右平移,把直線l向左平移到m這條直線,又該如何平移?把l平移到m,你覺得平移幾個(gè)單位長(zhǎng)度就可以了?

(學(xué)生沒反應(yīng))

師:看不清嗎?好,我們可以再來看看這幾個(gè)點(diǎn),你看看這幾個(gè)點(diǎn)有什么異同?(邊說邊用手指圖2上直線與x軸的交點(diǎn))

(學(xué)生仍然沒反應(yīng))

師:與誰的交點(diǎn)?

生:x軸。

師:與x軸的交點(diǎn),你看移動(dòng)了幾個(gè)單位長(zhǎng)度?

生:1個(gè)。

師:好,所以l到m只要移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度就可以了?

學(xué)生:1個(gè)。

師:好,照這個(gè)樣子,大家再想想右邊這個(gè)要移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度?(手指圖2中最右邊的直線)

生:2個(gè)。

師:正確。依此,左移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2x+4,右移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2x-2。根據(jù)這兩個(gè)式子的變化,大家看看能否找到并說出左右平移的規(guī)律。

圖3 第一次課直線左右平移的推導(dǎo)(2) 圖4 第二次課求軸對(duì)稱直線圖形

3.教師Z第二次課教學(xué)行為。指導(dǎo)改進(jìn)后的第二次課,教學(xué)邏輯非常清晰,首先通過求直線的函數(shù)解析式復(fù)習(xí)待定系數(shù)法,為用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)解析式做好鋪墊。從點(diǎn)的軸對(duì)稱延伸到直線的軸對(duì)稱環(huán)節(jié),首先師生共同復(fù)習(xí)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后教師引導(dǎo)學(xué)生由點(diǎn)的軸對(duì)稱過渡到直線的軸對(duì)稱。下面為教師引導(dǎo)學(xué)生由點(diǎn)的軸對(duì)稱過渡到直線的軸對(duì)稱的片段,教師在教學(xué)中注重?cái)?shù)與形的結(jié)合,從點(diǎn)延伸到“圖形”也比較自然,對(duì)稱直線讓學(xué)生動(dòng)手畫圖探究。軸對(duì)稱直線的函數(shù)解析式也由學(xué)生求出,師生共同總結(jié)步驟。

師:做題時(shí),可以記口訣,也可以通過圖形找出兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)于對(duì)稱圖形,除了點(diǎn)的對(duì)稱,當(dāng)然還有圖形的對(duì)稱。這里有一條直線AB,你能畫出直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱的直線嗎?你會(huì)怎么畫?

生:作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0),A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是它自己(0,3)。

師:一條直線的對(duì)稱,我們可以先畫一個(gè)點(diǎn)(B)的對(duì)稱點(diǎn),確定一條直線需要兩個(gè)點(diǎn),另外一個(gè)點(diǎn)是A的對(duì)稱點(diǎn),通過A、B兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),就畫出了AB關(guān)于y軸對(duì)稱的直線。由此可見,一個(gè)圖形的對(duì)稱,我們往往把它看成是(特殊)點(diǎn)的對(duì)稱。事實(shí)上,直線AB上的每一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)稱直線上的每一個(gè)點(diǎn)都關(guān)于y軸對(duì)稱,直線的對(duì)稱可以看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱,直線的確定需要兩個(gè)點(diǎn)。

從點(diǎn)的平移延伸到直線的平移,第一步也是復(fù)習(xí)點(diǎn)的平移(圖5),然后過渡到直線的平移。首先讓學(xué)生作出上下平移后的直線,要求學(xué)生用一種以上的方法求出平移后直線的解析式。學(xué)生出現(xiàn)由平移后兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式和直接改變?cè)本€解析式中b的值兩種方法,教師適時(shí)對(duì)兩種方法進(jìn)行總結(jié),如下為對(duì)兩種方法總結(jié)點(diǎn)評(píng)的環(huán)節(jié)。

圖5 第二次課復(fù)習(xí)點(diǎn)的平移課件 圖6 第二次課求平移直線圖形

師:下面回顧一下直線平移以后的函數(shù)解析式,我們是怎么做的?

生:第一步,先求兩個(gè)點(diǎn);第二步,求平移后的點(diǎn);第三步,待定系數(shù)法。

師:這個(gè)思路和軸對(duì)稱差不多。兩直線平行,k如何?

生:k相等。

師:那么剛剛這道題,我們還需要代入兩個(gè)點(diǎn)嗎?

生:不用,只需要代入一個(gè)點(diǎn)就可以了。

師:有沒有其他方法呢?

生:直線向下平移幾個(gè)單位,就給b減去幾個(gè)單位;向上平移,就給b加上幾個(gè)單位。

師:你是怎么知道的?

生:因?yàn)辄c(diǎn)上下平移幾個(gè)單位,縱坐標(biāo)就加減幾個(gè)單位,所以直線上下平移后y的值就加減。

師:兩種思路都是由點(diǎn)的平移得出直線的平移,第一種思路是通過求平移后點(diǎn)的坐標(biāo)來確定直線,第二種思路是根據(jù)平移原理直接求平移后的解析式,后者更簡(jiǎn)潔。

課堂小結(jié)環(huán)節(jié),除師生共同總結(jié)求對(duì)稱和平移變換后直線的思路和方法外,教師最后點(diǎn)出“其實(shí)不僅是直線,其他圖象的變換問題也類似,都可以根據(jù)點(diǎn)的變換來求得”。教師最后這句總結(jié)性的話,成功地將問題拓展至一切函數(shù)圖象的變換問題,發(fā)散了學(xué)生的思維。

(二)測(cè)試與結(jié)果分析

1.前測(cè)與學(xué)情分析。因?yàn)楸竟?jié)課是“直線的軸對(duì)稱和平移”拓展課,設(shè)計(jì)思路要從點(diǎn)的變換拓展延伸到直線甚至其他圖形的變換。首先需要考查學(xué)生關(guān)于點(diǎn)的變換的掌握情況,同時(shí)也需要考查學(xué)生對(duì)直線的軸對(duì)稱和平移的了解程度,因此設(shè)計(jì)了如下七道前測(cè)試題:第1題根據(jù)坐標(biāo)求點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系,第2題根據(jù)對(duì)稱求出點(diǎn)的坐標(biāo),第3題和第5題都是根據(jù)平移求點(diǎn)的坐標(biāo),第4題是點(diǎn)的對(duì)稱和平移的綜合運(yùn)用,第6題和第7題是根據(jù)直線的解析式寫出直線的平移或?qū)ΨQ關(guān)系。

四個(gè)實(shí)驗(yàn)班總共122名學(xué)生,前測(cè)結(jié)果如表3所示。從前測(cè)結(jié)果來看,學(xué)生關(guān)于點(diǎn)的變換掌握情況較好,一般情況下不僅點(diǎn)的對(duì)稱和平移正確率都在85.00%以上,且點(diǎn)的對(duì)稱與平移綜合變換以后正確率也在85.00%以上。而第3題將線段放到直角坐標(biāo)系內(nèi),讓學(xué)生自己找到點(diǎn)的坐標(biāo)來確定平移關(guān)系,然后求一個(gè)用字母表示的任意點(diǎn)C(a,b)平移后的坐標(biāo)問題,正確率則只有66.39%。不會(huì)做的題,學(xué)生要么空白,要么出現(xiàn)如圖7所示的情況。還有一些采用如圖8所示求出直線方程來做的,雖然結(jié)果對(duì)了但是走了彎路。這些都表明學(xué)生習(xí)慣解決確定性問題,在解用字母表示的任意點(diǎn)問題時(shí)存在一定的困難。由兩直線解析式寫出平移相對(duì)簡(jiǎn)單,比較兩直線解析式容易得出結(jié)論,正確率比較高。第7題由兩直線解析式寫出對(duì)稱不是那么明顯,如果畫出圖象則比較容易看出,但通過畫簡(jiǎn)圖來確定兩直線位置關(guān)系的僅有2人,說明學(xué)生沒有數(shù)形結(jié)合的意識(shí),這跟教師平時(shí)教學(xué)忽視數(shù)形結(jié)合有關(guān)。

表3 前測(cè)情況統(tǒng)計(jì)

圖7 前測(cè)試卷剪輯1

2.后測(cè)及教學(xué)效果分析。為驗(yàn)證本次實(shí)驗(yàn)的效果,設(shè)計(jì)了后測(cè)試卷,共有7題。其中前三題為簡(jiǎn)單的直線平移和對(duì)稱問題,第4題和第5題為復(fù)雜的直線平移和軸對(duì)稱問題。為考查本節(jié)課對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響,另設(shè)計(jì)了二次函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單平移和對(duì)稱問題、簡(jiǎn)單的分段函數(shù)軸對(duì)稱問題。后測(cè)結(jié)果從以下三個(gè)方面展開分析,從中可以看出,兩位教師改進(jìn)前后兩次課的效果都發(fā)生了改變。

(1)簡(jiǎn)單的直線平移和對(duì)稱問題。表4為簡(jiǎn)單的直線平移和軸對(duì)稱問題正確率統(tǒng)計(jì)。簡(jiǎn)單的直線平移和軸對(duì)稱問題,兩位教師改進(jìn)前后的兩次課正確率都大幅度提高,差異顯著。

圖8 前測(cè)試卷剪輯2

表4 簡(jiǎn)單的直線平移和軸對(duì)稱問題正確率 %

(2)復(fù)雜的直線平移和對(duì)稱問題。表5所示,學(xué)生對(duì)于復(fù)雜的直線平移和軸對(duì)稱問題的回答的正確率,兩位教師改進(jìn)后的課比第一次課顯著提高:關(guān)于“求經(jīng)平移和對(duì)稱兩次變換的直線”,教師Z由第一次課的17.39%提高至第二次課的51.43%,教師Q由第一次課的33.33%提高至38.71%;關(guān)于“求關(guān)于直線y=1對(duì)稱的直線”,教師Z由第一次課的0提升至17.14%,教師Q由33.33%提升至58.06%。

表5 復(fù)雜的直線平移和軸對(duì)稱問題正確率 %

(3)對(duì)后續(xù)內(nèi)容的影響。兩次課后續(xù)內(nèi)容的正確率(表6)表明,改進(jìn)前后兩次課對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響是不一樣的,無論是二次函數(shù)的圖象變換還是求分段函數(shù)的軸對(duì)稱函數(shù),改進(jìn)后的課學(xué)生都受到了更好的啟發(fā)。如圖9為后測(cè)試卷剪輯,掌握了方法和規(guī)律,學(xué)生對(duì)完全陌生的二次函數(shù)、分段函數(shù)的簡(jiǎn)單變換問題都可以解決了。

表6 后續(xù)內(nèi)容正確率 %

圖9 后測(cè)試卷剪輯

四、結(jié)論與建議

(一)教學(xué)設(shè)計(jì)與改進(jìn)是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的有效途徑

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然產(chǎn)物。核心素養(yǎng)是日積月累、自己思考的經(jīng)驗(yàn)的積累,其形成依賴學(xué)生參與其中的教學(xué)活動(dòng)、依賴學(xué)生的感悟與思維。全盤灌輸和機(jī)械訓(xùn)練等教學(xué)方式不利于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。在這樣的教學(xué)方式下,學(xué)生通常會(huì)死記硬背和生搬硬套,對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解和把握往往也是片面或不正確的,所形成的技能也是死板的,相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力很難形成,伴隨認(rèn)知過程產(chǎn)生的情意大多也是消極和負(fù)面的[1]63。而灌輸和機(jī)械訓(xùn)練等問題教學(xué)在中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中不僅長(zhǎng)期存在而且屢見不鮮,如“長(zhǎng)方形和正方形的面積與周長(zhǎng)”實(shí)驗(yàn)中教師的機(jī)械訓(xùn)練和“就事論事”的片面教學(xué),“面積與周長(zhǎng)的關(guān)系”和“一元一次方程的解法”實(shí)驗(yàn)中教師的全盤灌輸。但是,這些教學(xué)經(jīng)成功設(shè)計(jì)和改進(jìn)后都發(fā)生了本質(zhì)的轉(zhuǎn)變,教學(xué)效果差異顯著[7-9],也就是說,教學(xué)設(shè)計(jì)與改進(jìn)是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的一個(gè)有效途徑。本實(shí)驗(yàn)同樣也說明了這一點(diǎn)。經(jīng)指導(dǎo)改進(jìn)后,教學(xué)成功地實(shí)現(xiàn)了從點(diǎn)的變換到圖形的變換的遷移和拓展,學(xué)生也經(jīng)歷了思考和探索的過程。

(二)拓展課的設(shè)計(jì)與教學(xué)有章可循

拓展課是由執(zhí)教教師自行選材并設(shè)計(jì),必須要對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)充和拓展,一般無現(xiàn)成的教材和參考資料,因此對(duì)教師要求較高。拓展課的設(shè)計(jì)及教學(xué)只有把握正確的原則和方向,才不容易出現(xiàn)問題。

拓展課的設(shè)計(jì)首先要做到有的放矢。以教材為綱,教學(xué)目標(biāo)要非常明確,這樣才不容易出現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容隨意化、教學(xué)要求把握不準(zhǔn)、教學(xué)目標(biāo)偏離等現(xiàn)象。本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的目的非常明確,使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“點(diǎn)的變換”延伸拓展至“圖形的變換”,經(jīng)歷參與教學(xué)活動(dòng)、動(dòng)手實(shí)踐和思考探索的過程。

拓展課的難度要適宜。拓展課要求寬于教材和高于教材,但這個(gè)寬和高是有限度的,要考慮學(xué)生的思維水平和可接受能力。實(shí)際教學(xué)中,很多教師的拓展課容易出現(xiàn)難度過大的問題。理想的拓展課難度應(yīng)該在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)或者稍微超出學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。教師在設(shè)計(jì)拓展課時(shí),要充分了解學(xué)情、考慮學(xué)生的可接受范圍。本次實(shí)驗(yàn),在“點(diǎn)的變換”的基礎(chǔ)上拓展至“直線的變換”,而且適當(dāng)延伸至“其他圖形的變換”,這些均在學(xué)生可接受范圍內(nèi)。

拓展課教學(xué)應(yīng)該是教師引導(dǎo)下的學(xué)生探究。拓展課因?yàn)槭菍?duì)教材內(nèi)容的延伸和拓展,因此和探究課一樣具有探索性和挑戰(zhàn)性。實(shí)際教學(xué)中容易走極端,會(huì)出現(xiàn)教師全盤灌輸或?qū)W生摸索迷失方向的情況。理想的拓展課應(yīng)該是教師恰當(dāng)引導(dǎo)下的學(xué)生的有效探究。教師如何做到恰當(dāng)引導(dǎo),需要其在教學(xué)實(shí)踐中不斷摸索。如在本實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)后的第二次課上,兩位教師通過一連串啟發(fā)式的提問引導(dǎo)學(xué)生由“點(diǎn)的變換”延伸至“直線的變換”,然后師生共同解決“直線的軸對(duì)稱”問題,而“直線的平移”則由學(xué)生自己探索后點(diǎn)評(píng)。

(三)數(shù)與形的結(jié)合任重而道遠(yuǎn)

致謝!本研究得到紹興市柯橋區(qū)柯巖中學(xué)的支持。