程鴻展,李小華,劉 輝

(遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 遼寧 鞍山 114051)

在工業(yè)系統(tǒng)控制中, 一旦系統(tǒng)傳感器出現(xiàn)故障, 就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能不穩(wěn)定. 因此, 制定適當(dāng)?shù)目刂品桨敢韵齻鞲衅鞴收系挠绊?就顯得尤為重要[1-3]. 有限時(shí)間控制可提高系統(tǒng)的收斂速度,使系統(tǒng)具有魯棒性[4-6], 預(yù)設(shè)性能控制可改善系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能[7-9]. 研究人員將二者優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合,提出了多種預(yù)設(shè)有限時(shí)間控制方案[10-13]. 文獻(xiàn)[10]提出了一種有限時(shí)間性能函數(shù), 能使系統(tǒng)既有良好的暫態(tài)性能, 又有較快的收斂速度. 文獻(xiàn)[11]針對(duì)航天器姿態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題, 提出了一種自適應(yīng)預(yù)設(shè)有限時(shí)間容錯(cuò)控制方案.文獻(xiàn)[12]針對(duì)有執(zhí)行器故障的多個(gè)無(wú)人機(jī)組成的系統(tǒng), 提出了一種自適應(yīng)預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間分散控制, 使系統(tǒng)中的每架無(wú)人機(jī)在有限時(shí)間內(nèi)均能跟蹤各自的參考軌跡, 且跟蹤誤差能被預(yù)設(shè)性能函數(shù)約束. 但是, 這些研究均是初始條件已知的情況下進(jìn)行的, 而當(dāng)初始條件未知時(shí), 傳統(tǒng)預(yù)設(shè)性能控制就難以奏效. 針對(duì)該問(wèn)題,文獻(xiàn)[13]提出了一種預(yù)設(shè)性能控制方案,使預(yù)設(shè)性能函數(shù)的選擇與初始條件無(wú)關(guān).

由于測(cè)量噪聲、建模誤差和建模簡(jiǎn)化等原因, 很多工業(yè)系統(tǒng)模型中存在未建模動(dòng)態(tài), 它會(huì)降低閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能, 甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定. 因此,研究人員考慮未建模動(dòng)態(tài)對(duì)系統(tǒng)性能的影響, 提出了一些處理未建模動(dòng)態(tài)的有效方法[14-16]. 該文擬將與無(wú)關(guān)初始條件的預(yù)設(shè)性能控制與傳統(tǒng)的有限時(shí)間控制相結(jié)合, 設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器,以提升系統(tǒng)的魯棒性.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮一類具有未建模動(dòng)態(tài)的純反饋系統(tǒng), 該系統(tǒng)方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

定義 1[2]若第i(i=1,2,…,n)個(gè)傳感器在Tf時(shí)刻對(duì)變量xi(t)進(jìn)行測(cè)量時(shí)出現(xiàn)故障, 則得到反饋信號(hào)為

Xi(t)=ρi(t)xi(t),?t>Tf,

(5)

其中:傳感器的失效因子為ρi(t), 0<ρi(t)≤1.

(6)

假設(shè)3[17]對(duì)不確定動(dòng)態(tài)擾動(dòng)Δi(·),存在未知光滑非負(fù)非線性函數(shù)φi1(·)及φi2(·),有

(7)

假設(shè)4[17]若系統(tǒng)(1)的未建模動(dòng)態(tài)為指數(shù)穩(wěn)定的實(shí)際輸入狀態(tài),則存在Lyapunov函數(shù)V(z)滿足

α1(|z|)≤V(z)≤α2(|z|),

(8)

(9)

其中:α1(·),α2(·)及μ(·)均為K∞類函數(shù);c0和p0均為已知常數(shù), 且c0>0,p0>0.

2 無(wú)關(guān)初始條件的預(yù)設(shè)性能控制

在傳統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能控制中,要求被約束量e1(t)滿足以下條件

-ζ(t)

(10)

其中:預(yù)設(shè)性能函數(shù)ζ(t)=(ζ0-ζ∞)e-lt+ζ∞;設(shè)計(jì)參數(shù)ζ0>ζ∞>0,l>0.在預(yù)設(shè)性能控制中, 需根據(jù)e1(0)選擇ζ(t), 滿足|e1(0)|<ζ(0).然而, 對(duì)于初始值e1(0)未知的系統(tǒng), 傳統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能控制難以應(yīng)用.

為了解決該問(wèn)題, 文獻(xiàn)[13]構(gòu)造了一種新的預(yù)設(shè)性能函數(shù)ζ1(t), 其表達(dá)式為

ζ1(t)=(ζ0-ζ∞)e-l1(t-Tf)+ζ∞,

(11)

其中:預(yù)設(shè)定時(shí)間Tf>0; 設(shè)計(jì)參數(shù)ζ0>ζ∞>0,l1>0.

文獻(xiàn)[13]通過(guò)雙曲正切函數(shù)將e1(t)映射至σ1(t),σ1(t)變?yōu)?/p>

σ1(t)=tanh(e1(t)),

(12)

其中:e1(t),σ1(t)均為有界函數(shù), 二者在原點(diǎn)附近有近似線性關(guān)系,且|σ1(t)|<1.

文獻(xiàn)[13]構(gòu)造一個(gè)間接約束函數(shù)ζ2(t),使σ1(t)滿足

-ζ2(t)<σ1(t)<ζ2(t),t≥0,

(13)

其中

(14)

(15)

其中:M≥1,τ≥0,α0≥1,αTf>0.

注1α*(t)是一個(gè)光滑函數(shù), 文獻(xiàn)[10]已經(jīng)證明. 因此, 易知ζ2(t)也是一個(gè)光滑函數(shù).

注2為了用預(yù)設(shè)性能函數(shù)約束σ1(t), 則σ1(0)須滿足-ζ2(0)<σ1(0)<ζ2(0).選擇M≥1, 則可知ζ2(0)≥1, 且|σ1(t)|<1對(duì)于任意e1均成立.

注3間接約束函數(shù)ζ2(t)選擇的依據(jù)是:t≥Tf時(shí), 用ζ2(t)約束σ1(t)等價(jià)于用ζ1(t)約束e1(t),式(14)中的ζ2(t)就是據(jù)此構(gòu)造的.

根據(jù)雙曲正切函數(shù)的映射關(guān)系和間接約束函數(shù),得到定理1.

定理1若式(13)成立, 則當(dāng)t≥Tf時(shí), 有-ζ1(t)

證明由式(12)～(13),可得

-ζ2(t)

(16)

當(dāng)t≥Tf時(shí), 由式(14)～(15), 可得

ζ2(t)=tanh(ζ1(t))>0.

(17)

故有

-ζ1(t)

(18)

3 無(wú)關(guān)初始條件的預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)

定義如下坐標(biāo)變換

(19)

(20)

注4由假設(shè)1～2可知, 存在正常數(shù)b滿足

(21)

該文無(wú)關(guān)初始條件的預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間容錯(cuò)控制器的具體設(shè)計(jì)步驟如下.

步驟1根據(jù)式(19)～(20), 可得

(22)

選取Lyapunov函數(shù)為

(23)

其中:ψ為處理未建模動(dòng)態(tài)而引入的動(dòng)態(tài)信號(hào)[19];β1,λ為正的設(shè)計(jì)參數(shù). 對(duì)式(23)求導(dǎo)后, 結(jié)合文獻(xiàn)[19]中的引理1,可得

(24)

(25)

(26)

根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的引理2, 可得

(27)

根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的引理1和式(8),可得

(28)

根據(jù)式(28)及假設(shè)3, 有

(29)

(30)

(31)

根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的引理2, 可得

(32)

將式(26)～(27), (32)代入式(24), 可得

(33)

(34)

定義函數(shù)

(35)

考慮到F1(Z1)包含未知非線性函數(shù), 故采用RBFNN逼近F1(Z1), 則有

(36)

(37)

其中:設(shè)計(jì)參數(shù)ai>0(i=1,2,…,n).將式(37)代入式(34), 可得

(38)

(39)

(40)

其中:Γ1>0,β1>0,l1>0.將式(39)～(40)代入式(38), 可得

(41)

步驟i(i=2,3,…,n-1) 根據(jù)式(20), 有

(42)

其中

(43)

選取Lyapunov函數(shù)為

(44)

對(duì)Vi求導(dǎo)且整理得

(45)

(46)

根據(jù)假設(shè)1及三角不等式, 可得

(47)

(48)

(49)

根據(jù)式(46), (48)～(49), 可得

(50)

定義函數(shù)

(51)

使用Young’s不等式和RBFNN處理κiFi(Zi),可得

(52)

(53)

(54)

(55)

其中:τi>0,βi>0,li>0.

將式(54)～(55)代入式(53), 可得

(56)

步驟n根據(jù)式(20), 有

(57)

其中

(58)

選取Lyapunov函數(shù)為

(59)

對(duì)Vn求導(dǎo)并整理,可得

(60)

經(jīng)與步驟i相似的推導(dǎo), 可得

(61)

定義函數(shù)

(62)

利用Young’s不等式處理κnFn(Zn),可得

(63)

(64)

(65)

(66)

其中:Γn>0,βn>0,ln>0.將式(65)～(66)代入式(64), 可得

(67)

至此,無(wú)關(guān)初始條件的預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)完畢. 根據(jù)上面的設(shè)計(jì), 可給出如下定理2.

定理2對(duì)系統(tǒng)(1), 如果選取控制律為式(39), (54),(65), 自適應(yīng)律為式(40), (55),(66), 則系統(tǒng)輸出能在預(yù)設(shè)的有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到性能約束效果, 系統(tǒng)所有信號(hào)均能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)附近的鄰域.

證明(1) 有限時(shí)間穩(wěn)定性.選取系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

V=Vn.

(68)

(69)

將式(69)代入式(67), 可得

(70)

其中

(71)

其中:K1=min{2γci},i=1,2,…,n.將式(71)代入式(70),可得

(72)

(73)

(74)

將式(73)～(74)代入式(72), 可得

(75)

(76)

根據(jù)式(75)～(76),可得

(77)

(78)

根據(jù)式(70)～(78),可得

(79)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的定義1、定理1及式(77)～(79)可知, 系統(tǒng)(1)滿足實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定判據(jù), 則可知停息時(shí)間

(80)

自此,定理2證明完畢.

4 仿真分析

該文對(duì)文獻(xiàn)[17]中的單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析, 該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述如下

(81)

其中:x1和x2分別表示連桿的位置和速度,g=9.8m·s-2,轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離l=1 m, 阻尼系數(shù)D=2 N·m·s·rad-1, 伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=1 kg·m2, 物體質(zhì)量m=2 kg,z為未建模動(dòng)態(tài),Δ1=zx1,Δ2=zx2sinx1.

傳感器的2個(gè)故障狀態(tài)分別為

(82)

圖1 系統(tǒng)故障狀態(tài)變量X1(t)和正常狀態(tài)變量x1(t)

由圖1可知,系統(tǒng)在傳感器故障時(shí)仍具有較強(qiáng)的鎮(zhèn)定性能.由圖2可知,系統(tǒng)狀態(tài)是有界穩(wěn)定的. 由圖3可知,無(wú)論初始狀態(tài)是否在預(yù)設(shè)性能函數(shù)的范圍, 系統(tǒng)輸出均能滿足預(yù)設(shè)性能要求. 由圖4可知,在不同初始狀態(tài)下,控制輸入均合理. 因此,該文設(shè)計(jì)的控制器具有可行性.

圖2 系統(tǒng)故障狀態(tài)變量X2(t)和正常狀態(tài)變量x2(t)

圖3 不同初始狀態(tài)的系統(tǒng)輸出

圖4 不同初始狀態(tài)的控制輸入

5 結(jié)束語(yǔ)

該文研究了一類具有未建模動(dòng)態(tài)和傳感器故障的非線性系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間容錯(cuò)控制問(wèn)題,解決了傳統(tǒng)預(yù)設(shè)性能控制中控制效果依賴系統(tǒng)初值的問(wèn)題,避免了傳感器故障時(shí)系統(tǒng)性能出現(xiàn)大幅下降的情況,對(duì)于未建模動(dòng)態(tài)有較好的抑制效果. 該文設(shè)計(jì)的無(wú)關(guān)初始條件的預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間容錯(cuò)控制器,能使系統(tǒng)所有信號(hào)在傳感器故障時(shí)均有界, 系統(tǒng)輸出能在給定時(shí)間內(nèi)滿足預(yù)設(shè)性能要求.仿真結(jié)果表明:該文控制器具有可行性.