陳泓欣，張志田，曾加?xùn)|，郄 凱

（1.海南大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，海南 海口 570228；2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

引言

渦振是一種兼有自激與限幅性質(zhì)的周期性振動，是由鈍體尾流中旋渦的交替脫落所致［1］，但根據(jù)鈍體的不同形態(tài)其機(jī)理表現(xiàn)也不同［2］。渦振會使橋梁的正常使用受到嚴(yán)重影響，甚至引起構(gòu)件的疲勞破壞［3］。因此準(zhǔn)確分析大跨度橋梁的渦振響應(yīng)有實際工程意義［4］。

對橋梁渦振特性的研究主要依賴節(jié)段模型風(fēng)洞試驗或計算流體力學(xué)（CFD）數(shù)值模擬。渦激振動可以由Navier-Stokes 方程結(jié)合邊界條件得出，但求解N-S 方程是困難的。Scanlan［5］提出了由簡諧力項、氣動阻尼力項與氣動剛度項組成的非線性半經(jīng)驗渦激力模型。該模型把氣動阻尼項改為由兩個氣動力參數(shù)控制的類范德波爾振子［6］，從而克服了線性模型不能反映渦振物理特性（如自激性質(zhì)與限幅性質(zhì)等）的缺陷。之后，文獻(xiàn)［7-8］研究表明，Scanlan 經(jīng)驗非線性模型中簡諧力項與氣動剛度項在大質(zhì)量比結(jié)構(gòu)中均可忽略。從而Scanlan 非線性經(jīng)驗?zāi)Ｐ涂珊喕癁榉兜虏柹φ褡幽Ｐ?，模型參?shù)通過穩(wěn)定的振幅識別。ZHU 等［9］針對扁平箱梁提出了一種非線性渦激力模型，并與Scanlan 的經(jīng)驗非線性渦激力模型進(jìn)行了比較。XU 等［10-11］提出了一種采用多項式表達(dá)的廣義渦激力模型，通過比較評價了經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣。這些模型也未能表達(dá)渦振時程中氣動響應(yīng)的非線性特征。文獻(xiàn)［12］研究了阻尼非線性對渦激力模型參數(shù)的影響。GAO 等［13］嘗試了一種能描述渦振與顫振的自激力的模型，分析了該模型氣動力參數(shù)隨折減風(fēng)速的演變。CHEN 等［14］通過CFD 數(shù)值模擬研究了扁平閉口箱梁渦激力的演變歷程。ZHANG 等［15］通過SIDF模型研究了渦激氣動特性隨瞬態(tài)振幅的分布。ZHANG 等［16］將氣動力參數(shù)簡化為一個，給出了基于瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)振幅的識別結(jié)果，并用于不同阻尼比下的渦振振幅預(yù)測。在氣動特征的應(yīng)用上，張志田等［17］基于能量原理得到節(jié)段模型至全橋模型的幅值換算關(guān)系。許坤等［18］通過兩自由度尾流振子模型研究了橋梁節(jié)段至全橋的渦振幅值換算關(guān)系。周奇等［19］、秦浩等［20］也研究了渦振幅值換算關(guān)系。這些換算關(guān)系未考慮非線性氣動特性隨瞬態(tài)振幅的影響。

通常，范德波爾振子渦激力模型是常參數(shù)模型。常參數(shù)模型能正確描述某一風(fēng)速、某個確定的結(jié)構(gòu)阻尼比下模型的渦振穩(wěn)態(tài)振幅，但不能描述渦激氣動力性能隨振幅演變的非線性特性。這種情況下識別出來的模型應(yīng)用十分有限，比如結(jié)構(gòu)阻尼比變化后模型即失效。而對阻尼比的依賴與高度敏感性是渦激共振的特征之一。針對這一問題，本文通過能量原理，探索渦激氣動力模型參數(shù)非線性化的基本方法。

1 渦激氣動力模型

1.1 常參數(shù)范德波爾振子模型

以文獻(xiàn)［7-8］提出的經(jīng)驗非線性模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行簡化后可得到如下雙參數(shù)范德波爾振子渦激氣動力模型：

式中ρ為空氣密度；D為節(jié)段模型特征高度；U為平均來流風(fēng)速；Y1為試驗識別得到的參數(shù)，為折算頻率K=Dω/U的函數(shù)，其中ω為結(jié)構(gòu)振動圓頻率；y和分別為結(jié)構(gòu)位移和速度；ε為試驗識別的氣動力參數(shù)；L為節(jié)段模型長度。

式（1）具有自激與限幅的雙重性質(zhì)，其初始?xì)鈩幼枘嵊蒠1(K)確定，當(dāng)其大于結(jié)構(gòu)阻尼時開始形成渦激振動，此時具有自激性質(zhì)；隨著振幅的增大，參數(shù)ε發(fā)揮并擴(kuò)大正阻尼作用，從而可限制振幅的無限發(fā)展，并最終形成極限環(huán)。式（1）表達(dá)的氣動力在宏觀上表現(xiàn)為阻尼形式，它不能反映氣動力對結(jié)構(gòu)振動頻率的影響，但通常情況下，渦激共振時結(jié)構(gòu)的頻率變化可忽略不計。從能量吸收或耗散的角度來看，識別出參數(shù)ε隨風(fēng)速以及振幅的演變特性后，該模型就具有了完備性。即可真實地反映各風(fēng)速下結(jié)構(gòu)的初始?xì)鈩幼枘峒捌潆S振幅的演變，從而可重現(xiàn)結(jié)構(gòu)的渦激振動響應(yīng)。

1.2 參數(shù)非線性化及識別原理

對于節(jié)段模型，其運(yùn)動方程可表示為：

式中m為模型的振動質(zhì)量；c為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)；k為懸掛系統(tǒng)的等效剛度；y和分別為模型的位移、速度和加速度。

在一個周期T內(nèi)，氣動力所做的功Wa為：

結(jié)構(gòu)振幅變化時，位移以及速度時程可分別表示為：

式中yT為模型在周期T內(nèi)的初始振幅；t為時間；λ為振幅增長或衰減指數(shù)。

結(jié)合式（1），（3）～（5）可得：

引入指數(shù)λ與振動宏觀阻尼比ξ的關(guān)系：

則式（7）可重新寫為：

通常情況下，即使是明顯的渦激共振，其宏觀阻尼比|ξ|≤0.05，此時有：

β相對α的誤差隨阻尼比ξ的變化曲線如圖1 所示。從圖中可知，在阻尼比絕對值小于5%的情況下，該誤差小于1%。因此Wa可簡化為：

圖1 β 相對α 的誤差隨阻尼比ξ 的變化Fig.1 Variation of the β-to-α error with damping ratio ξ

結(jié)構(gòu)阻尼力做功Wc為：

式中c為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，代入時程函數(shù)得：

式（11）和（13）分別表示氣動力和阻尼力在單個周期內(nèi)所做的功與結(jié)構(gòu)振幅yT以及指數(shù)λ的關(guān)系。當(dāng)模型振動為穩(wěn)定的極限環(huán)時，氣動阻尼與結(jié)構(gòu)阻尼在一個周期內(nèi)做功互相抵消；當(dāng)模型處于振幅增長階段時，單個周期內(nèi)二者做功有一定差值，具體表現(xiàn)為系統(tǒng)的機(jī)械能增大，其增量ΔW為：

式中 ?y為一個周期內(nèi)的振幅增量，文獻(xiàn)［21］研究表明高階力分量對振動能量輸入貢獻(xiàn)甚微，因此可忽略?y高階項。

由能量守恒定律可得，氣動阻尼力做功、結(jié)構(gòu)阻尼力做功以及二者差值的關(guān)系為：

將式（11）和（13）代入式（15）后化簡得：

從結(jié)構(gòu)動力學(xué)可知，在單個周期內(nèi)有：

令初始?xì)鈩幼枘嵯禂?shù)為：

則式（16）可寫成：

根據(jù)上式可識別參數(shù)ε隨振幅yT的演變關(guān)系。但前提是先識別出Y1，從而確定初始?xì)鈩幼枘醕in。

在穩(wěn)定的極限環(huán)狀態(tài)下，?y=0，?W=0，此時式（19）簡化為：

上式表明穩(wěn)態(tài)振動時ε的值由結(jié)構(gòu)阻尼、初始?xì)鈩幼枘嵋约胺€(wěn)態(tài)振幅三者共同確定。

要得到式（18）表示的初始?xì)鈩幼枘?，需要先根?jù)以下公式識別出Y1：

式中n為所采用的運(yùn)動周期數(shù)，可根據(jù)實際情況選用時程曲線開始的若干個周期；δn為與n相對應(yīng)計算得到的對數(shù)衰減率：

式中yT0為參考時刻0 的結(jié)構(gòu)振幅；yTn則為相對于時刻0 第n個周期后的振幅。

參數(shù)識別后，根據(jù)式（18）可得到初始?xì)鈩幼枘岜葹椋?/p>

2 應(yīng)用算例

本文采用圖2 所示的橋梁主梁斷面制作了縮尺比為1∶50 的節(jié)段模型并進(jìn)行了渦激共振風(fēng)洞試驗，試驗裝置如圖3 所示。模型主要特性如表1 所示，試驗雷諾數(shù)范圍為1.0×104～1.3×104。傳統(tǒng)渦激共振風(fēng)洞試驗中，通常在某一級風(fēng)速下達(dá)到穩(wěn)態(tài)振幅后再增加風(fēng)速，連續(xù)測試其在下一級風(fēng)速下的振動。與傳統(tǒng)方法不同的是，在本文的試驗過程中，每級風(fēng)速下須首先控制模型至靜止?fàn)顟B(tài)，再讓其自由發(fā)展到等幅振動狀態(tài)，從而得到各級風(fēng)速下渦激振幅的完整演變過程。

表1 模型主要特性Tab.1 Major properties of the model

圖2 橋梁主梁斷面構(gòu)造圖（單位：mm）Fig.2 Configuration of the bridge girder section（Unit：mm）

圖3 節(jié)段模型測振試驗裝置Fig.3 Experimental set-up of the sectional model vibration test

圖4 給出了該模型在均勻流場下的渦振鎖定區(qū)間。鎖定區(qū)間內(nèi)共測試了六組時程曲線，相應(yīng)的振幅演變曲線通過Newmark-β法計算，結(jié)果如圖5 所示，U/（fD）=10.19 時的時程局部細(xì)節(jié)如圖6 所示。在識別初始?xì)鈩幼枘釁?shù)時，取時程曲線起振時若干個周期進(jìn)行分析，如圖7 所示。但受小振幅以及特征紊流隨機(jī)激勵的影響，具體取幾個周期進(jìn)行分析是一個比較難以確定的問題，因此初始?xì)鈩恿?shù)的識別結(jié)果受多種因素制約。在圖7 中，根據(jù)氣動阻尼比將給定時程劃分為初始?xì)鈩幼枘嶙R別區(qū)、參數(shù)演變區(qū)和穩(wěn)定區(qū)。其中，初始?xì)鈩幼枘嶙R別區(qū)以表觀阻尼比是否接近常值確定；參數(shù)演變區(qū)內(nèi)氣動阻尼比依賴結(jié)構(gòu)振幅，呈現(xiàn)明顯的非線性特性；穩(wěn)定區(qū)結(jié)構(gòu)振幅也不再增加。

圖4 渦振響應(yīng)-風(fēng)速曲線Fig.4 Vortex-induced resonance responses versus wind velocities

圖6 渦振位移時程局部細(xì)節(jié)圖Fig.6 Detailed view of time history of displacement of vortex-induced vibration

圖7 參數(shù)演變分區(qū)（Ⅰ.初始?xì)鈩幼枘嶙R別區(qū)；Ⅱ.參數(shù)演變區(qū)；Ⅲ.穩(wěn)定區(qū)）Fig.7 Parameter evolution zones（Ⅰ.The initial aerodynamic damping identification zone；Ⅱ.The parameter evolution zone；Ⅲ.The stable zone）

本文采用模型的渦激共振基本信息及所識別的初始?xì)鈩幼枘釁?shù)如表2 所示。盡管鎖定區(qū)間內(nèi)渦激振幅值有較大的變化，但初始?xì)鈩幼枘岜圈蝘n卻基本保持一恒定值。

在每一級風(fēng)速下，初始?xì)鈩恿?shù)Y1(K)確定后，保持其數(shù)值不變，根據(jù)式（19）可得另一參數(shù)ε隨振幅的非線性演變特征，如圖8 所示。由式（1）可知，正值的參數(shù)ε代表等效的正阻尼特性。圖8 的演變曲線則表明隨著結(jié)構(gòu)振幅的增加，參數(shù)ε的值在不斷減小。ε隨著振幅增加而減小的現(xiàn)象容易形成一種假象，即阻礙結(jié)構(gòu)振幅惡性演化的效應(yīng)在不斷降低。但實際上，模型很快就達(dá)到了穩(wěn)定的極限環(huán)狀態(tài)。

造成這一假象的主要原因是ε的數(shù)值并不能與該項氣動力效應(yīng)做的功直接聯(lián)系起來。為更好地探索參數(shù)ε的限幅性質(zhì)，考察由該項引起的非線性氣動阻尼比ξε。令Wε為限幅參數(shù)項氣動阻尼力做的功，容易得出其表達(dá)式為：

Wε所形成的等效非線性氣動阻尼系數(shù)cε可按下式計算：

將式（24）代入得：

根據(jù)式（26）進(jìn)而可得非線性氣動阻尼比ξε為：

式（27）給出了ε對氣動阻尼的貢獻(xiàn)，由式（27）可知ξε由初始?xì)鈩幼枘釁?shù)Y1與振幅yT控制?；谑剑?7）可識別出ξε的演變結(jié)果，如圖9 所示。對比圖8 與9 可知，盡管參數(shù)ε隨振幅增長而降低，但非線性氣動阻尼比ξε仍然隨著振幅的增加而增加，且增長的規(guī)律是非線性的。在振幅演變最終極限環(huán)階段，式（27）所示的阻尼比與初始?xì)鈩幼枘岜纫约敖Y(jié)構(gòu)阻尼比三者之和為零，即

圖9 渦振鎖定區(qū)間內(nèi) ξε 的演變Fig.9 Evolution of ξε within the vortex-induced resonance lock-in range

式中ξs=為結(jié)構(gòu)阻尼比；ξin=為初始?xì)鈩幼枘岜?。初始?xì)鈩幼枘岜葹樨?fù)可提供結(jié)構(gòu)振動所需能量，克服結(jié)構(gòu)阻尼后使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振幅遞增的振動；非線性氣動阻尼比提供正氣動阻尼使結(jié)構(gòu)振動達(dá)到限幅作用。

對于給定氣動外形的橋梁斷面，其初始?xì)鈩幼枘岜戎皇秋L(fēng)速的函數(shù)，即ξin=ξin(Ur)；而ξε則為風(fēng)速與振幅的函數(shù)，即ξε=ξε(Ur，yT)。從圖9 可知，穩(wěn)定的渦激共振極限環(huán)對應(yīng)著ξε=-ξs-ξin的狀態(tài)。因此通過試驗識別出ξε(Ur，yT)后，對于更大的結(jié)構(gòu)阻尼比的情況（即>ξs），由于--ξin<-ξs-ξin，因 此=--ξin<ξε，即ξ'ε出現(xiàn)在 圖9中原來的路徑上，其最終振幅可直接根據(jù)圖中的函數(shù)關(guān)系找出。對于更小的結(jié)構(gòu)阻尼比，由于>ξε出現(xiàn)在圖中最高點的上方，因此無法預(yù)測其最終振幅。

值得指出的是，本文采用的范德波爾振子渦激力模型只考慮了自激氣動力而忽略了強(qiáng)迫力。由于強(qiáng)迫力與自激力是不同性質(zhì)的氣動力，因此模型識別得到的初始?xì)鈩幼枘崾腔谀芰科胶獾摹⒕哂心撤N“等效”性質(zhì)的氣動阻尼，由其帶來的影響值得進(jìn)一步研究。

3 結(jié)論

本文以范德波爾振子渦激氣動力模型為例，從能量平衡的角度出發(fā)研究了氣動力模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)振動幅值的關(guān)系。結(jié)合以上討論得到研究結(jié)論如下：

（1）根據(jù)節(jié)段模型渦振響應(yīng)時程曲線，采用能量平衡的方法可以得到范德波爾振子模型參數(shù)隨振幅非線性演變的識別途徑，本文的推導(dǎo)表明，變參數(shù)的范德波爾振子模型在描述結(jié)構(gòu)的能量特性方面具有完備性。

（2）由氣動外形以及風(fēng)速確定的初始?xì)鈩幼枘?，控制著結(jié)構(gòu)是否具有渦激共振鎖定區(qū)間以及鎖定風(fēng)速區(qū)間的寬度。而結(jié)構(gòu)阻尼、初始?xì)鈩幼枘嵋约半S振幅演變的模型參數(shù)ε共同決定結(jié)構(gòu)的最終渦振振幅。

（3）由氣動參數(shù)ε控制的非線性氣動阻尼比能非常好地體現(xiàn)出結(jié)構(gòu)渦振能量吸收隨振幅的非線性演變特性。

（4）渦激氣動力模型參數(shù)ε的非線性特性被識別后，可應(yīng)用于更大結(jié)構(gòu)阻尼比下的渦振響應(yīng)預(yù)測。