吳越怡 黃振生

收稿日期： 2023-04-23

作者簡(jiǎn)介：吳越怡（1999—），女，安徽六安市人，碩士研究生，主要從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)研究；通訊作者：黃振生（1976—），男，安徽濉溪縣人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)研究.

引用格式：吳越怡，黃振生.基于美國(guó)抽煙數(shù)據(jù)的時(shí)空自回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023，46（5）：418-424.

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2023.05.002

摘要：針對(duì)目前文獻(xiàn)中大多數(shù)時(shí)空模型的建立大都需要提前指定相關(guān)的空間權(quán)重矩陣 ，而當(dāng)空間權(quán)重矩陣形式設(shè)定錯(cuò)誤時(shí)，模型的解釋性變得極為不可靠，預(yù)測(cè)能力也大大降低的問(wèn)題，提出了更為一般的時(shí)空自回歸模型來(lái)擬合美國(guó)抽煙需求數(shù)據(jù)并進(jìn)行單步與多步預(yù)測(cè)，模型將空間權(quán)重矩陣轉(zhuǎn)化為帶估的時(shí)空系數(shù)矩陣，采用基于Yule-Walker方程的廣義矩估計(jì)法和基于Yule-Walker方程的最小二乘兩種方法來(lái)估計(jì)系數(shù)矩陣，最終的兩種預(yù)測(cè)方法結(jié)果均表明建模效果較好。另外模型分析結(jié)果也表明：人均吸煙包數(shù)與人均可支配收入呈正相關(guān)關(guān)系，而人均吸煙包數(shù)與每包香煙的零售價(jià)格呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，均與現(xiàn)實(shí)意義相符。

關(guān)鍵詞：時(shí)空數(shù)據(jù)；時(shí)空自回歸 ；Yule-Walker方程；廣義矩估計(jì)；香煙需求

中圖分類號(hào)：O212.1；F293.33 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)： 1001-2443（2023）05-0418-07

引言

近來(lái)隨著時(shí)空數(shù)據(jù)變得越來(lái)越豐富，時(shí)空建模在研究中受到越來(lái)越多的關(guān)注。時(shí)空觀測(cè)數(shù)據(jù)的廣泛可用性刺激了各學(xué)科的研究，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、環(huán)境科學(xué)、流行病學(xué)等。但與此同時(shí)，時(shí)空數(shù)據(jù)的生成規(guī)模和復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了此前的想象。例如，有許多大規(guī)模的經(jīng)濟(jì)研究是基于在人口普查區(qū)、城市或縣一級(jí)收集的面板數(shù)據(jù)進(jìn)行的，這些數(shù)據(jù)具有隱含且復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)。數(shù)據(jù)中的觀測(cè)值可以在空間或時(shí)間上定期或不定期分布。復(fù)雜的數(shù)據(jù)就需要足夠靈活的統(tǒng)計(jì)模型來(lái)適應(yīng)潛在的規(guī)律，所以盡管近年來(lái)時(shí)空模型越來(lái)越流行，但增強(qiáng)時(shí)空建模和分析能力仍然是一個(gè)長(zhǎng)期的挑戰(zhàn)。首先含有空間元素的模型可以被分為三類，分別為非面板空間（SD）模型、靜態(tài)面板空間（SPD）模型、空間動(dòng)態(tài)面板（SDPD）模型。SD模型主要處理截面空間數(shù)據(jù)的空間交互效應(yīng)和空間異方差。Cliff等人（1973）［1］、Kelejian和Prucha（1998，1999，2006）［3- 5］、Kelejian等人（2004）［6］ 在SD模型方面做過(guò)深入的研究。具體來(lái)說(shuō)，時(shí)空模型可能指SPD模型也有可能指SDPD模型。SPD模型的數(shù)據(jù)相比SD模型數(shù)據(jù)還在不同時(shí)間被觀測(cè)，Anselin（1988）［6］首先研究SPD模型。Baltagi等人（2003） ［7］推導(dǎo)了空間誤差自相關(guān)的面板數(shù)據(jù)回歸模型的幾種拉格朗日乘子檢驗(yàn)。Lee和Yu （2010b） ［8］研究了具有固定效應(yīng)和空間擾動(dòng)相關(guān)的空間自回歸模型的擬極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì)。最近的進(jìn)展是將SPD模型擴(kuò)展為空間動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)（SDPD）模型，即添加時(shí)間滯后項(xiàng)以說(shuō)明不同個(gè)體之間的序列相關(guān)性。Yu等人［9］研究了具有固定效應(yīng)的空間動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型，并得到當(dāng)個(gè)體數(shù)量和時(shí)間周期都很大時(shí)估計(jì)量的擬極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì)。此外，Baltagi等人（2007b） ［10］考慮各空間單元具有時(shí)間序列相關(guān)和在各時(shí)間點(diǎn)存在空間依賴性的特點(diǎn)的空間面板數(shù)據(jù)回歸模型。此外，該模型還利用隨機(jī)效應(yīng)允許空間單元的異質(zhì)性，然后對(duì)該面板數(shù)據(jù)回歸模型進(jìn)行拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。Kapoor等人（2007） ［11］考慮了一個(gè)誤差項(xiàng)在空間和時(shí)間上都是相關(guān)的面板數(shù)據(jù)模型。為了允許擾動(dòng)項(xiàng)和其他隨機(jī)分量中存在不同的空間效應(yīng)， Anselin（2001） ［13］通過(guò)允許空間面板數(shù)據(jù)模型具有動(dòng)態(tài)特征，將空間動(dòng)態(tài)模型分為四類，即如果只考慮空間時(shí)間滯后，則為“純空間遞歸”；如果包括個(gè)體時(shí)間滯后和空間時(shí)間滯后，則稱為“時(shí)空遞歸”；“時(shí)間-空間同時(shí)”模型是指定了一個(gè)單獨(dú)的時(shí)間滯后和一個(gè)同期的空間滯后；如果把所有形式的滯后都包括在內(nèi)，則是“時(shí)空動(dòng)態(tài)”模型。Elhorst（2005） ［14］使用無(wú)條件極大似然法估計(jì)帶有空間誤差的動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型，Mutl（2006） ［15］使用三步廣義矩法（GMM）研究該模型，Su和Yang（2007） ［16］導(dǎo)出了上述模型在具有固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)兩種情況下的估計(jì)量的擬極大似然估計(jì)。目前大多數(shù)時(shí)空模型文獻(xiàn)大都需要會(huì)指定相關(guān)的空間權(quán)重矩陣 ［17］，考慮到當(dāng)空間權(quán)重矩陣形式設(shè)定錯(cuò)誤時(shí)，模型的解釋性變得極為不可靠，預(yù)測(cè)能力也大大降低。所以應(yīng)用Ma等人［17］提出的更為一般的時(shí)空自回歸模型來(lái)進(jìn)行實(shí)例分析。

1 模型介紹

Ma等人［17］提出的一般時(shí)空自回歸模型同樣屬于SDPD模型。Lee和Yu（2010a）［12］首次總結(jié)有關(guān)文獻(xiàn)，并給出SDPD模型的一般形式：

[Ynt=λ0WnYnt+γ0Yn，t-1+ρ0WnYn，t-1+Xntβ0+cn0+αtoln+Vnt，t=1，2，…T]。

他們根據(jù)[An=In-λ0Wn-1γ0In+ρ0Wn]的特征值將SDPD模型分為三類：穩(wěn)定、空間協(xié)整和爆炸性情形。[γ0]只捕捉動(dòng)態(tài)效應(yīng)，[ρ0]捕捉時(shí)空效應(yīng)。由于存在固定的個(gè)體和時(shí)間效應(yīng)，[Xnt]將不包括任何時(shí)間不變或個(gè)體不變回歸量。

近來(lái)，不少學(xué)者開(kāi)始研究當(dāng)不事先指定空間權(quán)重矩陣如何估計(jì)時(shí)空模型，即將空間權(quán)重矩陣轉(zhuǎn)化為帶估的時(shí)空系數(shù)矩陣。Dou等人［18］將傳統(tǒng)的面板數(shù)據(jù)的時(shí)空自回歸模型擴(kuò)展到允許每個(gè)位置（或面板）的標(biāo)量系數(shù)都彼此不同的情形。為了克服模型中固有的內(nèi)生性，他們將最小二乘估計(jì)應(yīng)用于Yule-Walker方程。在平穩(wěn)過(guò)程和[α-]混合過(guò)程的設(shè)置下，在樣本大小和位置（或面板）數(shù)量都趨于無(wú)窮大的情況下，建立了估計(jì)量的漸近理論。Guo等人［19］研究了一類有帶狀系數(shù)矩陣的向量自回歸模型。該設(shè)置代表了高維時(shí)間序列的一種稀疏結(jié)構(gòu)，但其隱含的自協(xié)方差矩陣不是帶狀的。當(dāng)時(shí)間序列的組成部分被適當(dāng)排序時(shí)，該稀疏結(jié)構(gòu)也具有實(shí)際意義。他們建立了估計(jì)的帶狀自回歸系數(shù)矩陣的收斂速度，還提出了一個(gè)確定系數(shù)矩陣中帶寬度的貝葉斯信息準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則被證明是一致的。他們通過(guò)研究帶向量自回歸過(guò)程的自協(xié)方差函數(shù)的近似帶結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了自協(xié)方差矩陣的一致估計(jì)。Gao等人［20］提出了一類新的時(shí)空模型，其中自回歸系數(shù)矩陣是完全未知的，但假設(shè)是帶狀的，即非零系數(shù)只出現(xiàn)在主對(duì)角線周圍的窄帶內(nèi)。這避免了主觀地指定空間權(quán)重矩陣的困難。該設(shè)置僅指定相鄰位置的自回歸。其思想基于這樣一個(gè)事實(shí)：在許多實(shí)際情況中，從鄰近地點(diǎn)收集信息就足夠了，從更遠(yuǎn)地點(diǎn)收集的信息就會(huì)變得多余。由于空間自回歸模型的內(nèi)生性，他們?cè)贒ou等人［18］研究成果的基礎(chǔ)上采用了一種基于Yule-Walker方程的廣義矩估計(jì)方法。此外，他們還研究了基于多個(gè)Yule-Walker方程的參數(shù)估計(jì)。當(dāng)維數(shù)（即節(jié)點(diǎn)的數(shù)量）與樣本大?。从^察到的時(shí)間序列的長(zhǎng)度）一起發(fā)散時(shí)建立了估計(jì)的漸近性質(zhì)。

在最新的研究中，Ma等人［17］認(rèn)為時(shí)空模型中空間權(quán)重矩陣應(yīng)該被估計(jì)出來(lái)，而非事先主觀給定。因?yàn)楫?dāng)空間權(quán)重矩陣形式設(shè)定錯(cuò)誤時(shí)，模型的解釋性變得極為不可靠，預(yù)測(cè)能力也大大降低。另一方面哪種權(quán)重矩陣是最好的選擇并不總是顯而易見(jiàn)的，因此，事先指定空間權(quán)重然后產(chǎn)生的模型可能會(huì)失去適應(yīng)底層空間依賴結(jié)構(gòu)的能力。為此，Ma等人［17］提出了高維時(shí)空模型的一般形式，在此，空間權(quán)重矩陣轉(zhuǎn)化為帶估的時(shí)空系數(shù)矩陣。他們提出了一種向前向后搜索算法來(lái)估計(jì)時(shí)空系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)，并引入了機(jī)器學(xué)習(xí)中的Bagging 方法來(lái)改進(jìn)基于Yule-Walker方程的廣義矩估計(jì)方法，并探討了相應(yīng)的理論性質(zhì)。他們把該方法應(yīng)用到社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)中來(lái)幫助構(gòu)造更加清晰的社交網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

本文的實(shí)例數(shù)據(jù)來(lái)自1963—1992年美國(guó)的10個(gè)州的香煙需求數(shù)據(jù)。相關(guān)數(shù)據(jù)可在網(wǎng)站（https：//www.regroningen.nl/elhorst）查詢。而在相關(guān)文獻(xiàn)中對(duì)這一數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計(jì)建模與推斷都會(huì)提前設(shè)定空間權(quán)重矩陣。所以本文考慮在這一數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計(jì)分析中將空間權(quán)重矩陣轉(zhuǎn)化為帶估的時(shí)空系數(shù)矩陣，應(yīng)用Ma等人［17］提出的一般時(shí)空模型，做出相關(guān)的統(tǒng)計(jì)推斷與預(yù)測(cè)。結(jié)果也表明Ma等人［17］提出的一般時(shí)空自回歸模型對(duì)該香煙需求數(shù)據(jù)的建模較為貼切。

2 模型分析

由于實(shí)例分析的需要，首先引入Ma等人［17］提出的一般時(shí)空模型：

[yt=Ayt+Byt-1+xtβ+εt]。 （2.1）

其中，[yt=y1，t，y2，t，…yp，tT]表示在時(shí)刻[t]從p個(gè)位置（或節(jié)點(diǎn)）收集的觀測(cè)值，[εt=ε1，t，ε2，t，…εp，tT]滿足條件[Eεt=0]，[varεt=Σε]，和[covyt-j，εt=0j≥1]，[Σε]是未知正定矩陣。[xt=x1，t，x2，t，…xp，tT∈Rp*d]為時(shí)變矩陣，[xt]為外生變量，滿足[covxt，εt=0]，[covxt，εt-1=0]，并且[xt，yt]為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。[xt]的第[i]行可以表示為[xi，t=xi，t，1，xi，t，2，…xi，t，dT∈Rd*1]。[β]是回歸系數(shù)的[d*1]向量。假定[A=ai，j]和[B=bi，j]是[p*p]未知系數(shù)矩陣，以及[ai，i=01≤i≤p]。[A]捕獲不同位置（或節(jié)點(diǎn)）之間的空間依賴性，[B]捕獲動(dòng)態(tài)空間依賴性。

為了表述方便，將Ma等人［17］的估計(jì)方法簡(jiǎn)述如下：

式（2.1）中[yt]的第[i]個(gè)分量可以分別表示為：

[yi，t=j=1pai，jyj，t+j=1pbi，jyj，t-1+xi，tTβ+εi，t，i=1，2，…p]。

通過(guò)兩步剖面操作，上式可以轉(zhuǎn)化為：

[yi，ta=aTiyi，ta+bTiyi，tb+εi，t，i=1，2，…p]。

經(jīng)過(guò)整理可以得到[yi，ta=aTiyi，ta+bTiyi，tb+εi，t]，其中，[yi，ta=yi，t-xi，t-1Tβa，yi，tb=yi，t-xi，t-1Tβb]，[βa=Exi，t-1Txi，t-1Exi，t-1Tyi，t]，[βb'=Exi，t-1Txi，t-1Exi，t-1Tyj，t-1]。

將[p]個(gè)等式整合即可得：

[yta=Ayta+Byt-1b+εt]。 （2.2）

接下來(lái)采用基于Yule-Walker方程的最小二乘估計(jì)法。令[Σ1a'=covyta'，yt-1b']，[Σ0b'= covyt-1b'，yt-1b']，則式（2.2）可以得到的Yule-Walker估計(jì)方程為

[Σ1a=AΣ1a+BΣ0b]。

估計(jì)方程的第[i]行可以寫(xiě)為[Σ1Tei=Σ1Tai+Σ0bi≡Xiθi]，[i=1，2，…p]。

其中，[ei]是[p*1]的單位向量，[AT=a1，a2，…ap]，[BT=b1，b2，…bp]，[θi=θi，1，θi，2，…θi，τiT]是將[ai]和[bi]中非零元素疊加得到的[τi*1]向量，[Xi∈Rp*τi]是由[Σ1a'T，Σ0b']相關(guān)列組成。

其中，[Σ1a'=1nt=2nyta'yt-1b'T，Σ0b'=1nt=2nyt-1b'yt-1b'T]，則廣義Yule-Walker估計(jì)值[θi=XiTXi-1XiTYi，i=1，2，…p]?？梢园l(fā)現(xiàn)[θi]可以看作是加權(quán)矩陣為[W=Ip]的GMM估計(jì)器，據(jù)此再提出一種改進(jìn)的估計(jì)方法，即基于Yule-Walker方程的廣義矩估計(jì)法，將權(quán)重[W]分成兩種情況討論，當(dāng)[p?n]，權(quán)重[W=Σ0b'-1]，當(dāng)[p]與[n]比較靠近或者[p]大于[n]可以選擇[IP]作為權(quán)重（只要[p=On]）。結(jié)合所有的[θi，i=1，2，…p]就可以估計(jì)出[ai]和[bi]。進(jìn)而系數(shù)矩陣[A]和[B]就可以被估計(jì)出。[β]可由[yt-Ayt-Byt-1]對(duì)[xt]進(jìn)行回歸估計(jì)得到。

3 實(shí)例分析

香煙需求數(shù)據(jù)來(lái)自1963—1992年美國(guó)的10個(gè)州。變量及其意義見(jiàn)表1。相關(guān)數(shù)據(jù)可在網(wǎng)站（https：//www.regroningen.nl/elhorst）查詢。將所有變量數(shù)據(jù)采取對(duì)數(shù)化處理后，通過(guò)繪制一階差分后的變量間的時(shí)間序列圖判斷出各序列均成為平穩(wěn)時(shí)間序列。時(shí)間序列圖見(jiàn)圖1，圖2，圖3（以兩個(gè)州為例）。其中，ddmand代表一階差分后的人均吸煙包數(shù)，ddprice代表一階差分后的每包香煙的零售價(jià)格，ddyt代表一階差分后的人均可支配收入。

由于一階差分后的[yt，ct，pt]均為平穩(wěn)時(shí)間序列，各變量均符合應(yīng)用模型的假設(shè)條件。影響抽煙需求量[ct]的影響因素設(shè)為[xt]，[xt]由人均可支配收入[yt]以及每包香煙的零售價(jià)格[pt]構(gòu)成。嘗試借助Ma等人［17］提出的一般時(shí)空模型來(lái)擬合1963—1989年美國(guó)的10個(gè)州抽煙需求數(shù)據(jù)，估計(jì)方法分別應(yīng)用基于Yule-Walker方程的最小二乘估計(jì)法（方法一）和基于Yule-Walker方程的廣義矩估計(jì)法（方法二）。得到[yt]和[pt]前的系數(shù)值分別見(jiàn)表2和表3。估計(jì)得到的[A]捕獲十個(gè)州的抽煙需求量的空間依賴性，[B]捕獲十個(gè)州的抽煙需求量的時(shí)空依賴性。[A]和[B]的可視化圖見(jiàn)圖4和圖5。

[待估參數(shù) [β1] [β2] 值 0.1351 -0.4060 ][待估參數(shù) [β1] [β2] 值 0.1350 -0.4062 ][表2 未知參數(shù)估計(jì)值（方法一）

Table 2 Unknown parameter estimation value （Method 1）][表3 未知參數(shù)估計(jì)值（方法二）

Table 3? ? Unknown parameter estimation value （Method 2）]

從表2和表3都可以分析出人均吸煙包數(shù)與人均可支配收入呈正相關(guān)關(guān)系，而人均吸煙包數(shù)與每包香煙的零售價(jià)格呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。從10個(gè)州的總體情況看，每包香煙的零售價(jià)格相比人均可支配收入更能影響香煙的需求量。并可見(jiàn)兩種估計(jì)方法得到的估計(jì)值基本一致。

圖4和圖5分別展示了基于Yule-Walker方程的最小二乘估計(jì)法（方法一）和基于Yule-Walker方程的廣義矩估計(jì)法（方法二）得到的關(guān)于系數(shù)矩陣[A]和[B]的估計(jì)值，可見(jiàn)兩種方法的得到的對(duì)于兩個(gè)系數(shù)矩陣的估計(jì)基本一致，并且可知不同州之間的抽煙需求量會(huì)在空間和時(shí)間上互相影響，這種影響有可能是正的，也有可能是負(fù)的，影響大小也有不同。

接下來(lái)利用1963—1990年美國(guó)的10個(gè)州抽煙需求數(shù)據(jù)，估計(jì)方法采用基于Yule-Walker方程的廣義矩估計(jì)法，分別進(jìn)行多步預(yù)測(cè)與一步預(yù)測(cè)，來(lái)最終得到對(duì)1990-1992年各州的人均抽煙包數(shù)的預(yù)測(cè)值，并與收集的真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。各州的總體預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4和表5。圖6給出多步預(yù)測(cè)情況下的1990-1992年各州抽煙需求量的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值的對(duì)比圖。

表4給出多步預(yù)測(cè)的情況下1990—1992年美國(guó)10個(gè)州的人均抽煙包數(shù)的絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差以及標(biāo)準(zhǔn)差。表5給出單步預(yù)測(cè)的情況下1990—1992年美國(guó)10個(gè)州的人均抽煙包數(shù)的絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差以及標(biāo)準(zhǔn)差。容易發(fā)現(xiàn)單步預(yù)測(cè)相比多步預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)效果更好，這也與直觀理解相符合。從圖6可以更直觀看出10個(gè)州的預(yù)測(cè)效果均比較良好，并且在多步預(yù)測(cè)的情況下，對(duì)于第一年的預(yù)測(cè)效果最好，預(yù)測(cè)誤差隨著預(yù)測(cè)年份的遞增也在增加。

4 結(jié)論

由于現(xiàn)有文獻(xiàn)面對(duì)時(shí)空數(shù)據(jù)建立模型大多會(huì)事先指定空間權(quán)重矩陣，但當(dāng)空間權(quán)重矩陣形式設(shè)定錯(cuò)誤時(shí)，模型的解釋性變得極為不可靠，預(yù)測(cè)能力也會(huì)在很大程度上降低，并且選擇哪種權(quán)重矩陣并不總是顯而易見(jiàn)，所以本文采用Ma等人［17］提出的一般時(shí)空模型，將其應(yīng)用于1963-1992年間美國(guó)10個(gè)州的香煙需求數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。預(yù)測(cè)結(jié)果表明，不提前設(shè)定空間權(quán)重矩陣，應(yīng)用一般時(shí)空模型直接進(jìn)行分析達(dá)到了很好的預(yù)測(cè)效果。從估計(jì)未知系數(shù)的結(jié)果來(lái)看，人均吸煙包數(shù)與人均可支配收入呈正相關(guān)關(guān)系，而人均吸煙包數(shù)與每包香煙的零售價(jià)格呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，均與現(xiàn)實(shí)意義相符。

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Inference of a Spatio-Temporal Autoregressive Model Based on US Smoking Data

WU Yue-yi ， HUANG Zhen-sheng

（School of Mathematics and Statistics， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094，China）

Abstract： In view of the establishment of most of the spatiotemporal models in the current literature， most of them need to specify the relevant spatial weight matrix in advance， and when the spatial weight matrix form is set incorrectly， the explanatory nature of the model becomes extremely unreliable， and the prediction ability is greatly reduced， a more general spatiotemporal autoregressive model is proposed to fit the US smoking demand data and make single-step and multi-step prediction， and the model converts the spatial weight matrix into a space-time coefficient matrix with estimation. The generalized moment estimation method based on Yule-Walker equation and the least squares method based on Yule-Walker equation were used to estimate the coefficient matrix， and the final results of both prediction methods showed that the modeling effect was better. In addition， the model analysis results also show that the per capita number of smoking packs is positively correlated with per capita disposable income， while the per capita number of smoking packs is negatively correlated with the retail price of each pack of cigarettes， which is consistent with practical significance.

Key words： spatio-temporal data； spatio-temporal autoregression； Yule-Walker equation； generalised moments estimation； cigarette demand

（責(zé)任編輯：馬乃玉）