柳國環(huán)，陳欣宇，費(fèi)琦翔

（1.天津大學(xué)水利工程智能建設(shè)與運(yùn)維全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350；2.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350）

引言

受行波效應(yīng)、相干效應(yīng)和局部場地效應(yīng)的影響，地震動(dòng)表現(xiàn)出復(fù)雜的時(shí)空變化特性。地震動(dòng)的空間變異性對大壩、長距離隧道和大跨橋梁等長大結(jié)構(gòu)的影響不可忽視，因此預(yù)測并模擬空間變化的多點(diǎn)地震動(dòng)對長大結(jié)構(gòu)的抗震分析具有重要意義。俞瑞芳等［1］合成了多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動(dòng)并進(jìn)行了大跨結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析，重點(diǎn)關(guān)注了包線函數(shù)的影響。Li等［2］的研究表明，地表地震動(dòng)和地下地震動(dòng)在幅值和頻率分布上均表現(xiàn)出明顯差異，結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)深埋于地下，輸入地表地震動(dòng)將錯(cuò)估結(jié)構(gòu)響應(yīng)。為此，Liu等［3］提出了地下相干函數(shù)，結(jié)合場地傳遞函數(shù)，構(gòu)建了地下功率譜矩陣，生成了空間變化的地下多點(diǎn)地震動(dòng)。利用此方法，Liu 等［4-5］進(jìn)一步模擬了層狀飽和介質(zhì)有無上覆水時(shí)的地下多點(diǎn)地震動(dòng)，其研究結(jié)果揭示了介質(zhì)屬性和覆水因素對地下多點(diǎn)地震動(dòng)具有顯著影響。

針對地形和場地條件對地震動(dòng)的影響，學(xué)者們開展了廣泛研究。Wu 等［6］利用水平地表到峽谷表面的傳遞函數(shù)模擬了V 形峽谷表面的多點(diǎn)地震動(dòng)，但其未進(jìn)一步探究地下地震動(dòng)。韓淼等［7］開展了近斷層地震動(dòng)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析，重點(diǎn)比選出了相關(guān)性強(qiáng)、能表征近斷層地震動(dòng)破壞作用的主要參數(shù)。Liu 等［8］利用水平地表到峽谷表面再到地下的兩步傳遞函數(shù)法模擬了U 形峽谷場地的地下多點(diǎn)地震動(dòng)。柳國環(huán)等［9-12］陸續(xù)獲得了分層圓弧峽谷和V 形峽谷的地下多點(diǎn)地震動(dòng)，分析了其上橋梁在超大地震作用下的破壞模式。

現(xiàn)有研究所關(guān)注的場地普遍為單相介質(zhì)或飽和多孔介質(zhì)（雙相介質(zhì)），而天然場地往往是由單相介質(zhì)過渡至雙相介質(zhì)的相變場地，因此研究相變場地的地下多點(diǎn)地震動(dòng)模擬方法是必要的。近期，李鑫洋等［13］合成了半覆水相變圓弧形峽谷在SV 波入射下的地下多點(diǎn)地震動(dòng)，這是首次對相變場地多點(diǎn)地震動(dòng)的研究，但該文僅針對圓弧形峽谷，尚缺乏對在其他地形中引入介質(zhì)相變的研究。此外，現(xiàn)有地下地震動(dòng)模擬方法均采用了文獻(xiàn)［3］基于單相介質(zhì)場地提出的地下相干函數(shù)，文獻(xiàn)［13］未能考慮覆水效應(yīng)對地下相干函數(shù)的影響。因此，尚需推導(dǎo)出一種引入覆水效應(yīng)的地下相干函數(shù)。

基于此，本文將“介質(zhì)相變”和“峽谷覆水”兩大因素引入V 形峽谷場地，提出適用于半覆水相變V形峽谷的“覆水效應(yīng)地下相干函數(shù)”。基于此相干函數(shù)和場地特征，模擬地下多點(diǎn)地震動(dòng)，探究“覆水效應(yīng)地下相干函數(shù)”和“覆水深度”對多點(diǎn)地震動(dòng)、進(jìn)而對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。

1 覆水效應(yīng)地下相干函數(shù)

當(dāng)?shù)乇韮牲c(diǎn)j和k均位于無覆水區(qū)時(shí)，對應(yīng)地下兩點(diǎn)j'和k'間的相干函數(shù)可按文獻(xiàn)［3］計(jì)算：

式中ω為地震波的圓頻率；τ為時(shí)間因子且τ=k?z/ω=z，其中，ρ為目標(biāo)點(diǎn)處土壤的密度，z為目標(biāo)點(diǎn)距離地表的深度，k*和G*分別代表復(fù)波數(shù)和復(fù)剪切模量，其表達(dá)式分別為：

式中G為土體的剪切模量；ζ為土體的阻尼比。

當(dāng)j，k兩點(diǎn)位于覆水區(qū)時(shí)，文獻(xiàn)［3］未考慮P 波在水中的傳播，本文針對該缺陷，在地下相干函數(shù)中引入覆水效應(yīng)。此時(shí)點(diǎn)k的振動(dòng)可以用具有相位差的點(diǎn)j的振動(dòng)來表示：

式中A為諧波運(yùn)動(dòng)的振幅；τj和τk為常數(shù)，計(jì)算方法同上；ρw為水的密度為水的復(fù)體積模量；hwj為j點(diǎn)距離覆水水面的深度；hwk為k點(diǎn)距離覆水水面的深度。等式右邊括號內(nèi)增加的第3 和5 項(xiàng)分別表示j，k兩點(diǎn)處由于P 波在水中傳播而產(chǎn)生的附加相位角。

式中Kw為水的體積模量；研究表明，在黏彈性波動(dòng)方程中，除了存在剪切黏滯性，還存在一種與體積變化有關(guān)的黏滯性［14］，本文將水視作理想流體，不承受剪力，故略去剪切黏度，η代表與體積變化有關(guān)的黏度；ω0代表介質(zhì)固有的過渡頻率［14］。

過渡頻率ω0、黏度η和體積模量Kw之間存在如下關(guān)系［14］：

文獻(xiàn)［15］指出，當(dāng)ω/ω0?1（實(shí)際地震波傳播情況）時(shí)，1+iω/ω0≈，故式（4）變?yōu)椋?/p>

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，地表兩點(diǎn)j和k間的互功率譜密度函數(shù)可以表示為：

式中Rjk(Δτ)為j，k兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的互相關(guān)函數(shù)。

將式（3）代入式（7），并注意到積分區(qū)間趨于無窮大時(shí)，最終結(jié)果不受初始相位差的影響，得到：

相似地，地下兩點(diǎn)j'和k'間的互功率譜密度函數(shù)可以表示為：

地面和地下運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)相干函數(shù)之間的關(guān)系可以表示為：

式中γjk(iω)和γj'k'(iω)分別為地表和地下相干函數(shù)；TFjj'(ω)和TFkk'(ω)為地表到地下的傳遞函數(shù)。

將式（8）和（9）代入式（10）可以得到：

綜上，對于局部覆水的場地，地下相干函數(shù)與地表相干函數(shù)的關(guān)系為：

2 半覆水相變V形峽谷地下多點(diǎn)地震動(dòng)模擬

2.1 目標(biāo)點(diǎn)地震動(dòng)模擬結(jié)果

采用文獻(xiàn)［10］提出的兩步傳遞函數(shù)法（水平自由表面→V 形峽谷表面→峽谷地下），傳遞函數(shù)由半覆水相變V 形峽谷散射頻域理論解得到。聯(lián)立本文的地下相干函數(shù)構(gòu)造地下功率譜矩陣，通過Cholesky 分解生成了相變V 形峽谷場地的多點(diǎn)地震動(dòng)。目標(biāo)點(diǎn)的選取如圖1 所示，各點(diǎn)坐標(biāo)已在圖中注明，地震動(dòng)持時(shí)取為20.48 s。選取Clough-Penzien 功率譜［16］作為水平地表的目標(biāo)功率譜，其參數(shù)取為S0=0.0069，ωg=5π rad/s，ωf=0.1ωg，ξg=ξf=0.6。地表相干函數(shù)模型采用Hao 等［17］的模型，參數(shù)采用SMART-1 臺陣45 條地震記錄的統(tǒng)計(jì)參數(shù)［16］，其參數(shù)β1，a，b和c分別取值為1.109×10-4，3.853×10-3，-1.811×10-5和1.177×10-4。選 取Jennings包絡(luò)函數(shù)［16］進(jìn)行調(diào)幅，其參數(shù)t1，t2和c分別取為1.2，9 和0.155。覆水深度取為峽谷深度的一半，水的體積模量取為2.2×109Pa，密度取為1000 kg/m3，各層土體物理參數(shù)如表1 所示。

表1 各層土體物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of soil

圖1 目標(biāo)點(diǎn)示意圖Fig.1 Illustration of target points

圖2 給出了各目標(biāo)點(diǎn)的模擬加速度時(shí)程，圖中標(biāo)注的σ代表所模擬加速度時(shí)程的標(biāo)準(zhǔn)差，上標(biāo)“db”和“dx”分別代表該點(diǎn)位于地表和地下，下標(biāo)“b”代表峽谷半覆水。結(jié)果表明，各地下目標(biāo)點(diǎn)的加速度峰值和標(biāo)準(zhǔn)差均小于相應(yīng)的地表目標(biāo)點(diǎn)，這是由土體的濾波作用和放大效應(yīng)所導(dǎo)致的，而地表目標(biāo)點(diǎn)和地下目標(biāo)點(diǎn)的最大距離僅為120 m，衰減阻尼可以忽略不計(jì)。地表A，B，C 和D 點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差放大幅度分別為26.8%，13.9%，36.8% 和38.4%，表明土體的放大效應(yīng)與土層厚度呈正相關(guān)。此外，點(diǎn)C和C'與點(diǎn)D 和D'間跨越了相變界面，相變界面使土體產(chǎn)生了分層，層效應(yīng)會(huì)加劇土體的放大效應(yīng)［10］。一系列實(shí)測數(shù)據(jù)和理論研究表明，河谷地形存在放大效應(yīng)，峽谷兩側(cè)壁有明顯的地震放大現(xiàn)象，并且隨高程的增高地震放大系數(shù)越來越大，谷頂?shù)卣饎?dòng)大于谷底［18］。本文模擬結(jié)果表明，谷頂C 點(diǎn)地震動(dòng)大于谷底B 點(diǎn)地震動(dòng)，與已有研究成果結(jié)論一致。

圖2 地表及地下目標(biāo)點(diǎn)模擬加速度時(shí)程Fig.2 Simulated acceleration time histories of ground and underground target points

2.2 功率譜及相干函數(shù)擬合

圖3 給出了目標(biāo)點(diǎn)加速度時(shí)程的頻譜關(guān)系，限于篇幅，本文僅以地表A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、地下A'點(diǎn)和B'點(diǎn)為例。各點(diǎn)目標(biāo)功率譜的譜密度主要集中在頻率小于4 Hz 的低頻區(qū)間，受傳遞函數(shù)隨頻率波動(dòng)的影響，地表目標(biāo)譜和地下目標(biāo)譜均表現(xiàn)出了波動(dòng)性，且地下目標(biāo)譜的總面積小于地表目標(biāo)譜。模擬譜按S(ω)=F(ω)F*(ω)/Δω計(jì)算，其中，F(xiàn)(ω)為單條加速度時(shí)程的傅里葉譜，F(xiàn)*(ω)為F(ω)的共軛復(fù)數(shù)，Δω為頻率步長。結(jié)果表明，各目標(biāo)點(diǎn)的模擬功率譜均與目標(biāo)功率譜擬合良好。圖4 給出了相干函數(shù)的擬合情況，限于篇幅，僅以點(diǎn)AB（A'B'）和點(diǎn)BC（B'C'）間的相干函數(shù)為例。結(jié)果表明，盡管相干函數(shù)的模擬值出現(xiàn)了一定程度的波動(dòng)，但總體上模擬值仍圍繞目標(biāo)值變化，故所模擬地震動(dòng)表現(xiàn)出了良好的空間相關(guān)性，證明了本文所模擬地震動(dòng)的合理性。

圖3 目標(biāo)點(diǎn)功率譜擬合Fig.3 PSD fitting of target points

圖4 地表及地下相干函數(shù)擬合Fig.4 Fitting of ground and underground coherence functions

2.3 改進(jìn)前后地下相干函數(shù)的對比

覆水效應(yīng)的地下相干函數(shù)乘以了一個(gè)代表水影響的復(fù)指數(shù)函數(shù)，即

式中 上標(biāo)“0”和“1”分別代表未改進(jìn)和改進(jìn)。

圖1 給出了各目標(biāo)點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，以峽谷半覆水為例，目標(biāo)點(diǎn)A'B'，A'C'和A'D'間的相干性變化如圖5 所示，由于Hao 等［17］的模型對百米 以上距離擬合效果較好，故地表相干函數(shù)模型采用Hao 等［17］的模型，其參數(shù)取值與2.1 節(jié)中一致。結(jié)果表明，引入覆水效應(yīng)后，多點(diǎn)地震動(dòng)間相干性表現(xiàn)增強(qiáng)。

圖5 改進(jìn)前后相干函數(shù)模型的對比Fig.5 Coherence functions comparison between before-and after-improvement model

該現(xiàn)象的物理本質(zhì)是：引入覆水效應(yīng)后，P 波可以在水中傳播，與周邊土介質(zhì)中波動(dòng)的相互影響增強(qiáng)，波動(dòng)連續(xù)性更強(qiáng)，由此導(dǎo)致地震動(dòng)間相干性表現(xiàn)增強(qiáng)。

2.4 本文提出的地下相干函數(shù)對地下多點(diǎn)地震動(dòng)的影響

圖6 給出了引入覆水效應(yīng)前后地下多點(diǎn)地震動(dòng)的對比，圖中下標(biāo)“0”和“1”分別代表未改進(jìn)和改進(jìn)。結(jié)果表明，引入覆水效應(yīng)后位于覆水區(qū)的點(diǎn)A'和點(diǎn)B'地震動(dòng)減?。ǘ叩臉?biāo)準(zhǔn)差分別為改進(jìn)前的0.94和0.97），而位于無覆水區(qū)的點(diǎn)C'和點(diǎn)D'地震動(dòng)增大（二者的標(biāo)準(zhǔn)差分別為改進(jìn)前的1.04 和1.11）。原因在于對應(yīng)P 波的部分能量被傳遞至水中，導(dǎo)致點(diǎn)A'和點(diǎn)B'地震動(dòng)減小。

圖6 本文提出的地下相干函數(shù)對地震動(dòng)的影響Fig.6 Influence of the proposed underground coherence function on seismic motions

2.5 覆水深度對地震動(dòng)的影響

為了進(jìn)一步探究覆水深度對地下多點(diǎn)地震動(dòng)的影響，圖7 分別給出了陜谷無覆水和滿覆水時(shí)各點(diǎn)處地震動(dòng)放大幅度的對比（半覆水時(shí)的地震動(dòng)已在圖2 給出），圖中下標(biāo)“w”和“m”分別代表峽谷無覆水和滿覆水。圖7 中注明了地表地震動(dòng)的放大百分比。結(jié)果表明，土體對地震動(dòng)的放大作用隨著覆水深度的增大而減?。ㄘ?fù)相關(guān)），原因在于對應(yīng)P 波的部分能量被傳遞至水中，且覆水深度越大，傳遞至水中的能量越多，土體中的地震動(dòng)隨之越小。其中在點(diǎn)A（A'）處，無覆水與滿覆水相比，土體放大百分比的差值為10.7%，該數(shù)值在點(diǎn)B，C 和D 處分別為15.8%，4.6%和3.3%，這表明距離覆水越遠(yuǎn)，受覆水深度的影響越弱。此外，土層厚度相同的點(diǎn)C（C'）和點(diǎn)D（D'）相比，點(diǎn)C（C'）處地震動(dòng)放大幅度小，原因在于點(diǎn)C（C'）距離覆水較近，受覆水影響更大。

圖7 覆水因素對各點(diǎn)地震動(dòng)的影響Fig.7 Influence of water-covered factor on seismic motions

3 算例分析

3.1 工程概況與有限元模型

如圖8 所示，某預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋跨越半覆水V 形峽谷，峽谷寬為300 m，深為100 m，地基彈性模量為1.5 GPa，泊松比為0.22。剛構(gòu)橋全長300 m，跨徑組合為75 m+150 m+75 m，采用變截面箱梁，截面尺寸如圖9 所示。左墩高41 m，墩底埋深21 m，右墩高47 m，墩底埋深18 m?；炷敛捎肅50，縱筋和箍筋均采用HRB400。

圖8 某連續(xù)剛構(gòu)橋立面圖（單位：m）Fig.8 Elevation of a continuous rigid frame bridge（Unit：m）

圖9 主梁墩頂（左）及跨中（右）截面（單位：cm）Fig.9 Section of main beam at pier top（left）and midspan（right）（Unit：cm）

采用有限元軟件ABAQUS 建立橋梁的數(shù)值計(jì)算模型，進(jìn)行彈性時(shí)程分析，如圖10 所示。箱梁、橋墩、樁基和土體均采用C3D8R 實(shí)體單元，共12588個(gè)單元；鋼筋采用T3D2 桁架單元，共6732 個(gè)單元。墩梁綁定約束，鋼筋嵌入混凝土，由于本文不關(guān)注樁-土相互作用，樁土采用共節(jié)點(diǎn)簡化處理。梁體兩側(cè)只施加豎向位移約束及繞橋向轉(zhuǎn)動(dòng)約束（U3=UR1=UR2=0）。截取的地基周圍施加接地的彈簧和阻尼器以建立黏彈性人工邊界，模擬無限地基的輻射阻尼。黏彈性人工邊界的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)按文獻(xiàn)［19］計(jì)算。

圖10 橋梁有限元模型Fig.10 Finite element model of bridge

3.2 工況設(shè)置及地震動(dòng)輸入

本文共設(shè)置4 種工況，設(shè)置目的與詳細(xì)設(shè)置方式列于表2 中。地震動(dòng)采用多點(diǎn)輸入方式，依據(jù)前文方法模擬得到各組工況的地震動(dòng)，如圖11 所示。選取每一跨的跨中，以及左右兩橋墩的墩頂和墩底作為觀測點(diǎn)。輸入地震動(dòng)前首先對各組地震動(dòng)進(jìn)行歸一化處理，即對每一組地震動(dòng)數(shù)據(jù)除以該組數(shù)據(jù)中的最大值，再對歸一化后的數(shù)據(jù)分別按加速度峰值為0.2g和0.4g進(jìn)行輸入（g為重力加速度）。采用三向激勵(lì)，各方向的地震動(dòng)按順橋向∶橫橋向∶豎向=1∶0.85∶0.65 進(jìn)行設(shè)置。黏彈性邊界上采用文獻(xiàn)［20］的方法將地震動(dòng)以等效節(jié)點(diǎn)力的方式輸入。等效節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算公式如下：

表2 工況設(shè)置Tab.2 Setting up of cases

圖11 輸入的多點(diǎn)地震動(dòng)Fig.11 Multi-supports seismic motions input

3.3 跨越半覆水相變V 形峽谷橋梁地震響應(yīng)的對比與分析

本節(jié)計(jì)算了橋梁在各工況下的地震響應(yīng)，表3給出了工況1 下各觀測點(diǎn)處的最大內(nèi)力和位移。內(nèi)力結(jié)果表明，多點(diǎn)輸入時(shí)橋梁左右兩側(cè)的響應(yīng)表現(xiàn)出了明顯的非對稱性，其中右跨跨中的剪力和彎矩均遠(yuǎn)大于左跨跨中；中跨跨中的軸力遠(yuǎn)大于左右兩跨，但剪力和彎矩卻小于左右兩跨，其原因是梁體左右兩端進(jìn)行了豎向位移約束和繞橋向轉(zhuǎn)動(dòng)約束，導(dǎo)致左右兩跨自由度減小，其剪力彎矩響應(yīng)隨之增大。位移結(jié)果表明，盡管順橋向施加的地震動(dòng)大于橫橋向，但橫橋向的最大位移更大（右跨跨中處），這是由于兩橋墩順橋向激勵(lì)方向相反時(shí)，二者產(chǎn)生的位移被部分抵消。

表3 工況1 的最大內(nèi)力和位移Tab.3 Maximum internal force and displacement of case 1

表4，5 和6 分別給出了工況2，3 和4 的最大剪力和彎矩及其與工況1 的對比。結(jié)果表明，引入覆水效應(yīng)后本文剛構(gòu)橋的響應(yīng)普遍減小，且響應(yīng)與覆水深度呈負(fù)相關(guān)，原因在于對應(yīng)P 波的部分能量被傳遞至水中，且覆水深度越大，傳遞至水中的能量越多，傳遞到結(jié)構(gòu)上的能量隨之越小。前文分析表明，引入覆水效應(yīng)前后地震動(dòng)差值不足10%，而多點(diǎn)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大差值達(dá)到79.4%（左跨跨中在0.4g峰值下的彎矩），這表明本文提出的覆水效應(yīng)地下相干函數(shù)對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)影響顯著，在實(shí)際工程中不可忽視。工況3 中左跨跨中的剪力彎矩以及兩墩頂部的彎矩反而增大，工況4 中少數(shù)觀測點(diǎn)的內(nèi)力反而減小，原因是在多點(diǎn)激勵(lì)差動(dòng)輸入的復(fù)雜情況下，結(jié)構(gòu)不同位置的位移不同步，導(dǎo)致部分位置的內(nèi)力相對增大或減小。多點(diǎn)輸入更符合真實(shí)情況。

表4 工況2 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.4 Maximum shear and moment of case 2 and comparison between case 1 and 2

表5 工況3 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.5 Maximum shear and moment of case 3 and comparison between case 1 and 3

表6 工況4 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.6 Maximum shear and moment of case 4 and comparison between case 1 and 4

為了直觀地展示各種工況的內(nèi)力對比，圖12 給出了0.2g峰值下各觀測點(diǎn)最大剪力和彎矩的柱狀圖。

圖12 最大剪力、彎矩的柱狀圖Fig.12 Histogram of maximum shear and moment

4 結(jié)語

本文提出了覆水效應(yīng)地下相干函數(shù)，模擬了半覆水相變V 形峽谷場地地下多點(diǎn)地震動(dòng)，驗(yàn)證了其合理性，分析了覆水深度與相干性的影響。簡要總結(jié)如下：

（1）提出并推導(dǎo)出了覆水效應(yīng)的地下相干函數(shù)模型，模擬了基于該地下相干函數(shù)的半覆水相變V形峽谷多點(diǎn)地震動(dòng)，所生成的多點(diǎn)地震動(dòng)具有良好的譜兼容性和空間相關(guān)性。

（2）引入覆水效應(yīng)的多點(diǎn)地震動(dòng)間相干性表現(xiàn)增強(qiáng)，原因在于P 波可以在水中傳播，進(jìn)而與周邊土介質(zhì)中波動(dòng)的相互影響增強(qiáng)，波動(dòng)連續(xù)性更強(qiáng)。

（3）覆水效應(yīng)導(dǎo)致覆水區(qū)地震動(dòng)減?。煌馏w的放大作用隨覆水深度增大而減小，且距覆水越遠(yuǎn)受覆水影響越弱。

（4）以3 跨連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)槔?，探討了“覆水效?yīng)地下相干函數(shù)”及“峽谷覆水深度”對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響，覆水效應(yīng)降低了結(jié)構(gòu)響應(yīng)且結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨覆水深度的增大而減小。