王永鋒

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué) 215228)

在一次區(qū)級教研活動中,筆者聆聽了一節(jié)蘇科版教材八年級上冊第一章第3節(jié)“探索三角形全等的條件(第1教時)”公開課．執(zhí)教者遵循“就兩個三角形的邊或者角分別給出一組相等、兩組相等、三組相等,讓學(xué)生想象并說出不同的情形,教師黑板上演示”這一思路開展教學(xué)．這種“做加法”的思路本身是符合教學(xué)規(guī)律的,怎奈學(xué)生興致不高,課堂效果一般．原因有三:一是師生間只有提問沒有對話;二是生生之間沒有真正的合作交流;三是學(xué)生體驗感不足,思維不深刻．基于此,筆者反復(fù)研讀課標(biāo),對教材進(jìn)行組合重構(gòu),以精準(zhǔn)的問題為引線,從讓學(xué)生體驗操作開始,引導(dǎo)他們從經(jīng)驗出發(fā),用觀察實驗、猜想驗證等手段發(fā)現(xiàn)和提出問題,并對這些問題進(jìn)行多角度分析、全方位解決,從而達(dá)成領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的目的,真正發(fā)展核心素養(yǎng)．

1 教材分析

教學(xué)目標(biāo)分析 通過“撕紙”分析其過程中蘊含的“變”與“不變”,探索三角形全等的條件,經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程;掌握判定兩個三角形全等的基本事實,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和抽象能力,助力學(xué)生思維的成長．

教材內(nèi)容分析 本節(jié)課是學(xué)習(xí)了全等三角形定義之后的一次飛躍．學(xué)生研究三角形全等需找出6個元素相等,顯然太繁瑣,如何簡化兩個三角形全等的條件呢?筆者通過創(chuàng)設(shè)情境,采用“操作—設(shè)疑—探究—釋疑—總結(jié)”的流程,圍繞“撕紙”這一簡單操作引導(dǎo)學(xué)生深入思考,驅(qū)動學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的全過程,讓學(xué)生于體驗操作中得到思維生長,于主動探究中感悟數(shù)學(xué)思想,于深度理解中發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2 教學(xué)實踐

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,引發(fā)思考,學(xué)生“悅”學(xué)

情境 暑假的某一天,七年級學(xué)生小明在家打掃衛(wèi)生,不小心把桌子上的一塊三角形玻璃摔成圖1的形狀,爸爸要重新配制一塊完全相同的玻璃,問小明是否需要把這幾塊碎玻璃都帶到店里．你會給小明怎樣的建議?

圖1

師:為方便操作,我們拿出下發(fā)的三角形紙片,請大家按照自己的想法先將其撕成兩部分,看看有多少種不同的撕法．

教學(xué)說明合適的情境能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．興趣是最好的老師,學(xué)生具有主動學(xué)習(xí)的興趣,便會有深度探究的愿望,就會全身心積極投入．設(shè)置“配制玻璃任務(wù)”這一生活情境,以此類比撕紙這一操作,增強問題解決的實效,引發(fā)學(xué)生積極思考,讓學(xué)生“悅”學(xué)．

2.2 動手操作,抽象感悟,學(xué)生“做”學(xué)

師:請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的三角形紙片,將此三角形按照角的大小統(tǒng)一命名為△ABC(圖2),說說有幾種不同的撕法．

生1:把∠A撕掉．

師:還有不同的撕法嗎?

生1(補充):把∠B撕掉,也可以把∠C撕掉．

生2:把∠A撕為兩部分．

師:還有不同的撕法嗎?

生3:把∠B撕為兩部分,還可以把∠C撕為兩部分．

生4:我也是把∠A撕為兩部分,但是我撕的位置不相同．

師:請你上來演示．

生5:這和生2說的不是同一種撕法嗎?

師:你為什么覺得這是同一種撕法?

生5:因為都是把∠A撕掉．

師:那你認(rèn)為把∠B或∠C撕掉與把∠A撕掉能看作同一種撕法嗎?

生5:我覺得不可以,因為它們是不同的角．

生6:它們都是撕掉一個角．

師:它們在本質(zhì)上都是撕掉一個角,我們把這種方法統(tǒng)一規(guī)定為撕掉∠A．同樣,把一個角撕為兩部分也看作是同一種方法,我們統(tǒng)一規(guī)定把∠A撕為兩部分．于是便得到兩種不同的撕法——撕掉一個角、把一個角撕為兩部分．

教學(xué)說明讓學(xué)生體驗操作撕角,邊做邊思、邊思邊講．在撕角的過程中,教師初始并沒有規(guī)定學(xué)生該如何操作,而是讓學(xué)生在思考中充分體驗,在操作中深化感悟,看似漫無邊際,實則培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力,激活學(xué)生的思維活力,形成學(xué)生的思維經(jīng)驗．

2.3 對比操作,誘導(dǎo)思維,學(xué)生“越”學(xué)

師:上述兩種撕法都把三角形紙片分為兩部分,請對照原三角形紙片的邊與角,觀察每一部分都有哪些不變的邊與角?

生7:撕掉∠A的兩部分是∠A不變和∠B,∠C,BC不變．

生8:把∠A撕為兩部分是∠B,AB不變和∠C,AC不變．

師:我們把一對邊相等或者一對角相等稱為一組元素相等.上述兩位同學(xué)的回答分別記作一組元素相等、三組元素相等和兩組元素相等．能否分別通過這些相等將原三角形還原呢?請嘗試畫一下．

教學(xué)說明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是讓學(xué)生在舒適的平地上散步,而是要設(shè)置必要的障礙,引領(lǐng)他們挑戰(zhàn)自我、超越自我．這種刨根問底的探索和追求精神恰恰是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)所亟需的．本環(huán)節(jié)從對比操作入手,誘導(dǎo)學(xué)生的思維,讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)思維成長的全過程,促進(jìn)其思維生長發(fā)展．

2.4 分類探討,提升思想,學(xué)生“辨”學(xué)

師:上述操作中,你覺得哪一部分畫出的三角形是全等的?如何驗證?

生9:有三組元素相等時畫出的三角形是全等的,因為我們小組把這些三角形疊合在一起,它們是重合的．

師:一組元素相等的兩個三角形包括哪些情形?

生10:一組元素相等除了一對角相等,還包括一對邊相等．通過畫圖發(fā)現(xiàn),兩個三角形只有一對邊的長度相等,不能判斷它們一定全等．

師:一組元素相等包括一對角相等或者一對邊相等,不能判斷兩個三角形一定全等．那么兩組元素相等又該如何分類呢?

生11:兩組元素相等除了上述的一邊一角相等,還包括兩對邊相等或者兩對角相等,也不能判斷兩個三角形一定全等．

師:請你演示一下．

師:還可以利用身邊的文具舉個反例嗎?

生12:老師手中的三角尺和我手中的三角尺滿足兩對角相等,但是這兩個三角形不全等．兩組邊相等可以是等邊三角形的邊長等于等腰直角三角形的腰長,這兩個三角形也不全等．

師:兩組元素相等包括兩對角相等、兩對邊相等或者一邊一角相等,不能判斷兩個三角形一定全等．

教學(xué)說明探索三角形全等的條件,教師教學(xué)時往往會采取“做加法”(從一組元素相等開始逐漸增加條件)或者“做減法”(從六組元素相等開始逐漸減少條件)來展開．這個過程中,教師的主動演示和學(xué)生的被動接受很容易被個別學(xué)生的高水準(zhǔn)表現(xiàn)所掩蓋．通過體驗操作,直接讓一組、兩組、三組元素相等躍然紙上,把“學(xué)之困”和“教不足”聯(lián)結(jié)在一起,學(xué)生自然會針對不同的情形進(jìn)行分類探討．通過辨別思考,思維有了深度,內(nèi)容也便被很好地領(lǐng)悟了．

2.5 體驗交流,深度挖掘,學(xué)生“慧”學(xué)

師:從上述操作發(fā)現(xiàn),三組元素相等能夠說明兩個三角形全等．三組元素相等又該如何分類呢?一定能說明兩個三角形全等嗎?請大家操作并討論一下．

生13:三組元素相等還包括三條邊對應(yīng)相等、三個角對應(yīng)相等．

師:還有別的補充嗎?

生14:還有兩角一邊和兩邊一角對應(yīng)相等．

師:剛才這位同學(xué)講到對應(yīng)相等,這是很規(guī)范的提法．三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形一定全等嗎?你打算如何驗證?

生15:比如我手中的這些三角形紙片,能完全疊合在一起,它們的三條邊自然相等．

師:七年級時我們學(xué)過一個基本作圖——作一條線段等于已知線段．請利用這個作圖方法操作驗證一下．

師:三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎?

生16:我覺得不一定全等．老師拿的大三角尺和我手里的小三角尺,盡管三個角對應(yīng)相等,但是并不全等．

師:我們前面講的兩角對應(yīng)相等和三角對應(yīng)相等是一回事嗎?

生17:根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,兩角對應(yīng)相等可以轉(zhuǎn)化為三角對應(yīng)相等．

師:生14講的兩角一邊和兩邊一角相等又該如何研究?請大家對照題目要求畫圖:

(1)在透明紙片上畫一個三角形,其中兩個角分別是30°和45°,一條邊為5 cm,將你畫的三角形與同伴畫的三角形疊合,兩個三角形能完全重合嗎?你有什么發(fā)現(xiàn)?

(2)在透明紙片上畫一個三角形,其中一個角是60°,有兩條邊分別是7 cm,5 cm,將你畫的三角形與同伴畫的三角形疊合,兩個三角形能完全重合嗎?你又有什么發(fā)現(xiàn)?

生18:我們這組按問題(1)要求畫的三角形是不重合的．

師:那你仔細(xì)看看原因出在哪兒.

生18:有同學(xué)畫的5 cm長的邊是30°角的對邊,有同學(xué)畫的5 cm長的邊是45°角的對邊,還有同學(xué)畫的5 cm長的邊是第三個角的對邊．

師:第三種情況下長為5 cm的邊和30°、45°角的關(guān)系是什么?

生19:長為5 cm的邊是30°和45°角的公共邊．

師:這里的公共邊也就是兩個角的夾邊．請大家仔細(xì)觀察上述三種情況,各自對應(yīng)相等的三角形是否全等?

生18:全等．

師:我們把上述情形分別表述為“角角邊”和“角邊角”,它們都是三角形全等的判定方法．

師:按問題(2)畫出的兩個三角形能完全重合嗎?

生20:不重合．我們畫出三種情形:60°角是 5 cm和7 cm邊的夾角;60°角所對的邊長是 5 cm;60°角所對的邊長是7 cm．通過疊合,發(fā)現(xiàn)只有第一種情形是重合的,后面兩種情形都畫出了兩個不同的三角形．

師:我們把上述情形分別表述為“邊角邊”和“邊邊角”．“邊角邊”才是三角形全等的判定方法．

教學(xué)說明真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意味著登山式的挑戰(zhàn)與沖刺．在探索過程中,“三邊”“三角”這兩種情形容易驗證,而“兩角一邊”和“兩邊一角”是討論的焦點,“對應(yīng)相等”更是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵．本環(huán)節(jié)繼續(xù)加強學(xué)生的體驗交流,把知識學(xué)習(xí)的過程清晰地呈現(xiàn)出來,為學(xué)生的深度挖掘、交流合作搭建一個科學(xué)、完整的平臺,建構(gòu)一般觀念下的活動及數(shù)學(xué)思維方式,為學(xué)生呈現(xiàn)帶得走的知識,彰顯學(xué)生個體體驗的獨特性、小組合作的互動性、思維領(lǐng)悟的生長性,真正發(fā)展學(xué)生的智慧．

2.6 歸納結(jié)論,總結(jié)反思,學(xué)生“躍”學(xué)

師:要配制一塊完全相同的玻璃,你會給小明怎樣的建議?

師:我們是如何探索三角形全等的條件的?在探索的過程中用到了哪些思想方法?后續(xù)還會學(xué)習(xí)什么?

教學(xué)說明本環(huán)節(jié)首尾呼應(yīng),再次回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)流程,將數(shù)學(xué)知識按照學(xué)生思維的生長進(jìn)行重構(gòu),使其前后聯(lián)系．教師引導(dǎo)學(xué)生梳理、概括、歸納本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程,構(gòu)建知識的形成和發(fā)展體系,同時又為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆,使學(xué)生對三角形全等的判定有了全面的認(rèn)識,知識技能有了靈魂,思想方法有了載體,有助于學(xué)生的思維飛躍．

3 教學(xué)反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)指出:教學(xué)活動應(yīng)注重啟發(fā)式,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,引發(fā)學(xué)生積極思考,鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難,引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題;促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能,體會和運用數(shù)學(xué)的思想與方法,獲得數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗;培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成積極的情感、態(tài)度和價值觀,逐步形成核心素養(yǎng)[1]．基于此,教師在開展課堂教學(xué)時應(yīng)堅守自己的主導(dǎo)作用,加強學(xué)生的過程性體驗,通過針對性較強的問題來引領(lǐng)學(xué)生思維品質(zhì)的提升．在這個過程中,還要突出強調(diào)全體學(xué)生的參與、交流、對話,讓真實的學(xué)習(xí)體驗和成長感悟自由生長,讓創(chuàng)造力的發(fā)展找到可依托的載體．

3.1 操作中發(fā)現(xiàn),引導(dǎo)思維開啟

美國著名教育家杜威指出:教學(xué)過程就是“做”的過程．在他看來,如果兒童沒有“做”的機會,那必然會阻礙其自然發(fā)展．這就要求教師在教學(xué)中要基于對教學(xué)活動的理解,通過創(chuàng)設(shè)情境調(diào)動主動性、鼓勵參與和交流等策略讓學(xué)生充分“試水”,以此開啟學(xué)生的思維．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)是思維的學(xué)習(xí),而思維的發(fā)展離不開學(xué)生的充分體驗．“撕角”便是從學(xué)生真實的“做”出發(fā),邊“做”邊想,分析問題,發(fā)現(xiàn)結(jié)論．學(xué)生把“做”的經(jīng)驗與數(shù)學(xué)的“變”與“不變”有機結(jié)合,增強對獲得數(shù)學(xué)知識的路徑與方法的理解,激發(fā)探求新知識的心向,開啟學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維．“做中學(xué)”讓學(xué)生身心互為一體,知行相互作用,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．

3.2 體驗中感悟,助力思維生長

現(xiàn)代認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)不是教師向?qū)W生傳遞知識,而是學(xué)生自己建構(gòu)知識和應(yīng)用知識的過程．大教育家孔子說:“學(xué)而不思則罔,思而不學(xué)則殆．”這告誡我們只有把學(xué)習(xí)和思考結(jié)合起來才是正確的讀書和學(xué)習(xí)方法．同樣地,學(xué)生的學(xué)習(xí)離不開“體驗中感悟”．“體驗”是手段、途徑和方法,“感悟”是結(jié)果和目的．“撕角”是體驗,“一組相等”“兩組相等”“三組相等”是體驗后的感悟,每個“相等”隱含的各個情形是思維的生長．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)須以教師為主導(dǎo),問題為引領(lǐng),探究為主線．學(xué)生通過探究得出數(shù)學(xué)結(jié)論是提高課堂教學(xué)效率的關(guān)鍵,沒有過程的結(jié)論往往需要死記硬背,難以靈活運用．教師的主導(dǎo)很多時候是通過引領(lǐng)性的問題來實現(xiàn)的．合適的問題能引發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑猜想和探究的欲望,讓體驗貫穿整個探究過程,促進(jìn)學(xué)生思維的生長．

3.3 合作中交流,拓展思維廣度

《課標(biāo)2022》指出:學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程,認(rèn)真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索和合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式[1]．在學(xué)習(xí)過程中,當(dāng)知識難度過大、思維出現(xiàn)多樣化、個人獨立完成有困難時,小組合作交流就顯得尤為重要．真正的小組合作交流能實現(xiàn)同伴互助,有利于揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展．幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、行為操作經(jīng)驗、探究經(jīng)驗和思維經(jīng)驗,對學(xué)生的情感體驗也有著積極的推動作用[2]．上述探索“兩角一邊”和“兩邊一角”對應(yīng)相等的兩個三角形是否全等時,情形多、內(nèi)容難,在開放的情境下合作交流能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性和歸納性思維．教師要關(guān)注生生間的多維互動,學(xué)生之間相互感悟、體會而碰撞出的火花必然會拓展學(xué)生思維的廣度．

3.4 評價中升華,提升思維高度

《課標(biāo)2022》指出:評價不僅要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果,還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程．采用多元的評價主體和多樣的評價方式,鼓勵學(xué)生自我監(jiān)控學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果[1]．上述教學(xué)中,學(xué)生學(xué)習(xí)參與面廣、學(xué)生之間相互評價交流多,有利于展現(xiàn)學(xué)生思維．通過對教學(xué)過程的回顧和思想方法的審視,學(xué)生收獲了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“做”的經(jīng)驗,同時又利用所學(xué)知識幫小明解決了問題,有知識的收獲,有過程的思考,有解惑的喜悅,還有后續(xù)學(xué)習(xí)的展望．?dāng)?shù)學(xué)課堂真正實現(xiàn)參與、交流、對話、引導(dǎo),學(xué)生獲得真實的學(xué)習(xí)體驗和成長感悟,創(chuàng)造力的發(fā)展也找到依托載體．讓學(xué)生課堂上自我評價,展示了學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu),學(xué)生評價的過程就是思維高度再現(xiàn)的過程．

在基于體驗操作的數(shù)學(xué)課堂中,教師不僅要關(guān)注學(xué)生直接“做”的體驗及一切學(xué)生可以直接感知、領(lǐng)悟的東西,讓生命在場,更要清楚個體生命是有限的,不可能事事親為,所以更要關(guān)注與個體生活體驗、經(jīng)驗發(fā)生連接,引發(fā)感動的“見聞之知”,走出自我,走出個人體驗,從“在場”的個人體驗走向“不在場”的廣闊世界．體驗操作的價值取向在于使學(xué)生學(xué)會思考,思維真正生長,成為善于認(rèn)識和解決問題的人．