張江 王福綿

收稿日期： 2023-02-24

基金項目：國家自然科學基金項目（51777058）.

作者簡介：張江（1981—），女，江蘇揚州市人，講師，碩士，主要研究方向為模式識別研究，圖像處理；王福綿（1998—），男，安徽滁州市人，碩士研究生，主要研究方向為優(yōu)化算法分析與設計.

引用格式：張江，王福綿.基于新型分數階粒子群優(yōu)化算法的分布式電源選址定容［J］.安徽師范大學學報（自然科學版），2023，46（5）：425-432.

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2023.05.003

摘要：大規(guī)模分布式電源并網帶來巨大的經濟效益和環(huán)境效益的同時也會對電網的穩(wěn)定性造成威脅。為使配電網可以消納更高比例的分布式電源，需要對分布式電源接入電網的位置及容量進行優(yōu)化。首先，建立了風速、光照強度、負荷的不確定性分析模型，構建了以年綜合費用最低為目標函數的分布式電源選址定容規(guī)劃模型；然后，提出新型分數階粒子群優(yōu)化算法，測試了算法在復雜優(yōu)化問題上的性能。最后，IEEE-33節(jié)點配電網算例的仿真結果驗證了所建立模型的合理性與所提算法的有效性。

關鍵詞：不確定性；機會約束；選址定容；分數階粒子群優(yōu)化

中圖分類號：TP181 文獻標志碼： A 文章編號：1001-2443（2023）05-0425-08

引言

由于化石燃料的儲量有限及其帶來的環(huán)境問題日益嚴峻，實現“低碳、可持續(xù)發(fā)展”成為解決能源問題的核心理念。以風電（Wind Turbine Generator，WTG）和光伏（Photovoltaic Generator，PVG）為主的分布式電源（Distribution Generation，DG）相比于傳統(tǒng)火力發(fā)電有著清潔、可持續(xù)的特點，DG接入電網可以帶來巨大的經濟效益和環(huán)境效益［1］。但DG出力固有的隨機和波動特性會對電網造成沖擊，大規(guī)模DG的并網將導致電能質量下降，供電可靠性降低［2］。DG接入配電網的位置和容量會影響配電網的網絡拓撲和潮流分布［3］。因此，優(yōu)化DG的選址定容可以提升配電網新能源消納水平，保障配電網運行穩(wěn)定并提高經濟效益。

目前對DG選址定容規(guī)劃模型研究主要集中在對風速、光照強度和負荷的不確定性處理上，文獻［4］提出了考慮輸入變量相關性的概率潮流計算方法，該算法具有精度高和速度快的優(yōu)點。文獻［5］建立了年綜合費用最小為目標函數的優(yōu)化模型，采用拉丁超立方采樣方法生成初始場景，以改進的同步回代縮減法進行場景削減。文獻［6］基于機會約束規(guī)劃方法建立了間歇性分布式電源選址定容規(guī)劃模型，采用秩相關系數矩陣表征隨機變量間的相關性。文獻［7］將環(huán)境因素計入目標函數中，使得規(guī)劃結果更貼近工程實際。上述文獻充分考慮了系統(tǒng)輸入變量的不確定性和相關性，構建了相應的DG選址定容規(guī)劃模型，但沒有解決模型求解算法參數選取的問題，并且容易局部收斂。

DG的選址定容規(guī)劃的數學模型是一類多約束條件的高維非凸優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的凸優(yōu)化方法難以應對復雜多變的約束條件，故廣泛采用智能優(yōu)化算法解決上述問題。傳統(tǒng)的粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法是一種具有代表性的群優(yōu)化算法，但具有容易局部收斂和收斂精度不高的缺點。由于列維擾動具有大步長跳躍特性，對粒子引入列維擾動可以粒子具有更廣的搜索范圍。在此基礎上，區(qū)別于傳統(tǒng)PSO中的乘性隨機擾動，將列維擾動以加性隨機擾動的形式引入，本文提出了分數階粒子群優(yōu)化（Fractional Particle Swarm Optimization，FPSO）算法。

本文的主要創(chuàng)新點和貢獻總結如下：

a）指出PSO采用高斯擾動的不足，提出了引入列維擾動的FPSO，改進了PSO的局部收斂和收斂精度不高的問題，降低了算法使用過程中的粒子數量，進一步減少在高維搜索問題中的計算量；

b）分析了乘性擾動形式和加性擾動形式對于算法搜索效率的影響，指出加性擾動在極端情形下優(yōu)于乘性擾動的特點；分析了FPSO的粒子數量和粒子初始位置對于解的影響，并在標準測試集上作了驗證；

c）采用蒙特卡洛模擬方法將DG選址定容的大規(guī)模隨機優(yōu)化問題轉化為確定性優(yōu)化問題來處理，使用擬蒙特卡洛法（Quasi-Monte Carlo Simulation，QMCS）和Johnson分布轉換降低轉化后問題的計算量。

本文行文安排如下：首先在第1節(jié)綜合考慮了風速、光照強度、負荷的不確定性以及相關性，建立了以年綜合費用最低為目標函數的DG選址定容規(guī)劃模型。然后提出了FPSO算法，分析了FPSO中的乘性擾動和加性擾動形式、粒子數量、粒子初始位置對算法性能的影響，并在標準測試函數上驗證了分析結果。最后將FPSO應用于求解IEEE-33節(jié)點配電網上DG選址定容問題，比較了FPSO與PSO的求解結果。

1 DG選址定容優(yōu)化模型

1.1 不確定性建模

a） WTG輸出不確定性

通常認為風速是影響WTG輸出功率的主要因素，風速規(guī)律一般服從兩參數Weibull分布［8］，其概率密度函數為：

[f（V）=kcVck-1exp-Vck] （1）

式中：[V]是實際風速；[k]和[c]分別為形狀參數與尺度參數。

通過WTG功率模型可以將風速轉化為WTG功率[PWTG]，其轉換公式為：

[PWTG=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?V≤Vci or V≥VcoV3-V3ciV3r-V3ciPWTG，r? ? ? ? Vci≤V

式中：[Vci]、[Vr]、[Vco]分別為切入風速、額定風速以及切出風速；[PWTG，r]為WTG額定輸出功率。

b） PVG輸出不確定性

大量研究表明光照強度的隨機性通常采用Beta分布來描述［9］，其概率密度函數為：

[f（S）=Γ（α+β）Γ（α）Γ（β）SSrα-11-SSrβ-1] （3）

式中：[S]為光照強度的實際值，[Sr]為其額定值；[α]和[β]是Beta分布的兩個形狀參數；[Γ·]表示伽馬函數。

光伏實際出力[PPV]與光照強度[S]之間的關系［9］可由式（4）近似表示：

[PPV=PPV，rSSr? ? ? I≤SrPPV，r? ? ? ? ? ?I>Sr] （4）

式中：[PPV，r]為光伏的額定功率；[Sr]為額定光照強度。

c） 負荷不確定性

一般采用高斯分布來描述負荷大小的不確定性［9］：

[fPL，i=12πσP，iexp-PL，i-μP，i22σ2P，i] （5）

[fQL，i=12πσQ，iexp-PQ，i-μQ，i22σ2Q，i] （6）

式中：[PL，i]、[QL，i]分別表示節(jié)點[i]處的有功負荷和無功負荷；[μP，i]、[μQ，i]和[σP，i]、[σQ，i]分別表示節(jié)點[i]處的有功負荷和無功負荷的期望和標準差。

d） 不確定性處理方法

從不確定模型的概率分布抽取符合電力系統(tǒng)隨機變量特征的樣本，輸出變量的分布特征可以作為系統(tǒng)運行的典型場景［10］。QMCS是一種通過生成高維空間中的低差異化序列來代替蒙特卡洛方法中的隨機數序列的采樣方法，它可以避免蒙特卡洛采樣在空間上的非均勻性。同時由于QMCS一次性生成所有采樣點，相比于蒙特卡洛在每次迭代中都要產生大量隨機數，其在算法時間效率上也有很大提升。

通過QMCS得到采樣點后，需要將采樣點轉化成符合系統(tǒng)隨機變量概率分布的樣本序列。Johnson變換可以由目標變量均值、方差、偏度、峰度及相關性等特征建立起高斯分布與自身分布的關系［11］。先將采樣點通過高斯分布的累積函數方程逆運算轉換為獨立高斯分布，隨后進行Johnson分布轉換即可得到系統(tǒng)隨機變量原始采樣數據。

1.2 確定性優(yōu)化模型

a） 目標函數

模型以DG選址定容的年綜合費用最小為優(yōu)化目標。年綜合費用主要包括DG投資費用[CI]，DG運行維護費用[COM]，配電網有功網損費用[CL]，還充分考慮了配電網購電成本[CP]及政府補貼費用[CS]。通過現值轉等值年系數[τ]將DG投資費用等額均攤至DG壽命期各年：

[τ=d1+dy/1+dy-1] （7）

式中：[d]為貼現率；[y]為DG壽命期年數。

目標函數如式（8）：

[minC=CI+COM+CL+CP-CS=τi∈Ωnj∈ΩrcjDG，icjPPjDG+i∈Ωnj∈ΩrcjOMEjDG，i+l∈ΩbcePLoss，lTmax+m∈ΩgceEGEN，m-i∈Ωnj∈ΩrcfEjDG，i] （8）

式中：[Ωn]、[Ωr]、[Ωb]、[Ωg]分別為可裝DG節(jié)點集合、DG種類集合、配電網支路集合、發(fā)電機節(jié)點集合；[cjDG，i]為在節(jié)點[i]處裝設[j]類DG的數量，[cjP]為單位容量[j]類DG的價格，[PjDG]為[j]類DG的額定容量；[cjOM]為[j]類DG單位發(fā)電量的價格；[ce]為電價，[PLoss，l]為支路[l]上在最大負荷下的有功損耗，[Tmax]為年最大負荷小時數；[EGEN，m]為節(jié)點[m]處發(fā)電量；[cf]為DG單位發(fā)電量的政府補貼費用，[EjDG，i]為節(jié)點[i]處[j]類DG的發(fā)電量。

b） 約束條件

模型的約束條件包括潮流約束、節(jié)點電壓約束、支路電流約束和DG安裝容量約束。

（a） 潮流方程約束

極坐標形式的潮流方程可寫為：

[Pi-Uij∈ΩdUjGijcosθij+Bijsinθij=0Qi-Uij∈ΩdUjGijsinθij-Bijcosθij=0? ? ? ? ? ? ?i，j∈Ωd] （9）

式中：[Ωd]為配電網節(jié)點集合；[Pi]、[Qi]、[Ui]分別為節(jié)點[i]處的有功功率、無功功率、節(jié)點電壓；[Gij]、[Bij]、[θij]分別為節(jié)點[i]與節(jié)點[j]之間的電導、電納與相角差。

（b） 節(jié)點電壓機會約束

[PUi≤Ui≤Ui≤αU? ? ? ? ??i∈Ωd] （10）

式中：[PA]表示事件[A]成立的概率，[αU]為滿足節(jié)點電壓約束的置信水平；[Ui]、[Ui]分別為節(jié)點[i]處電壓上限與電壓下限。

（c） 支路電流機會約束

[PIj≤Ij≤αI? ? ? ? ??j∈Ωb] （11）

式中：[αI]為滿足支路電流約束的置信水平；[Ij]為流經支路[j]的電流上限。

（d） DG安裝容量約束

[i∈Ωnj∈ΩrcjDG，iPjDG≤PDG? ? ? ? ? ? ? cjDG，iPjDG≤PjDG，i? ? ? ? ? ?i∈Ωn? j∈Ωr] （12）

式中：[PDG]為配電網接入DG容量上限；[PjDG，i]為節(jié)點[i]處[j]類DG的安裝容量上限。

2 分數階粒子群算法

2.1 粒子群算法

粒子群算法是一種基于群搜索的智能優(yōu)化算法［12］，被廣泛運用于大規(guī)模復雜優(yōu)化問題中。其過程可以被概括為：

[vk+1i=vki-ρ1xki-xb-ρ2xki-xpixk+1i=xki+vk+1i] （13）

其中：[i=1，2，…，N]代表種群中的第[i]個粒子；[vki]和[xki]分別為粒子[i]在第[k]步迭代中的速度和位置；[ρ1，ρ2>0]是兩個獨立的隨機擾動值；[xb]為粒子群體去過解空間中的最佳位置；[xpi]為粒子[i]去過解空間中的最佳位置。[ρ1xki-xb]代表粒子[i]在全局搜索的趨勢，[ρ2xki-xpi]代表粒子[i]在局部搜索的趨勢，二者的工作機理都類似于提供朝著給定目標的梯度下降信息。

基于粒子群優(yōu)化算法發(fā)展出許多群搜索算法，例如布谷鳥算法、蝙蝠算法以及差分進化算法等。這些算法的全局搜索策略可以被描述為：

[xk+1i=xki-ρkxki-xb] （14）

式中：[ρk]為第[k]次迭代的一個隨機擾動值?？梢钥闯觯?3）是（14）的一個加速形式［13］。

2.2 列維擾動

在粒子群算法中，粒子的搜索能力來源于隨機擾動和歷史信息，擾動的引入可以加快算法的收斂速度。隨機擾動的形式是任意的，算法中常見的擾動分布形式有均勻分布和高斯分布。當目標函數存在鞍點和多個極小值點時，由于擾動形式的局限性，傳統(tǒng)粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)。

考慮一種對稱形式的列維穩(wěn)定分布[Lx]，其對應的特征函數為：

[EeikX=exp-σαkα] （15）

式中：[σ>0]為[Lx]的尺度參數；[0<α≤2]為列維階次，當[α=2]時，[Lx]退化為高斯分布；[σ=1]時，[Lx]稱為對稱標準列維分布。

列維飛行是一種由列維擾動產生的大步長跳躍形式。相較于擾動增量服從對稱高斯分布的布朗運動，列維飛行有著更強的搜索能力。下面對此過程作出形象說明：在二維平面中，生成兩個初始位置在[0，0]的粒子；一粒子的運動步長從標準高斯分布產生，代表布朗運動；另一粒子的運動步長從階次為[α=1.5]，[σ=1]的對稱標準列維分布中產生，代表列維飛行。兩粒子的運動方向均從[[0，2π）]之間的均勻分布中產生。粒子運動軌跡如圖1所示，可以看出：

（a） 布朗運動范圍在初始位置附近，代表粒子在搜索過程中只到達了局部區(qū)域；

（b） 列維飛行過程中，粒子有頻繁性地大步長跳躍，使得粒子較布朗運動有更為寬廣的搜索范圍。

2.3 分數階粒子群算法的幾點討論

a） 乘性擾動與加性擾動

對于（14）所定義的算法，隨機擾動在種群迭代中以乘數的形式存在。思考兩種極端情況：

（a） 假設所有的粒子都有同一個初始值，此時種群將不會更新，陷入初始位置；

（b） 假設種群只有兩個粒子，此時粒子的搜索方向只會在兩者的連線上。

如果在種群迭代時，擾動以加數的形式存在：

[xk+1i=xki-ρkxki-xb+εηki] （16）

式中：[ε]是尺度參數，[ηki]是一種給定分布的隨機擾動。在這種加性擾動的作用下：

（a） 即使所有粒子都有同一個初始值，種群也會更新；

（b） 假設種群只有兩個粒子，粒子依然會大范圍搜索找到可行解。

b） 粒子數的多寡對于算法性能的影響

在傳統(tǒng)粒子群算法中，由于粒子的全局尋優(yōu)能力較差，因而需要一定數量的種群來完成尋優(yōu)過程。而分數階粒子群算法由于粒子的大步長跳躍，大大減少了所需粒子數量，從而算法的迭代次數大幅減小，算法性能得到有效提升。

c） 初值不敏感性

傳統(tǒng)粒子群算法的尋優(yōu)范圍較小，因此在種群迭代之初需要將粒子盡可能均勻地分布在解空間內。但對一些大規(guī)模非線性優(yōu)化問題，很難確定解空間的范圍或由于優(yōu)化變量數目巨大帶來維數災問題。分數階粒子群算法在迭代過程中的大步長跳躍可以避免種群初值選取的困難，即使將所有粒子放在固定的初始位置，粒子仍能完成大范圍尋優(yōu)。

2.4 算法性能測試

為了比較分數階粒子群算法與傳統(tǒng)粒子群算法的性能優(yōu)劣，現選取Ackley、Griewank、Rastrigin、Rosenbrock函數進行測試，函數的數學描述可以參見文獻［14］。測試函數的參數給定如表1所示。

設置迭代次數均為10000次，測試次數均為20。分別測試了分數階粒子群算法與傳統(tǒng)粒子群算法對于變量維數、粒子數的變化特性，如表2所示。綜合表1和表2可以看出，FPSO的收斂精度高于PSO，而且針對維數較高的優(yōu)化問題，FPSO具有明顯的優(yōu)越性，尤其是當變量維數到達20維（F4：Rosenbrock）時，PSO已經難以在10000次內收斂。

為了驗證2.3節(jié)關于粒子數多寡對于FPSO性能的影響，繪制粒子數變化時各測試函數在10000次迭代后的收斂值對比，如圖2所示?？梢钥闯?，粒子數的粒子數增加時，FPSO收斂精度有小幅提升，而PSO的提升相當明顯，這說明PSO性能依賴于粒子的數量的選取，而FPSO則對粒子數量不是很敏感。對粒子數量的不敏感性也突出了FPSO相對于PSO在計算機迭代方面的優(yōu)越性，一方面，更多的粒子數量需要占據更大的計算機內存和運算資源；另一方面，對于粒子數量的敏感性將不利于超參數調節(jié)，對于未知結構的最優(yōu)化模型，難以確定初始的粒子數量，而對粒子數量的調節(jié)將進一步消耗計算資源。

3 算例驗證

3.1 算例參數設置

本文在IEEE-33節(jié)點配電網標準算例上進行DG選址定容仿真，IEEE-33節(jié)點數據參考文獻［15］?，F對相關規(guī)劃數據做出說明：規(guī)劃年限為20年，貼現率為0.1，配電網中DG安裝的待選節(jié)點為節(jié)點3、6、7、13、17、19和31，每個待選節(jié)點的DG安裝容量上限為800kW。DG類型有WTG和PVG兩種，WTG的相關參數：額定容量為50kW，[Vci=3.5]m/s、[Vr=12]m/s、[Vco=20]m/s ；PVG的相關參數：額定容量為50kW，[Sr=1000]W/m2。該地區(qū)風速服從參數為[k=1.83]和[c=9.93]的Weibull分布，光照強度服從參數為[α=2.06]，[β=2.5]的Beta分布。WTG投資和運維費用分別為1萬元/kW和0.33元/kWh，PVG投資和運維費用分別為1.3萬元/kW和0.2元/kWh。負荷服從高斯分布，標準差為均值的10%。節(jié)點電壓的波動范圍為0.9～1.1（標幺值），每條線路電流的上限參見文獻［15］，置信水平[αU=αI=0.95]。電價為0.7元/kWh，政府補貼費用為0.25元/kWh，年最大負荷小時數為4200小時。

3.2 算例結果分析

針對2.2節(jié)描述的DG選址定容的經濟性優(yōu)化問題，分別采用傳統(tǒng)的PSO和本文所提的FPSO進行求解，結果如表3、表4及圖3所示。其中，表3是DG安裝位置及容量的求解結果，并比較了二者與不安裝DG的配電網年綜合費用；表4是年綜合費用的組成；圖3是求解結果的形象說明。

從表4可以看出，FPSO的優(yōu)化結果優(yōu)于PSO，年綜合費用更少。從表5的費用組成來看，DG的接入使的配電網的有功網損費用有所減少，配電網從上級電網購電成本大幅降低。從中可以得出結論：DG的接入有利于系統(tǒng)節(jié)能減排。從優(yōu)化結果中DG的接入位置來看，由于IEEE-33節(jié)點是輻射型配電網，在距離上級電網較遠的節(jié)點安裝DG有利于電網電壓的穩(wěn)定。

算法收斂特性比較如圖4所示，可以看出PSO在優(yōu)化過程中陷入了局部最優(yōu)，而FPSO由于列維飛行的大步長跳躍，多次跳出局部最優(yōu)點，從而得到更好的優(yōu)化結果。

4 總結

本文在DG、負荷不確定性建模的前提下，以配電網的經濟性最優(yōu)為目標，建立了基于機會約束的DG選址定容規(guī)劃模型。針對傳統(tǒng)PSO對于大規(guī)模優(yōu)化問題求解的局限性，提出了以FPSO求解上述模型。FPSO在IEEE-33節(jié)點配電網中得到了更為經濟的DG配置結果，從中可以得到以下結論：

（a） DG的接入減少了系統(tǒng)的有功網損，降低了系統(tǒng)年綜合費用，提升了系統(tǒng)的經濟性；

（b） 對DG的選址定容進行優(yōu)化可提升配電網消納可再生能源的水平，有利于實現電能低碳、綠色生產；

（c） FPSO相對于PSO在復雜優(yōu)化問題上的求解效率和收斂精度更高，而且可以避免PSO初值選取的困難。

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Distributed Generations Location and Capacity Optimization Using a Novel Fractional Particle Swarm Algorithm

ZHANG Jiang1， WANG Fu-mian2

（1. School of Computer Science and Artificial Intelligence， Hefei Normal University， Hefei 230601， China; 2. College of Energy and Electrical Engineering， Hohai University， Nanjing 211100， China）

Abstract： Large-scale distributed generation grid connection brings huge economic and environmental benefits， but also threatens the stability of the grid. To undertake a higher penetration of distributed generation， it is necessary to optimize the location and capacity of the distributed generation connected to the grid. Firstly， the uncertainty analysis model of wind speed， light intensity， and load is established. Then， a planning model with the lowest annual comprehensive cost as the objective function is constructed. Secondly， a novel fractional particle swarm optimization algorithm is proposed， and the performance of the algorithm on complex optimization problems is tested. Finally， the simulation results of the IEEE-33 distribution network example verify the rationality of the established model and the effectiveness of the proposed algorithm.

Key words： uncertainty; opportunity constraint; siting and sizing; fractional particle swarm optimization

（責任編輯：馬乃玉）