張志剛, 劉秀芹, 陳 萱

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,北京 100083)

0 引 言

隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的崛起,微信的全球用戶數(shù)已突破10億大關(guān),成為在中國普及率最高的通訊社交軟件.微信紅包是騰訊公司于2014年推出的一款應(yīng)用,其發(fā)放形式共有兩種:一種是普通等額紅包,一對一或者一對多發(fā)送;另一種被稱作“拼手氣紅包”,用戶設(shè)定好總金額以及紅包個數(shù)之后,可以生成不同金額的紅包,在功能設(shè)計上遵循隨機發(fā)放的原則.文獻[1]基于隨機紅包金額的數(shù)值特征,構(gòu)造紅包金額的模擬算法,并對隨機紅包中的一些問題進行了分析.但此類相關(guān)的研究還較少,本文利用全期望公式相關(guān)知識,來對隨機紅包分配機理層層分析.有關(guān)全期望公式的應(yīng)用有很多,如巴格達竊賊問題、復(fù)合泊松過程的期望、方差的計算等[2],然而這些應(yīng)用與實際生活關(guān)系并不緊密,難以引起學(xué)生對事件背后原因的探索.文獻[3]選擇以新型冠狀病毒為例,從全期望公式的角度對事件進行分析,極大地調(diào)動了學(xué)生的探索求知興趣.本文選擇對微信紅包這一與生活息息相關(guān)的問題進行分析,引發(fā)同學(xué)們的求知欲,從而引導(dǎo)學(xué)生循序漸進的計算總結(jié)相關(guān)過程,讓學(xué)生理解和掌握相關(guān)知識點,進一步加深印象,并能從實際中來,回到實際中去,達到“學(xué)以致用,以用促學(xué)”的目的[4-6].

1 全期望公式

隨機變量的數(shù)學(xué)期望作為最基本的數(shù)字特征之一,反映了隨機變量平均值的大小.在某些情形下,隨機變量的期望很難直接計算,需要借助全期望公式進行:設(shè)X,Y是任意兩個隨機變量,則它們之間滿足以下等式:

E(X)=E(E(X|Y)),

(1)

稱(1)式為全期望公式,證明可以參見文獻[2].

2 全期望公式在隨機紅包分布中的應(yīng)用

隨機紅包問題中,設(shè)每份紅包的金額服從零到剩余平均金額的兩倍之間的均勻分布.用s表示紅包總金額,n表示紅包份數(shù),Xi表示第i個領(lǐng)取者抽到的金額,將Xi視為連續(xù)型變量,則

同理得

2.1 當(dāng)紅包個數(shù)小于4時隨機紅包金額的概率密度函數(shù)

由于紅包金額服從均勻分布,因此,將對隨機紅包金額的概率密度函數(shù)進行推導(dǎo),以進一步推導(dǎo)出紅包金額的數(shù)學(xué)期望.

從而得到X1,X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)

(2)

將f(x1,x2)對x1進行積分,得到X2的概率密度函數(shù)

從而得到X1,X2,X3的聯(lián)合概率密度函數(shù)

f(x1,x2,x3)=fX1(x1)fX2|X1(x2|x1)fX3|(X1,X2)(x3|(x1,x2))

由于知道x1,x2,x3的取值范圍,根據(jù)截面,可以確定積分范圍(圖1),再通過對x1,x2進行二重積分,得到X3的概率密度函數(shù).

圖1 前三個人紅包金額的取值空間示意圖(n=4,s=1)

對X3的坐標(biāo),按照從高到低排列有

隨后,只對上述一種情況進行分析,其余情況類似可得

由推導(dǎo)過程可知,隨著紅包個數(shù)的增加,紅包金額的概率密度函數(shù)的計算復(fù)雜度會隨之增加,在此不再進行后續(xù)的推導(dǎo).

利用前文得到的密度函數(shù),可計算隨機變量Xi的期望

由此可知,依賴于紅包金額的概率密度函數(shù)進行期望的計算,在隨著紅包個數(shù)增加時,也會由于密度函數(shù)計算的復(fù)雜性增加,而增加自身計算的復(fù)雜性,因此需要尋求一種更加簡單的方式,來計算紅包個數(shù)已知條件下每個隨機紅包金額的期望.

2.2 利用全期望公式求解隨機紅包金額的期望

類似地,可以得到

由此可知,當(dāng)紅包個數(shù)較多時,通過概率密度函數(shù)表達式計算期望非常復(fù)雜,而基于全期望公式的隨機變量期望的計算簡單很多,因此可以考慮采用全期望公式計算隨機變量Xi的期望.

2.3 利用全期望公式求解隨機紅包金額的方差

(i) 計算X1的方差.

(ii) 計算X2的方差.

由全期望公式:

(iii) 計算X3的方差(n≥3).

先計算X1與X2的協(xié)方差Cov(X1,X2),

其中

E[(s-X1-X2)2]=D(s-X1-X2)+[E(s-X1-X2)]2

即DX3>DX2.

顯然,在計算DX3時,用到了X1與X2的協(xié)方差Cov(X1,X2),求協(xié)方差的關(guān)鍵是計算E(X1X2).

(iv) 計算X4的方差(n≥4).

下面計算(X1,X2,X3)的協(xié)方差,

DX4=D(s-X1-X2-X3)=DX1+DX2+DX3+2Cov(X1,X2)+2Cov(X1,X3)+2Cov(X2,X3)

顯然,在計算DX4時,用到了(X1,X2,X3)的協(xié)方差矩陣,關(guān)鍵是計算E(X1X2),E(X1X3),E(X2X3).

接下來計算(X1,X2,X3)與X4的協(xié)方差,

Cov(X3,X4)=Cov(X3,s-X1-X2-X3)

綜上,已經(jīng)推導(dǎo)出(X1,X2,X3,X4)的協(xié)方差矩陣.

(v) 下面給出計算Xk方差的步驟(任意k∈,n≥k).

E[(s-X1-…-Xk-1)2]=D(s-X1-…-Xk-1)+[E(s-X1-…-Xk-1)]2,

其中

為計算Cov(XiXj),先計算E(XiXj) (1≤i

按順序依次計算以下矩陣上三角中的元素

由此,給出了計算Xk的方差的步驟.

3 實例分析

對于隨機紅包問題的分析,主要考慮從三個方面入手,一是對搶到的紅包金額的均值而言,是先搶多還是后搶多;二是搶到紅包金額的波動,是先搶大還是后搶大;三是通過計算不同位次處拿到手氣最佳的概率,明確應(yīng)該在何處搶紅包最合適.而這三個問題,簡要來說,就是對隨機紅包金額的期望、方差以及最值的概率這三個數(shù)字特征進行考察.

3.1 兩個人搶紅包

設(shè)紅包的總金額為s,分給2個人,隨機變量Xi表示第i個領(lǐng)取者抽到的金額,將Xi視為連續(xù)型變量,即X1～U(0,s),第一個人搶到紅包之后,X2=s-X1.則有

可見,兩個人搶到的紅包期望和方差都是相等的,說明先搶后搶得到的紅包金額均值以及金額波動沒有區(qū)別.

3.2 三個人搶紅包

計算第二個人紅包金額的期望和方差,由X2|X1～U(0,s-X1)及全期望公式得到X2的期望

進一步計算(X1,X2,X3)的協(xié)方差矩陣

由此可知,三個人搶紅包,先搶后搶獲得的紅包金額均值是相同的;但方差不同,即搶到的紅包金額的波動性不同,方差越大,搶到的金額出現(xiàn)較大值和較小值的概率更高,對于進取型的人來說,適合采取此方法,但需要同時承擔(dān)的風(fēng)險也越大;方差越小,搶到的金額基本會貼近紅包金額的均值,適用于保守型的人搶紅包.

為了驗證計算結(jié)果,利用Matlab軟件進行計算機模擬演示.以總金額s=1,紅包個數(shù)n=3為例,計算機模擬300次實驗,模擬結(jié)果如圖2、圖3所示.

圖2 隨機紅包的平均值模擬 圖3 隨機紅包的方差模擬

圖2中,橫軸表示實驗次數(shù),縱軸表示每個人紅包的平均值,三條曲線分別表示三個人的紅包平均值曲線.由圖2可見,隨著模擬次數(shù)的增加,三個人紅包的均值將基本穩(wěn)定在1/3附近,與前面隨機紅包金額期望計算結(jié)果一致.圖3是三人隨機紅包的方差模擬圖,橫軸表示實驗次數(shù);縱軸表示每個人紅包值的方差;三條曲線分別表示三個人的紅包金額方差曲線.由圖3可見,隨著模擬次數(shù)的增加,第一位搶紅包的人的金額方差基本趨近1/27(≈0.037),而后面兩位搶紅包人的金額方差基本趨近4/81(≈0.049),這些計算機模擬結(jié)果與隨機紅包金額方差理論計算值一致.

接下來,將對三個紅包的最值的概率進行推導(dǎo),求得紅包金額X1,X2,X3各取得最大、最小值時的概率.

由前文推導(dǎo)得到的X1與X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)(式(2))曲面如圖4所示,圖5為X1,X2,X3取得最大、最小值對應(yīng)的平面區(qū)域:

圖4 前兩個紅包金額聯(lián)合概率密度函數(shù)曲面圖

圖5 求大、最小值概率的二重積分對應(yīng)的積分區(qū)域示意圖

(i)X1取得最大值的概率

p1=P{X1≥X2,X1≥X3}=P{X1≥X2,2X1+X2≥s}

(ii)X2取得最大值的概率

p2=P{X2≥X1,X2≥X3}=P{X2≥X1,X1+2X2≥s}

=0.3185.

(iii)X3取得最大值的概率

p3=P{X3≥X1,X3≥X2}

=P{s-X1-X2≥X1,s-X1-X2≥X2}

=0.3185.

(iv)X1取得最小值的概率

p4=P{X1≤X2,X1≤X3}=P{X1≤X2,X1≤s-X1-X2}

(v)X2取得最小值的概率

p5=P{X2≤X1,X2≤X3}=P{X2≤X1,X2≤s-X1-X2}=P{X2≤X1,X1+2X2≤s}

(vi)X3取得最小值的概率

由此可知,當(dāng)只有3個人搶紅包時,第一個人搶到手氣最佳的概率最大,第二個和第三個人搶到手氣最佳的概率是相等的;而第一個人搶到手氣最差的概率最小,第二個和第三個人搶到手氣最差的概率相等.

為了驗證計算結(jié)果,利用Matlab軟件進行計算機模擬.以總金額s=1,紅包個數(shù)n=3為例,計算機模擬106次,模擬結(jié)果如圖6(第一張圖)所示,圖中,橫軸表示搶紅包的位次,縱軸表示搶到手氣最佳和最差紅包的概率,由圖可見,三個人搶紅包時得到手氣最佳、手氣最差的概率值與前面的計算結(jié)果一致.

圖6 人數(shù)從3到14時,不同位次搶得手氣最佳和手氣最差的概率變化圖

由于對不同位次搶紅包得到最大金額和最小金額的計算隨著人數(shù)的增加而趨于復(fù)雜,因此利用模擬實驗以進一步探索多人搶紅包情況下,不同位次搶紅包得到金額的最大值、最小值與綜合收益的概率情況,模擬結(jié)果如圖6、圖7所示.

圖7 人數(shù)從3到26變化時,不同位次的收益變化圖

由圖6可知,多人參與搶紅包,人數(shù)小于9時,第一個搶紅包的人得到手氣最佳的概率最大,人數(shù)大于8時,手氣最佳的概率隨著位次的增加,先減少后增加,且最后兩個人得到手氣最佳的概率最大且相等.而不論人數(shù)多少,手氣最差的概率隨著位次的增加而增加,且最后兩個人得到手氣最差的概率一直為最大.

進一步,利用上面模擬產(chǎn)生的數(shù)據(jù),對于不同位次的人搶紅包的收益情況做了進一步分析,對一個給定的人數(shù)n(3≤n≤26),按照前面給出的概率分布產(chǎn)生第1到n個人的紅包金額,將這n個人的紅包金額從小到大排序,用第i個人(i=1,2,…,n)搶到的紅包金額在數(shù)組中的次序除以1到n的和,作為他的收益值,上述步驟重復(fù)106次,然后計算第i個人的平均收益;參與搶紅包的人數(shù)n取3到26變化的情形下,都計算第i個人的平均收益,并繪制收益折線圖,由圖7可見,當(dāng)總?cè)藬?shù)從3到9時,位次靠前的人得到的紅包金額更大,且隨著位次的后移,金額隨之減少,最后兩個人得到的紅包金額相等;當(dāng)人數(shù)在10到12時,金額雖然隨著位次的增加,出現(xiàn)了先減少后增加的變化,但整體上變化不大;當(dāng)人數(shù)大于12時,可以發(fā)現(xiàn)金額隨著位次的增加,出現(xiàn)了先減少后增加的變化,且最后兩個人得到的金額最大且相等,而這一規(guī)律也與圖6中所表示的手氣最佳和手氣最差的概率規(guī)律相吻合.

因此通過對紅包金額的期望、方差以及相關(guān)事件發(fā)生的概率進行分析,可以更好地揭示隨機搶紅包的原理機制,引導(dǎo)學(xué)生理解掌握相關(guān)知識,達到學(xué)以致用,以用促學(xué)的目的.

4 結(jié) 論

有趣而又貼近生活的隨機紅包案例,通過全期望公式簡潔地揭示了隨機紅包金額背后的分配原理,既能成功的抓住學(xué)生的注意力,調(diào)動學(xué)生的參與熱情,激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲,同時又有目標(biāo)、有條理并逐步深入地幫助學(xué)生找到解決問題的方法,并通過Matlab模擬,加深學(xué)生對全期望公式的直觀印象,有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容.通過實際問題的解決,也讓學(xué)生對全期望公式乃至概率論與數(shù)理統(tǒng)計有了更加深入的理解,對理論知識在實際問題中的運用有了深刻的認(rèn)識,從而促進學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,達到了“用以促學(xué)”,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和思維能力.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.