李翁衡，祝長(zhǎng)生

（浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027）

引言

主動(dòng)電磁軸承（Active Magnetic Bearing，AMB），簡(jiǎn)稱為電磁軸承，是一種旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子新型的支承結(jié)構(gòu)，通過(guò)可控的電磁力使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮，具有無(wú)接觸、無(wú)摩擦、無(wú)磨損、能在真空和高低溫等特殊環(huán)境下應(yīng)用等特點(diǎn)。得益于這些優(yōu)點(diǎn)，電磁軸承被廣泛應(yīng)用于高速電機(jī)、壓縮機(jī)、渦輪分子泵和飛輪儲(chǔ)能等系統(tǒng)中［1-2］。由于受到轉(zhuǎn)子材料機(jī)械強(qiáng)度的限制，為了滿足設(shè)備高效率、高能量密度的要求，各類高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子逐漸向更細(xì)、更長(zhǎng)、轉(zhuǎn)速更高的方向發(fā)展，這將導(dǎo)致轉(zhuǎn)子運(yùn)行在系統(tǒng)一階或更高階的彎曲臨界轉(zhuǎn)速之上。其中，工作轉(zhuǎn)速超過(guò)其一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子稱之為柔性轉(zhuǎn)子。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，無(wú)論采用何種傳感器，由于結(jié)構(gòu)及電磁兼容性的限制，都難以將傳感器直接安裝在AMB內(nèi)部，因而產(chǎn)生了傳感器中心的軸向位置與電磁軸承中心的軸向位置的不同位問題，這類系統(tǒng)被稱為不同位系統(tǒng)。對(duì)于剛性系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子為剛體，利用簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系就能夠從傳感器位置測(cè)量到的轉(zhuǎn)子振動(dòng)信息中得到AMB 中心位置轉(zhuǎn)子的振動(dòng)信息。但對(duì)于柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，由于轉(zhuǎn)子振型的時(shí)變性，不可能通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系就從傳感器位置測(cè)量到的轉(zhuǎn)子振動(dòng)信息中得到電磁軸承中心位置轉(zhuǎn)子的振動(dòng)信息。所以電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不同位，不僅會(huì)影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)控制性能，還會(huì)影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

實(shí)際上，不同位現(xiàn)象在物理系統(tǒng)中廣泛存在，早期一些學(xué)者對(duì)不同位結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征做了研究。Spector 等［3］研究了不同位結(jié)構(gòu)模型的敏感性，他們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和邊界條件的擾動(dòng)比極點(diǎn)更為敏感。此外，傳感器位置的微小變化可能導(dǎo)致零點(diǎn)和極點(diǎn)的順序互換，從而使系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定。Miu［4］對(duì)零點(diǎn)的物理含義做了研究，闡述了零點(diǎn)在確保控制系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的重要性，發(fā)現(xiàn)對(duì)于柔性結(jié)構(gòu)，不同位系統(tǒng)的低階模態(tài)由于相位相同，系統(tǒng)有交變的零極點(diǎn)對(duì)，但是其高階模態(tài)可能出現(xiàn)不同相位，不一定有交變的零極點(diǎn)對(duì)。極點(diǎn)是系統(tǒng)的諧振頻率，因此從穩(wěn)定的角度看，同位系統(tǒng)的零點(diǎn)是非常重要的。從物理上看，當(dāng)系統(tǒng)輸出為零時(shí)，外部的能量被完全吸收并“困”在子結(jié)構(gòu)的“內(nèi)部?jī)?chǔ)能元件”中，輸出端檢測(cè)不到位移，所以零點(diǎn)是這些子結(jié)構(gòu)的諧振。

20 世紀(jì)90 年代，許多學(xué)者對(duì)AMB 系統(tǒng)的不同位進(jìn)行了研究。Maslen 等［5］在傳遞矩陣法的基礎(chǔ)上研究了一種將AMB 結(jié)合到柔性轉(zhuǎn)子離散模型中的直接方法，該方法能設(shè)置傳感器-執(zhí)行器的不同位，所建的模型能方便地使用其他工具進(jìn)行穩(wěn)定性分析。Ramesh 等［6］指出用有限元法建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型可以方便地處理傳感器的不同位問題，研究發(fā)現(xiàn)傳感器從外側(cè)向內(nèi)側(cè)移動(dòng)時(shí)，第一階臨界頻率增加，第三階臨界頻率降低，同時(shí)第一階臨界處的振幅減小，第三階臨界處的振幅增加。Lefante［7］深入研究了柔性轉(zhuǎn)子的不同位，用零極點(diǎn)交錯(cuò)和自由振型等開環(huán)特征來(lái)預(yù)測(cè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先，對(duì)于某階模態(tài)，在無(wú)阻尼模態(tài)振型中若傳感器位置的位移出現(xiàn)反相，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)衰減率也發(fā)生變化，由此得到了無(wú)阻尼振型與閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系。然后，他指出零極點(diǎn)交錯(cuò)的系統(tǒng)可在任一補(bǔ)償角度范圍為0°～180°的相位補(bǔ)償器的作用下達(dá)到穩(wěn)定。但與同位系統(tǒng)不同，相位補(bǔ)償器不能在不同位系統(tǒng)中提供無(wú)條件的穩(wěn)定性。Obrzut［8］深入研究了不同位系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)如果把零點(diǎn)定義為反諧振頻率，那么同位系統(tǒng)的反諧振頻率在兩個(gè)連續(xù)的反諧振頻率之間，相位在0°～180°之間變化；不同位系統(tǒng)在兩個(gè)諧振頻率之間沒有反諧振。雖然不同位系統(tǒng)每個(gè)諧振頻率仍然有180°滯后，但沒有因反諧振帶來(lái)的180°超前，所以在第二次共振位置處會(huì)出現(xiàn)-270°的滯后現(xiàn)象。從增益根軌跡圖發(fā)現(xiàn)，一旦不同位系統(tǒng)缺少反諧振，很小的增益就可能導(dǎo)致控制系統(tǒng)發(fā)散。此外，他還發(fā)現(xiàn)不同位系統(tǒng)會(huì)影響峰值位置，對(duì)臨界轉(zhuǎn)速也有影響。但是，這些工作中沒有解釋，對(duì)于一個(gè)柔性轉(zhuǎn)子而言，只要是不同位系統(tǒng)就會(huì)有無(wú)窮多的不穩(wěn)定模態(tài)，這會(huì)造成不同位系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的假象，而實(shí)際上AMB-柔性轉(zhuǎn)子試驗(yàn)系統(tǒng)仍然是可以運(yùn)行的。

從物理上調(diào)整傳感器的位置能減緩不同位效應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)子特性的影響，滿足轉(zhuǎn)子正常運(yùn)行的需求。?timac 等［9］發(fā)現(xiàn)不同位效應(yīng)影響到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第二階彎曲模態(tài)，通過(guò)改變傳感器的位置雖然可以解決二階彎曲模態(tài)的問題，但不同位效應(yīng)仍然影響著更高階模態(tài)的特性。Schuhmann 等［10］提出了一種避免不同位問題的方法，即將電容傳感器直接集成到徑向磁軸承的定子鐵芯中，利用卡爾曼濾波器來(lái)降低軸承線圈對(duì)傳感器的噪聲影響。Yu 等［11］研究了自傳感技術(shù)，通過(guò)利用開關(guān)放大器的高頻電流紋波進(jìn)行調(diào)幅來(lái)估計(jì)轉(zhuǎn)子位移，減少了元件數(shù)量。但工程應(yīng)用上最成熟的仍是電渦流位移傳感器。另外，也有不少學(xué)者試圖從控制角度通過(guò)轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型來(lái)解決不同位問題。Wang 等［12］考慮了不同位效應(yīng)，提出一種模態(tài)分離策略，結(jié)合相位補(bǔ)償器補(bǔ)償不同位的影響。Geng 等［13］基于狀態(tài)觀測(cè)器的位移重構(gòu)方法，結(jié)合相位補(bǔ)償器，有效消除了電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不同位問題，抑制了轉(zhuǎn)子在跨越彎曲臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的振動(dòng)。這些研究均基于轉(zhuǎn)子精確的動(dòng)力學(xué)模型，并未能進(jìn)行試驗(yàn)研究。在試驗(yàn)中仍缺少簡(jiǎn)單有效的方法來(lái)抑制不同位效應(yīng)造成的發(fā)散，因此需要對(duì)這些抑制方法進(jìn)行系統(tǒng)地論述。

本文首先建立了AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型；然后從轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性、開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)、頻率響應(yīng)曲線以及閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡等四個(gè)角度分析了AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同位對(duì)系統(tǒng)特性，特別是對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，提出了調(diào)節(jié)增益和插入式自適應(yīng)陷波器等抑制由不同位導(dǎo)致不可控彎曲模態(tài)發(fā)散的方法；最后在試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行了不同位條件下轉(zhuǎn)子的懸浮、掃頻、不平衡激勵(lì)和旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)，對(duì)理論分析結(jié)論進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于圖1 所示的任意一個(gè)帶有多個(gè)剛性圓盤的AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，質(zhì)量和剛度沿軸向是變化的，對(duì)這樣的系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，需要求解關(guān)于時(shí)間和空間的偏微分方程，因此通常采用離散化的方法進(jìn)行建模。在轉(zhuǎn)子上設(shè)n個(gè)節(jié)點(diǎn)，將AMB 的電磁力作為廣義外力來(lái)看待，認(rèn)為AMB 的電磁力是轉(zhuǎn)子在AMB 節(jié)點(diǎn)所受的外力，只需將其疊加到AMB 位置轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)廣義力向量的對(duì)應(yīng)位置處即可。

圖1 AMB-柔性轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)Fig.1 Test rig of AMB-flexible rotor

用軸單元模型可以得到AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為［14］：

式中M，D，G和K分別為4n×4n維質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；Ω為轉(zhuǎn)速；Fmag為4n×1 維AMB 電磁力向量；Fu為4n×1 維不平衡力向量；Gm為4n×1 維重力向量；q為廣義位移向量為廣義位移的一階導(dǎo)數(shù)；為廣義位移的二階導(dǎo)數(shù)。

AMB 的電磁力是線圈電流i和位移q的非線性函數(shù)。在工作點(diǎn)（q0，i0）附近進(jìn)行線性展開，得到AMB 電磁力的線性化表達(dá)式為：

式中Fmag，0為靜態(tài)懸浮工作點(diǎn)（q0，i0）的電磁力，一般情況下，F(xiàn)mag，0剛好與系統(tǒng)的重力向量Gm平衡；i為控制電流向量；Ki為AMB 的電流剛度系數(shù)矩陣；Kx為AMB 的位移剛度系數(shù)矩陣。

由于AMB 在x和y兩個(gè)方向上是耦合的，所以AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)。為了利用多輸入多輸出系統(tǒng)的相關(guān)分析方法，可以將AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程（1）用狀態(tài)空間方程表述為［14］：

當(dāng)AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)較多時(shí)，全階模型的計(jì)算量很大。實(shí)際的AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)只需考慮較低階模態(tài)的動(dòng)力學(xué)特性，因此需要對(duì)AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行降階處理。

應(yīng)用模態(tài)截?cái)喾椒ǎ?4］，如果只考慮轉(zhuǎn)子的前r階模態(tài)，存在模態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣Tm，使模態(tài)空間狀態(tài)量qR轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)子位移狀態(tài)量q：

式中Tm為模態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，Tm=[?1?2…?j]，其中，?j為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征向量，j=1，2，…，r。

值得注意的是，模態(tài)截?cái)喾椒ǖ哪康氖菧p少計(jì)算量。模型的節(jié)點(diǎn)越多，保留的模態(tài)越多，轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性就越復(fù)雜，但也就越接近實(shí)際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。

2 不同位效應(yīng)

電渦流傳感器及電感傳感器是AMB 系統(tǒng)中最常用的轉(zhuǎn)子位移傳感器。由于傳感器結(jié)構(gòu)和電磁兼容性的限制，轉(zhuǎn)子位移傳感器一般只能安裝在AMB的附近，由此產(chǎn)生了所謂的AMB 的中心位置和位移傳感器的中心位置不重合的不同位效應(yīng)，使得轉(zhuǎn)子位移傳感器的測(cè)量不能正確反映出AMB 處轉(zhuǎn)子的位移，給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)影響。

對(duì)于柔性轉(zhuǎn)子而言，轉(zhuǎn)子的彎曲狀態(tài)隨轉(zhuǎn)速等參數(shù)發(fā)生變化，因此無(wú)法簡(jiǎn)單地從傳感器處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)推算出AMB 處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。在振型較為簡(jiǎn)單的低階柔性模態(tài)情況下，與AMB 處轉(zhuǎn)子的真實(shí)位移相比，不同位的信號(hào)表現(xiàn)為幅值有差，相位滯后的特征。若把振型復(fù)雜的高階柔性模態(tài)考慮在內(nèi)，如果有某一些模態(tài)振型的節(jié)點(diǎn)位于AMB 和位移傳感器中間，當(dāng)轉(zhuǎn)子在對(duì)應(yīng)的模態(tài)頻率處以這樣的模態(tài)振型振動(dòng)，傳感器處位移與AMB 處位移的相位相差180°，使得模態(tài)頻率信號(hào)不能有效地衰減，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定造成隱患。

以下的數(shù)值和仿真分析是基于圖2 所示的AMB-柔性轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行的，它由1 根均質(zhì)軸、2 個(gè)剛性圓盤及2 個(gè)AMB 軸頸組成，轉(zhuǎn)子在徑向上由2個(gè)AMB 支承。AMB 的相關(guān)參數(shù)如表1 所示。

圖2 柔性轉(zhuǎn)子基本結(jié)構(gòu)及尺寸（單位：mm）Fig.2 Basic construction and size of flexible rotor（Unit：mm）

下面從轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性、開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)、頻率響應(yīng)曲線以及根軌跡四個(gè)方面來(lái)具體分析傳感器與AMB 不同位對(duì)系統(tǒng)特性的影響。

2.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性

基于有限元法分析轉(zhuǎn)子振型可以得到轉(zhuǎn)子每一階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)信息。本文研究的柔性轉(zhuǎn)子在靜止懸浮的前5 階彎曲模態(tài)振型如圖3 所示。從各階模態(tài)的振型圖中可以看出，第五階模態(tài)（三階彎曲模態(tài)）和更高階彎曲模態(tài)在傳感器節(jié)點(diǎn)和AMB 節(jié)點(diǎn)之間存在模態(tài)振型與轉(zhuǎn)軸中心線的交點(diǎn)（即模態(tài)節(jié)點(diǎn)）。柔性轉(zhuǎn)子在0～15000 r/min（250 Hz）轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，兩端模態(tài)節(jié)點(diǎn)的變化如圖4 所示。圖4 的結(jié)果表明，在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，該三階模態(tài)節(jié)點(diǎn)一直存在于傳感器和AMB 之間，若該模態(tài)被外部激勵(lì)激起，在傳感器節(jié)點(diǎn)處檢測(cè)到的模態(tài)頻率分量與AMB 節(jié)點(diǎn)處的分量方向相反。

圖3 柔性轉(zhuǎn)子前五階彎曲模態(tài)振型Fig.3 The first to five-order bending mode shape of flexible rotor

圖4 不同轉(zhuǎn)速下AMB 附近的三階彎曲模態(tài)節(jié)點(diǎn)變化圖Fig.4 Variation diagram of third-order bending mode nodes near the AMB at different rotational speeds

彎曲模態(tài)信號(hào)的衰減有兩種方式：一為閉環(huán)增益小于1；二為控制器提供正確的反向控制且相位超前。第一種方式主要是因?yàn)槎A物理系統(tǒng)固有的信號(hào)衰減效應(yīng)，是高階模態(tài)一般不容易激起的原因。同位系統(tǒng)中不存在不穩(wěn)定模態(tài)，因?yàn)樵谕幌到y(tǒng)中，PID 在整個(gè)控制器帶寬內(nèi)都能使AMB 提供類似機(jī)械軸承的正剛度和正阻尼；而在不同位系統(tǒng)中，則需考察彎曲模態(tài)信號(hào)的衰減條件是否滿足。

基于圖2的轉(zhuǎn)子在Simulink平臺(tái)建立了AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)狀態(tài)方程模型（式（3））進(jìn)行研究，電磁力采用式（2）的線性化模型。

首先，分別向同位和不同位系統(tǒng)的AMB 的一個(gè)通道注入0～1000 Hz 的掃頻電流，對(duì)掃頻過(guò)程中轉(zhuǎn)子對(duì)應(yīng)通道的位移應(yīng)用短時(shí)傅里葉變換進(jìn)行時(shí)間-頻域分析，提取其中逐漸發(fā)散的頻率分量，其結(jié)果如圖5 和6 所示。

圖5 同位系統(tǒng)掃頻結(jié)果Fig.5 Frequency sweep result of collocated system

圖6 不同位系統(tǒng)掃頻結(jié)果Fig.6 Frequency sweep result of non-collocated system

通過(guò)對(duì)比圖5 和6 可以看出，掃頻電流依次激起各階彎曲模態(tài)信號(hào)。一段時(shí)間后，同位系統(tǒng)的模態(tài)信號(hào)均能衰減，而不同位系統(tǒng)的三階彎曲模態(tài)信號(hào)被激起后呈發(fā)散趨勢(shì)。四階和五階彎曲模態(tài)雖然也受不同位效應(yīng)影響，但因其頻率高，閉環(huán)回路增益小，因此信號(hào)激起后逐漸衰減。因此，所研究轉(zhuǎn)子的第三階彎曲模態(tài)受到不同位效應(yīng)影響最大，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響也最大。

然后，進(jìn)行恒速旋轉(zhuǎn)仿真，對(duì)失穩(wěn)過(guò)程中轉(zhuǎn)子的位移進(jìn)行時(shí)間-頻域分析，其結(jié)果如圖7所示。在靜態(tài)懸浮時(shí)，不穩(wěn)定頻率分量為380 Hz；在轉(zhuǎn)速為100 Hz時(shí)，不穩(wěn)定頻率分量約為340 Hz；在轉(zhuǎn)速為150 Hz時(shí)，不穩(wěn)定頻率分量約為310 Hz。值得注意的是，雖然該柔性轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速較低，并沒有跨越到第三階臨界轉(zhuǎn)速，但低階模態(tài)信號(hào)在仿真開始或起浮瞬間仍然能被激起。不受不同位影響的低階模態(tài)（一階、二階彎曲）在PID的控制下迅速衰減，而三階彎曲模態(tài)因不滿足衰減條件而發(fā)散。

圖7 不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子發(fā)散位移的時(shí)間-頻域分析結(jié)果Fig.7 Time-frequency analysis results of rotor divergent displacement under different rotational speeds

基于AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，可以計(jì)算得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下考慮陀螺效應(yīng)時(shí)的各階正向及反向渦動(dòng)頻率［15］，如表2 所示。

表2 柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同工作轉(zhuǎn)速下的正、反向渦動(dòng)頻率（單位：Hz）Tab.2 The positive and negative vorticity frequencies of flexible rotor system at different working rotational speeds（Unit：Hz）

一般來(lái)說(shuō)，除了轉(zhuǎn)子與定子間的碰摩會(huì)引發(fā)轉(zhuǎn)子的反向渦動(dòng)外，不平衡激勵(lì)不會(huì)激發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的反向渦動(dòng)。將表2 中柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同工作轉(zhuǎn)速下的正反向渦動(dòng)頻率與圖4 中對(duì)失穩(wěn)過(guò)程中轉(zhuǎn)子的位移時(shí)間-頻域分析提取出的不穩(wěn)定頻率進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，不同轉(zhuǎn)速下的兩個(gè)不穩(wěn)定的頻率分量剛好等于轉(zhuǎn)子的第三階彎曲反向渦動(dòng)頻率。因此，存在不滿足衰減條件的不同位彎曲模態(tài)時(shí)，轉(zhuǎn)子激發(fā)出對(duì)應(yīng)模態(tài)下的反向渦動(dòng)信號(hào)。

2.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)

根據(jù)AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可以得到從電磁力輸入到傳感器位移輸出的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中s為拉普拉斯算子。

根據(jù)Cramer 法則，式（5）可寫成：

那么開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)分別為：

可見，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的極點(diǎn)由質(zhì)量、阻尼、陀螺矩陣、剛度等轉(zhuǎn)子自身的動(dòng)力學(xué)特性決定，與傳感器位置無(wú)關(guān)。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的零點(diǎn)不僅與轉(zhuǎn)子自身動(dòng)力學(xué)特性相關(guān)，還與AMB 的位置（Ts矩陣）和傳感器的位置（Cm矩陣）有關(guān)。與同位系統(tǒng)相比，不同位系統(tǒng)僅改變了開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)位置和增益，不會(huì)影響系統(tǒng)極點(diǎn)的位置。

為了研究傳感器位置對(duì)轉(zhuǎn)子開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)的影響，先不考慮陀螺效應(yīng)，將傳感器位置按圖8 所示的方式，從兩邊逐漸向中間移動(dòng)，其中，第④種情況為同位系統(tǒng)情形。轉(zhuǎn)子從電磁力輸入到傳感器位移輸出的開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖如圖9所示。

圖8 位移傳感器的不同位置分析Fig.8 Analysis of different positions of displacement sensors

圖9 中的叉代表極點(diǎn)，圓圈代表零點(diǎn)。轉(zhuǎn)子的零極點(diǎn)圖關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，因此只列出零極點(diǎn)圖中的正虛軸部分。對(duì)于每一張圖，從下到上共有4 個(gè)極點(diǎn)和4 個(gè)零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著一到四階彎曲模態(tài)的頻率。

由圖9 可知，當(dāng)傳感器位置變化時(shí)，轉(zhuǎn)子開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位置始終不變，而零點(diǎn)位置改變。同位系統(tǒng)（序號(hào)④）傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)交錯(cuò)出現(xiàn)，即零點(diǎn)-極點(diǎn)-零點(diǎn)-極點(diǎn)。而不同位系統(tǒng)（序號(hào)①～③和⑤～⑦）中，這種交錯(cuò)現(xiàn)象就被打亂。當(dāng)某階彎曲模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位于位移傳感器節(jié)點(diǎn)與AMB 節(jié)點(diǎn)中間時(shí)（稱為“跨節(jié)點(diǎn)”），該模態(tài)對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)就會(huì)跨越到極點(diǎn)的另一邊。如序號(hào)為①～③的三種情況，對(duì)應(yīng)第三、四階彎曲模態(tài)（跨節(jié)點(diǎn)）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)移到極點(diǎn)上方，與第一、二階彎曲模態(tài)（不跨節(jié)點(diǎn)）的零點(diǎn)在極點(diǎn)下方恰好相反。

當(dāng)考慮陀螺效應(yīng)時(shí)，設(shè)定轉(zhuǎn)速為6000 r/min，傳感器和AMB 位置變化時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)子零極點(diǎn)的影響如圖10 所示。由于陀螺效應(yīng)的影響，雖然轉(zhuǎn)子的各階固有頻率分化成前向渦動(dòng)和反向渦動(dòng)兩個(gè)頻率，轉(zhuǎn)子每一階均具有兩對(duì)零極點(diǎn)。但不難發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的零點(diǎn)移動(dòng)方向與極點(diǎn)的相對(duì)位置均具有與不考慮陀螺效應(yīng)影響時(shí)傳感器不同位置下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布相同的規(guī)律。

圖10 考慮陀螺效應(yīng)時(shí)傳感器不同位置下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布Fig.10 The zeros and poles distribution of the rotor system at different positions of sensors when considering gyro effect

2.3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)曲線

以電磁力為輸入，位移為輸出得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的響應(yīng)伯德圖如圖11 所示。開環(huán)傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)曲線上的峰和谷分別對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，極點(diǎn)表示轉(zhuǎn)子的固有頻率，零點(diǎn)表示傳感器檢測(cè)到的位移為0 時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率，即轉(zhuǎn)子振型剛好位于傳感器位置時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率。

圖11 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)曲線Fig.11 Open loop frequency response curves of the rotor system

對(duì)圖11 進(jìn)行分析可得到如下結(jié)論：

（1）從固有頻率處的峰-谷順序來(lái)看，不同位系統(tǒng)中不跨節(jié)點(diǎn)的模態(tài)與同位系統(tǒng)相同，都是先出現(xiàn)谷，再出現(xiàn)峰，對(duì)應(yīng)于先零點(diǎn)后極點(diǎn)的順序；而不同位系統(tǒng)中跨節(jié)點(diǎn)的模態(tài)由于零極點(diǎn)相對(duì)位置相反，所以出現(xiàn)了先峰后谷的順序。

（2）從臨界區(qū)的相位上看，不同位系統(tǒng)中不跨節(jié)點(diǎn)的模態(tài)與同位系統(tǒng)相同，在幅頻尖峰下降后迅速降為0，而跨節(jié)點(diǎn)模態(tài)沒有上升過(guò)程，與同位信號(hào)保持有180°相位差，直至臨界區(qū)結(jié)束。

因此，AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)頻率響應(yīng)曲線上先極點(diǎn)后零點(diǎn)的錯(cuò)位使得跨節(jié)點(diǎn)的相位在臨界區(qū)有180°相位差。當(dāng)轉(zhuǎn)子振動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的模態(tài)頻率信號(hào)與傳感器測(cè)得的轉(zhuǎn)子位移信號(hào)剛好相反，這是不同位效應(yīng)產(chǎn)生特殊相位行為的根源。

（3）從AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)曲線來(lái)看，不同位系統(tǒng)的增益比同位系統(tǒng)更高，在尖峰處幅值更大。圖12 為單通道注入電流激勵(lì)的情況下，不同位效應(yīng)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)位移信號(hào)發(fā)散過(guò)程中，傳感器節(jié)點(diǎn)和AMB 節(jié)點(diǎn)輸出的時(shí)間-頻域圖像。與AMB 節(jié)點(diǎn)對(duì)比，傳感器節(jié)點(diǎn)（不同位信號(hào)）具有更多的高階模態(tài)分量。

圖12 不同位效應(yīng)導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)位移發(fā)散過(guò)程中的時(shí)間-頻域圖像Fig.12 Time-frequency image of divergent process of system vibration displacement caused by non-collocated effect

2.4 不同位系統(tǒng)狀態(tài)方程分析

AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的狀態(tài)空間方程為：

式中Am為模型降階后的系統(tǒng)特征矩陣；Bm為輸入矩陣；Bum為不平衡力輸入矩陣；Cmm為位移傳感器輸出矩陣；Fum為降階系統(tǒng)的不平衡力矩陣。

設(shè)分散PID 控制器的傳遞函數(shù)為：

式中Kp為比例系數(shù)；Kir為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)；Ti為微分時(shí)間常數(shù)。

將單通道分散PID 控制器的傳遞函數(shù)改寫為狀態(tài)空間方程的形式：

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的輸出y為PID 的輸入uc項(xiàng)，輸出yc為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的輸入u項(xiàng)，合并四個(gè)通道的PID 方程，化簡(jiǎn)得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征矩陣為：

式中Ac=diag［Ac1，Ac2，Ac3，Ac4］，Cc=diag［Cc1，Cc2，Cc3，Cc4］，Dc=diag［Dc1，Dc2，Dc3，Dc4］。

該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程包括了四路分散PID 控制和完整的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，屬于多輸入多輸出系統(tǒng)分析，相比于傳統(tǒng)簡(jiǎn)化成單路的單輸入單輸出傳遞函數(shù)分析，其充分考慮了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)x和y方向的耦合作用，更能反映出閉環(huán)系統(tǒng)的特性。

本文采用分次截?cái)嗟姆椒ǚ直娉龈麟A模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征值。閉環(huán)系統(tǒng)特征值的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖13 所示，符號(hào)曲線的顏色從淺到深表示轉(zhuǎn)速?gòu)牡偷礁摺Ｍ幌到y(tǒng)的前五階特征值軌跡在左半平面，說(shuō)明對(duì)于同位系統(tǒng)而言，簡(jiǎn)單的PID 控制就可以穩(wěn)定系統(tǒng)的各階彎曲模態(tài)。但非同位系統(tǒng)的第三階和更高階彎曲模態(tài)的特征值全部位于右半平面，處于不穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)這些不穩(wěn)定模態(tài)信號(hào)的閉環(huán)增益大于1 時(shí)會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖13 同位和不同位系統(tǒng)的特征值沿轉(zhuǎn)速的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.13 The motion trail of eigenvalues of collocated and non-collocated systems along the speed

3 不同位效應(yīng)的抑制

為了穩(wěn)定不同位系統(tǒng)，應(yīng)抑制控制器對(duì)相關(guān)模態(tài)分量的增益，這通常有微分濾波、減小微分系數(shù)和低通濾波三種方法。

3.1 微分濾波

重寫PID 中的微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

式中N為濾波系數(shù)，與前述微分時(shí)間常數(shù)互為倒數(shù)對(duì)應(yīng)。

在一般PID 控制器的設(shè)計(jì)中，為了得到理想的微分信號(hào)，通常將N取得很大，得到的PID 控制器在相當(dāng)高頻率時(shí)都有增益。為了抑制因高頻增益過(guò)大導(dǎo)致的不同位系統(tǒng)的不穩(wěn)定，應(yīng)采取減小N的策略。

不同濾波系數(shù)N條件下PID 控制器的伯德圖如圖14 所示。N越小，PID 控制器對(duì)高頻增益越低，但同時(shí)相位超前量小會(huì)引發(fā)阻尼不足的問題，特別是在跨越臨界轉(zhuǎn)速區(qū)時(shí)，若阻尼不足會(huì)引起強(qiáng)烈的共振。

圖14 不同濾波系數(shù)N 的PID 控制器伯德圖Fig.14 Bode plot of PID controller under different filter coefficients N

圖15 為0～250 Hz 運(yùn)行區(qū)間，不同濾波系數(shù)N的閉環(huán)系統(tǒng)特征值的運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖15 可見，濾波系數(shù)N取較小值能讓位于右半平面的不穩(wěn)定特征值向虛軸方向移動(dòng)，等效于減小了這些不穩(wěn)定模態(tài)的增益。但與此同時(shí)位于左半平面的穩(wěn)定特征值也向虛軸移動(dòng)，即削弱了這些模態(tài)的控制信號(hào)，造成穩(wěn)定過(guò)渡過(guò)程變長(zhǎng)。

圖15 不同濾波系數(shù)N 的閉環(huán)系統(tǒng)特征值運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.15 The motion trail of eigenvalue of closed-loop system under different filter coefficients N

3.2 減小增益系數(shù)

比例系數(shù)Kp影響PID 控制器全頻段的增益，而微分系數(shù)Kd主要影響高頻段的增益。在系統(tǒng)運(yùn)行速度緩慢或在靜態(tài)懸浮時(shí)，PID 控制器的增益主要由比例系數(shù)Kp決定；系統(tǒng)運(yùn)行在柔性區(qū)間時(shí)，PID控制器的增益則主要由微分系數(shù)Kd決定。因此，對(duì)于運(yùn)行在柔性區(qū)間的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，減小微分系數(shù)Kd是一種有效的方法。

圖16 為不同微分系數(shù)Kd的閉環(huán)系統(tǒng)特征值的運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖16 可知，小微分系數(shù)的作用與微分濾波相類似，能讓位于右半平面的不穩(wěn)定特征值向虛軸方向移動(dòng)，減小了這些不穩(wěn)定模態(tài)的增益。但與此同時(shí)位于左半平面的穩(wěn)定特征值也向虛軸移動(dòng)。這一方法實(shí)際上是通過(guò)輔助微分環(huán)節(jié)濾波來(lái)達(dá)到縮減整體微分增益的目的。

圖16 不同微分系數(shù)Kd的閉環(huán)系統(tǒng)特征值運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.16 The motion trail of eigenvalue of closed-loop system under different differential coefficients Kd

3.3 插入式自適應(yīng)陷波器

為了降低控制器對(duì)不穩(wěn)定模態(tài)的增益，可用陷波器有針對(duì)性地對(duì)某階模態(tài)頻率進(jìn)行陷波。常用的陷波器為串聯(lián)二階陷波器，其傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

式中α為阻尼因子，用于調(diào)節(jié)陷波器尖峰的陡峭程度；ωr為中心頻率。

該二階陷波器直接串聯(lián)在PID 控制器后，若陷波頻率較低時(shí)（400 Hz 以內(nèi)），會(huì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成影響。為了避免此類問題，可采用插入式自適應(yīng)陷波器?；贚MS（Least Mean Square）算法的自適應(yīng)陷波器在t=kT時(shí)刻的迭代表達(dá)式為：

式中x為輸入；u為步長(zhǎng)；y為輸出；T為采樣時(shí)間；w1和w2為迭代權(quán)重系數(shù)。

插入式自適應(yīng)陷波器的結(jié)構(gòu)如圖17 所示。

圖17 插入式自適應(yīng)陷波器的結(jié)構(gòu)Fig.17 The structure of plug-in adaptive notch filter

串聯(lián)二階陷波器（α=1/6）和插入式自適應(yīng)陷波器的控制器伯德圖如圖18 所示?？梢妰蓚€(gè)陷波器的頻率響應(yīng)特性是類似的，但在試驗(yàn)應(yīng)用時(shí)，若采用串聯(lián)二階濾波器，當(dāng)陷波頻率較低時(shí)，陷波器陷波頻率之前的相位滯后可能會(huì)影響懸浮穩(wěn)定，同時(shí)還會(huì)增加系統(tǒng)階數(shù)。另外，輸出不可限幅很有可能導(dǎo)致試驗(yàn)失敗。插入式自適應(yīng)陷波器應(yīng)用了LMS 算法，其輸出信號(hào)是以一個(gè)頻率為算法中心頻率的正弦波，不包括其他頻率段的分量，因此不會(huì)對(duì)系統(tǒng)相位產(chǎn)生影響。可方便地對(duì)權(quán)重系數(shù)進(jìn)行限幅，靈活調(diào)控輸出以避免陷波器對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響。

圖18 加入陷波器前后系統(tǒng)的伯德圖Fig.18 Bode plot of system before and after adding notch filter

4 試驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證AMB-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同位效應(yīng)的抑制方法，搭建了如圖19 所示的AMB-多盤柔性轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)。兩個(gè)AMB 安裝在試驗(yàn)臺(tái)兩端的軸承座內(nèi)部，電渦流位移傳感器安裝在軸承座側(cè)邊的端蓋上。本文進(jìn)行了靜態(tài)懸浮、掃頻、不平衡電流激勵(lì)和旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)。

圖19 AMB-柔性轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)Fig.19 Test rig of AMB-flexible rotor

4.1 靜態(tài)懸浮試驗(yàn)

首先進(jìn)行靜態(tài)懸浮試驗(yàn)，偏置電流設(shè)定為1 A，PID 控制器設(shè)置一組初始參數(shù)（Kp=7，Kir=3，Kd=0.009），1 號(hào)軸承懸浮成功，2 號(hào)軸承x方向懸浮失敗。系統(tǒng)的位移信號(hào)如圖20 所示。嘗試兩次懸浮，均在系統(tǒng)即將運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)位置時(shí)發(fā)散而碰撞保護(hù)軸承。

圖20 系統(tǒng)懸浮失敗的位移信號(hào)Fig.20 Displacement signal of system suspension failure

圖21 為靜態(tài)懸浮試驗(yàn)過(guò)程中轉(zhuǎn)子位移信號(hào)的時(shí)間-頻域分析結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)，發(fā)散的信號(hào)頻率為第三階模態(tài)的頻率，且在控制過(guò)程中被反復(fù)激勵(lì)，為失穩(wěn)模態(tài)信號(hào)。

圖21 系統(tǒng)懸浮失敗的位移時(shí)間-頻域分析圖Fig.21 Displacement time-frequency analysis diagram of system suspension failure

多次調(diào)整參數(shù)后發(fā)現(xiàn)，只能采用小增益（Kp≤5.5）的方式才可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的靜態(tài)懸浮，懸浮的位移信號(hào)如圖22 所示。在懸浮時(shí)，Kp對(duì)第三階模態(tài)信號(hào)影響大，Kd對(duì)第三階模態(tài)信號(hào)影響小，為了穩(wěn)定懸浮，必須將Kp減小。

圖22 小增益下系統(tǒng)懸浮的位移信號(hào)Fig.22 Displacement signal of system suspension under small gain

在系統(tǒng)臨界發(fā)散時(shí)，啟動(dòng)插入式自適應(yīng)陷波器，調(diào)節(jié)陷波器的中心頻率至三階模態(tài)信號(hào)附近，試驗(yàn)結(jié)果如圖23 所示。結(jié)果表明，插入式自適應(yīng)陷波器可在一定程度上衰減三階模態(tài)信號(hào)，抑制系統(tǒng)發(fā)散。

圖23 插入式自適應(yīng)陷波器的試驗(yàn)結(jié)果Fig.23 Experimental results of plug-in adaptive notch filter

4.2 掃頻激勵(lì)試驗(yàn)

設(shè)定較小的PID 值穩(wěn)定懸浮后，掃頻儀依次向系統(tǒng)中的每個(gè)通道注入掃頻電流，如圖24 所示。

2 號(hào)AMB 的x方向掃頻試驗(yàn)結(jié)果如圖25 所示。在經(jīng)過(guò)第三階柔性模態(tài)頻率時(shí)出現(xiàn)了發(fā)散失穩(wěn)，導(dǎo)致掃頻儀在350～400 Hz 獲得的數(shù)據(jù)有誤，停止控制信號(hào)重新懸浮才可恢復(fù)正常。掃頻結(jié)果與仿真相符，說(shuō)明受不同位影響的低階模態(tài)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響。

圖25 轉(zhuǎn)子掃頻結(jié)果Fig.25 Frequency sweep results of rotor

4.3 模擬旋轉(zhuǎn)的不平衡試驗(yàn)

在兩個(gè)AMB 中施加干擾電流，以等效旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的不平衡激勵(lì)。圖26 為干擾電流的頻率逐漸增大過(guò)程中轉(zhuǎn)子的位移信號(hào)，在8 s 時(shí)開始加入模擬旋轉(zhuǎn)的不平衡力，在34 s 時(shí)，不平衡激勵(lì)接近300 Hz，系統(tǒng)出現(xiàn)劇烈振蕩。為了研究減小增益系數(shù)能否抑制不同位效應(yīng)，保持激勵(lì)幅值和頻率不變，分步調(diào)整Kp和Kd值，發(fā)現(xiàn)模擬旋轉(zhuǎn)激勵(lì)條件下，不穩(wěn)定模態(tài)信號(hào)受Kd影響大，而受Kp影響小。最終，通過(guò)大幅度減小Kd值（Kd=0.0065），削弱了失穩(wěn)現(xiàn)象。圖27 為施加模擬不平衡激勵(lì)過(guò)程中轉(zhuǎn)子位移信號(hào)的時(shí)間-頻域分析結(jié)果。可見失穩(wěn)時(shí)激起了強(qiáng)烈的第三階模態(tài)信號(hào)和其他模態(tài)信號(hào)。多次降低Kd的值后，發(fā)散信號(hào)逐漸減小，但對(duì)系統(tǒng)正常運(yùn)行仍有明顯影響。

圖26 施加不平衡激勵(lì)的位移信號(hào)Fig.26 Displacement signal of applying unbalanced excitation

圖27 施加不平衡激勵(lì)的位移時(shí)間-頻域分析圖Fig.27 Displacement time-frequency analysis diagram of applying unbalanced excitation

靜態(tài)懸浮和模擬旋轉(zhuǎn)的不平衡試驗(yàn)的結(jié)果說(shuō)明，不同位效應(yīng)致使控制系統(tǒng)失穩(wěn)，縮小了PID 參數(shù)可調(diào)范圍。在靜態(tài)懸浮或系統(tǒng)運(yùn)行頻率較低時(shí)，應(yīng)減小比例系數(shù)；在系統(tǒng)運(yùn)行頻率較高時(shí)，應(yīng)減小微分系數(shù)。

圖28 為加入300 Hz 模擬不平衡電流時(shí)，改變微分濾波系數(shù)的結(jié)果。從N=2000 的發(fā)散狀況開始，逐漸降低N的數(shù)值，直到N=800?？梢娕c減小Kd的效果相似，發(fā)散在一定程度上被抑制。

圖28 改變?yōu)V波系數(shù)N 的位移信號(hào)Fig.28 Displacement signal with different filter coefficients N

4.4 旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)

為了驗(yàn)證不同位效應(yīng)會(huì)激起反向渦動(dòng)，下調(diào)偏置電流至0.5 A，將Kp調(diào)至4.5，Kd調(diào)至0.0065，可讓轉(zhuǎn)子在小剛度下穩(wěn)定運(yùn)行并跨越二階彎曲臨界轉(zhuǎn)速至最高運(yùn)行轉(zhuǎn)速250 Hz。2 號(hào)軸承的x方向在升速和降速過(guò)程的振動(dòng)如圖29 所示，時(shí)間-頻域分析如圖30 所示。

圖29 轉(zhuǎn)子升速和降速過(guò)程的振動(dòng)曲線Fig.29 Vibration curves of rotor accelerating and decelerating process

圖30 轉(zhuǎn)子升、降速過(guò)程的時(shí)間-頻域分析圖Fig.30 Time-frequency analysis diagram of rotor accelerating and decelerating process

從圖30 中可以看到，在小剛度下，轉(zhuǎn)子位移中仍然含有三階彎曲模態(tài)信號(hào)。在轉(zhuǎn)子開始加速時(shí)，三階模態(tài)信號(hào)分為兩支，其中隨著轉(zhuǎn)速上升而升高的前向渦動(dòng)分支信號(hào)很小，而隨著轉(zhuǎn)速上升而降低的反向渦動(dòng)分支信號(hào)較為明顯。當(dāng)轉(zhuǎn)子各倍頻與該反向渦動(dòng)分支信號(hào)相交時(shí)，交點(diǎn)顏色變深，證明轉(zhuǎn)子倍頻會(huì)激發(fā)三階彎曲模態(tài)的反向渦動(dòng)。但由于此時(shí)剛度小，閉環(huán)增益小，激發(fā)起來(lái)的不穩(wěn)定信號(hào)很快在回路中被削減，沒有影響穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

在電磁軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于各種因素的限制，轉(zhuǎn)子的位移傳感器無(wú)法安裝在電磁軸承的中心位置，因而產(chǎn)生了傳感器中心位置與電磁軸承中心位置不同位。本文從轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性、開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)、頻率響應(yīng)曲線以及根軌跡等四個(gè)方面分析了傳感器與電磁軸承不重合的影響；然后提出了不穩(wěn)定模態(tài)信號(hào)的抑制方法；最后，對(duì)不同位效應(yīng)的影響和抑制方法進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。理論和試驗(yàn)結(jié)果可得到以下結(jié)論：

（1）高階模態(tài)信號(hào)的穩(wěn)定具有兩個(gè)方式，高階模態(tài)信號(hào)在二階物理系統(tǒng)得到自然的衰減，而低階模態(tài)信號(hào)需要控制器提供反向控制和相位超前。

（2）受不同位效應(yīng)影響的彎曲模態(tài)振型節(jié)點(diǎn)位于傳感器和電磁軸承之間，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)交錯(cuò)的規(guī)律被破壞。該模態(tài)信號(hào)分量一旦被激起，就存在不能得到衰減的可能性。

（3）受不同位效應(yīng)影響的彎曲模態(tài)對(duì)應(yīng)頻率下的閉環(huán)增益大于1 時(shí)，將會(huì)發(fā)散而導(dǎo)致失穩(wěn)，發(fā)散信號(hào)為反向渦動(dòng)模態(tài)信號(hào)。

（4）抑制不同位效應(yīng)的方法主要是降低控制器對(duì)不穩(wěn)定彎曲模態(tài)的增益，本文提出的降低剛度、減小PID 參數(shù)和采用插入式自適應(yīng)陷波器的方法，可有效抑制不穩(wěn)定模態(tài)信號(hào)的發(fā)散。