劉啟沛 張程賢 薛正遠(yuǎn)3)4)?

1)(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

2)(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院,南寧 530004)

3)(華南師范大學(xué)物理前沿科學(xué)研究院,廣東省量子調(diào)控與量子材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,粵港量子物質(zhì)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

4)(合肥國家實(shí)驗(yàn)室,合肥 230088)

半導(dǎo)體量子點(diǎn)量子比特是最有希望實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的候選者之一.其中自旋單態(tài)-三重態(tài)量子比特因具有全電控制和讀取準(zhǔn)確的優(yōu)良性質(zhì)而備受關(guān)注.為增強(qiáng)對電荷噪聲的免疫,通常引進(jìn)強(qiáng)脈沖驅(qū)動(dòng)以盡可能加快門操作速度.但是,強(qiáng)驅(qū)動(dòng)脈沖引起的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)導(dǎo)致旋波近似不再適用,反而會(huì)阻礙高保真度比特操作的實(shí)現(xiàn).本文提出了一種增加簡單的正交脈沖的方法,可以很好地抑制強(qiáng)驅(qū)動(dòng)引起的高頻振蕩項(xiàng)的操作錯(cuò)誤.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,NOT 門的保真度在無噪聲時(shí)可達(dá)99.99%且操作時(shí)間只需2 ns.特別地,即便電荷噪聲強(qiáng)度到了 2μeV 的水平,NOT 門的平均保真度也可高于99.9%.值得注意的是,該方案同時(shí)也適用于任意單比特量子門的優(yōu)化.因此,本文的脈沖優(yōu)化方案將有助于獲得快速高保真度的自旋單態(tài)-三重態(tài)量子比特.

1 引言

基于半導(dǎo)體量子點(diǎn)的量子計(jì)算具有全電控操作的優(yōu)勢以及可結(jié)合現(xiàn)代半導(dǎo)體工業(yè)的能力[1-3],被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算的最有潛力的物理系統(tǒng)之一.近年來,技術(shù)的進(jìn)步使得基于單量子點(diǎn)單自旋態(tài)的高保真單比特門[4-6]和兩比特門[7-9]得以實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).另外,基于多量子點(diǎn)多個(gè)自旋態(tài)實(shí)現(xiàn)的量子比特方案,通過引入更多的自由度帶來了相干時(shí)間或比特操作上的優(yōu)勢[2,3,10-13].其中,單態(tài)-三重態(tài)(ST0)量子比特是由束縛于雙量子點(diǎn)的雙電子自旋單態(tài)和三重態(tài)構(gòu)成的[11,14],具有快速全電控制和讀取準(zhǔn)確率高的優(yōu)點(diǎn)[11,15,16].近年來,得益于硅基半導(dǎo)體上同位素純化技術(shù)的廣泛使用[17,18],核自旋引起的局域磁場擾動(dòng)可以進(jìn)一步得到消除,大大增強(qiáng)了量子比特的弛豫時(shí)間.然而,高保真量子比特門的實(shí)現(xiàn)仍然受限于量子點(diǎn)附近隨機(jī)擾動(dòng)的電荷噪聲[19,20]的影響.因此,有必要引入新方法來保護(hù)比特,如在對電荷噪聲不敏感的甜點(diǎn)區(qū)域進(jìn)行操作[21-27],或增強(qiáng)驅(qū)動(dòng)脈沖縮短操作時(shí)間[24].

對量子點(diǎn)自旋比特,對稱工作點(diǎn)[21,22]是近來備受關(guān)注的一種甜點(diǎn)類型.在該點(diǎn)處,比特能級(jí)間距對電荷噪聲一階不敏感,因此其平均單比特門操作保真度可高達(dá)99.6%[25].然而,此時(shí)對量子比特進(jìn)行操作的拉比頻率通常被限制在只有幾MHz[25,28]的水平上,使得量子比特變得更易受到噪聲和控制錯(cuò)誤的影響.此外,近年來一種被稱為橫向甜點(diǎn)區(qū)域操作的方案也引發(fā)了關(guān)注[23,26].在該區(qū)域,量子比特的電偶極耦合主要為橫向形式且兼具電偶極矩大和對電荷噪聲一階不敏感的特點(diǎn),因此更適合實(shí)現(xiàn)快速的比特操作,進(jìn)而提高ST0量子比特在電荷噪聲下的保真度.同時(shí),量子點(diǎn)雜化比特中也存在類似的工作區(qū)域[24,27].

另一方面,快速高保真的單比特門不能簡單地通過增大拉比頻率來完成.這是因?yàn)?在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下,旋波近似可能不再適用[29-31].為了修正強(qiáng)驅(qū)動(dòng)帶來的比特操控誤差,研究人員提出了一種通過補(bǔ)償Bloch-Siegert 位移的頻率修正方法[24].然而,該修正方法限制了不同單比特門的門速度的選擇,且僅適用于方波脈沖,限制了實(shí)驗(yàn)上脈沖波形的自由選取.本文提出了一種通過增加一個(gè)簡單的正交脈沖來抑制高頻振蕩項(xiàng)的方案.這一修正脈沖的求解方法將半經(jīng)典的驅(qū)動(dòng)場等效為一個(gè)光子場[24,30,31],從而將高頻振蕩耦合都轉(zhuǎn)化為了不同光子數(shù)的態(tài)之間的耦合,然后抑制邏輯子空間與其他子空間的耦合[32,33],達(dá)到高保真量子操控的目標(biāo).數(shù)值模擬結(jié)果表明,在無噪聲時(shí),本方法優(yōu)于頻率修正方法[24],可將單比特門保真度提高至少一個(gè)數(shù)量級(jí).因?yàn)閷?qiáng)驅(qū)動(dòng)所致控制錯(cuò)誤的高效抑制,本方法將有助于ST0量子比特在電荷噪聲下實(shí)現(xiàn)快速高保真的單比特門.

2 模 型

考慮限制在雙量子點(diǎn)中的雙電子自旋構(gòu)成的ST0量子比特,并定義自旋磁量子數(shù)為零(ms0)的子空間為比特的邏輯空間.門操作區(qū)域在電荷構(gòu)型(1,1)?(0,2)附近,其中(nL,nR) 表示左(右)量子點(diǎn)中各有nL(nR)個(gè)電子.在強(qiáng)外磁場下,極化三重態(tài)|T±(1,1)〉將遠(yuǎn)離操作空間,因此可以忽略,在{|T0(1,1)〉,|S(1,1)〉,|S(0,2)〉}基矢下,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為[23]

其中 ΔBgμB(BL-BR) 是量子點(diǎn)間的塞曼能量差,g為電子自旋g因子,μB是玻爾磁子,BL(BR)對應(yīng)左(右)點(diǎn)的磁場強(qiáng)度,并取約化普朗克常數(shù)?1(下文亦然);τ代表兩個(gè)點(diǎn)之間的隧穿耦合,它可以通過改變雙量子點(diǎn)中間的門電壓進(jìn)行調(diào)節(jié);ε是兩個(gè)量子點(diǎn)之間的失諧.這里定義ε0 對應(yīng)于|S(1,1)〉-|S(0,2)〉相互轉(zhuǎn)換的位置.

為了保護(hù)ST0量子比特免受電荷噪聲的影響,通常在對噪聲不敏感的橫向甜點(diǎn)處進(jìn)行比特操作.對于給定的隧穿耦合τ0,若存在失諧εss使得該處比特頻率ωq對失諧一階不敏感,即?ωq/?ε0,則{τ0,εss}對應(yīng)一個(gè)橫向甜點(diǎn).在此處進(jìn)行單比特門操作,可以施加一個(gè)與比特共振的隧穿耦合脈沖τAC(t)Ωx(t)cos(ωqt+?),其脈沖包絡(luò)為Ωx(t),相位為?.包含驅(qū)動(dòng)的半經(jīng)典哈密頓量為

其中σij|i〉〈j|,Vij〈i|?H0/?τ|j〉.當(dāng)Ωx(t)?ωq時(shí),在驅(qū)動(dòng)場作用下,量子比特可以繞布洛赫球X-Y平面的任意軸線旋轉(zhuǎn),而任意單比特門操作可通過復(fù)合這些旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)[34].然而,在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下,旋轉(zhuǎn)繪景中非共振的耦合項(xiàng)不能被忽略,量子比特的動(dòng)力學(xué)將變得復(fù)雜.因此,為了實(shí)現(xiàn)快速高保真的操作,有必要對控制脈沖進(jìn)行更進(jìn)一步的設(shè)計(jì).

3 強(qiáng)驅(qū)動(dòng)

本節(jié)提供一種同時(shí)實(shí)現(xiàn)快速單比特門操作和抑制額外強(qiáng)驅(qū)動(dòng)效應(yīng)的控制脈沖方法.

3.1 全量子化哈密頓量

把驅(qū)動(dòng)脈沖量子化為一個(gè)單模光子場,圖1 所示為全量子化哈密頓量對應(yīng)的裸態(tài)能級(jí)圖.此時(shí)可清楚地闡明強(qiáng)驅(qū)動(dòng)效應(yīng)引起非共振躍遷的基本過程.為此,擴(kuò)展(2)式中的經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場到其對應(yīng)的量子化光子場.比特和光子場的哈密頓量分別記為Hdot和Hph,二者的相互作用哈密頓量為Vint,其量子哈密頓量為

圖1 全量子化哈密頓量的裸態(tài)能級(jí)圖Fig.1.Energy levels of the full quantized Hamiltonian for the bare states.

其中Hdot,Iph對應(yīng)光子場的單位算符;類似地,HphIdot?ωqa?a,Idot是比特的單位算符.這里考慮共振驅(qū)動(dòng)的單比特門,所以光子的頻率與量子比特頻率一致,a?(a)是光子產(chǎn)生(湮滅)算符.自由哈密頓量Hdot+Hph的本征態(tài)為裸態(tài){|i,n〉|i〉?|n〉},其中|i〉∈{|0〉,|1〉,|f〉},|n〉代表占有數(shù)為n的光子數(shù)態(tài).

考慮到驅(qū)動(dòng)是由單模的交變電壓產(chǎn)生的,可擬設(shè)相互作用哈密頓量為VintVDQD?(a+a?),VDQD對應(yīng)于作用在雙量子點(diǎn)部分的算符.該哈密頓量應(yīng)滿足經(jīng)典-量子對應(yīng)原則[24],即

注意到經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場對應(yīng)的光子數(shù)態(tài)為相干態(tài),其分布滿足泊松分布,且平均光子數(shù)N是一個(gè)大數(shù),光子數(shù)偏差 ΔN遠(yuǎn)小于N,所以可以聚焦在光子數(shù)在N附近的態(tài)上,n ∈[N-ΔN,N+ΔN].則任意兩個(gè)裸態(tài)間的耦合強(qiáng)度滿足

單比特門操作對應(yīng)的就是裸態(tài)|1,n〉和|0,n+1〉之間的拉比振蕩.然而,如圖1 所示,上述態(tài)還會(huì)和其他光子數(shù)相差1 的態(tài)耦合,這對應(yīng)于半經(jīng)典哈密頓量中的高頻振蕩項(xiàng).在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下,這些額外的耦合將導(dǎo)致不可忽略的相位錯(cuò)誤和泄漏.可以看到,將哈密頓量全量子化后,處理高頻振蕩項(xiàng)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榱艘种七壿嬜涌臻g與其他能級(jí)之間的耦合的問題.

3.2 修正脈沖

本文通過引入額外的自由度來修正強(qiáng)驅(qū)動(dòng)引起的控制誤差.而對于比特頻率,我們希望保持其為常數(shù),一是因?yàn)榱孔颖忍囟x在最低的兩個(gè)能量本征態(tài)上,改變比特頻率可能引發(fā)泄漏等問題;二是為了保證ST0比特受橫向甜點(diǎn)的保護(hù).因此,我們考慮額外增加一個(gè)正交的脈沖,現(xiàn)在總的脈沖為Ωx(t)cos(ωqt+?)+Ωy(t)sin(ωqt+?).擬設(shè)對應(yīng)的全量子化哈密頓量為HQHdot+Hph+.由經(jīng)典-量子對應(yīng)原則,上述哈密頓量可緊湊地表示為

式中的各個(gè)記號(hào)分別為

我們操作的目的在于實(shí)現(xiàn)裸態(tài)|0,n+1〉和|1,n〉之間拉比振蕩的同時(shí),可以同步消除這兩個(gè)態(tài)向其他態(tài)的泄漏.由于光子數(shù)相差1 的裸態(tài)間才有直接耦合,下面只關(guān)注光子數(shù)屬于{n-1,n,n+1,n+2}的子空間.為了抑制泄漏,我們希望找到一個(gè)繪景變換算符U(t),在該變換下的哈密頓量

要滿足以下3 個(gè)要求:首先,它的邏輯子空間部分為目標(biāo)哈密頓量.其次,邏輯子空間和泄漏空間之間沒有耦合,即

這里|q〉屬于邏輯子空間,而|k〉為泄漏態(tài).最后,該變換在比特操作末時(shí)刻tg是一個(gè)單位算符

以保證在門操作結(jié)束時(shí)回到原繪景.

實(shí)踐中,U(t)和Ωx(y)(t) 可以通過微擾法進(jìn)行求解[32].為了做到這一點(diǎn),引入微擾參量δ,并將全量子化的哈密頓量展開為

對(7)式使用Baker-Campbell-Hausdorff 展開和Taylor 展開,可得到Heff的級(jí)數(shù)展開式,其第l階的系數(shù)為

而無泄漏條件(8)式的微擾形式為

由(9)式和(14)—(17)式可迭代求得控制脈沖的微擾解.

具體地,取目標(biāo)哈密頓參數(shù)hx(t)2η10,x/V10.對于一階微擾解,由無泄漏條件(17)式,S(t) 應(yīng)該滿足

容易發(fā)現(xiàn),通過簡單地改變脈沖的相位?即可實(shí)現(xiàn)繞不同軸的比特旋轉(zhuǎn),所以,上述方法適用于任意單比特量子門操作的優(yōu)化.

4 數(shù)值模擬

為研究本方案修正脈沖的效果,對于NOT 門的表現(xiàn),與文獻(xiàn)[24]中的頻率修正方案及未修正情況做比較.注意到,雖然修正脈沖方案是通過求解全量子化哈密頓量得到的,但也同樣適用于半經(jīng)典哈密頓量,下文中的數(shù)值模擬結(jié)果都基于半經(jīng)典哈密頓量給出,其中 ΔB/(2π)2 GHz[35],τ01.25ΔB對應(yīng)的是平坦區(qū)域較寬的甜點(diǎn)[23].量子門平均保真度由公式[36]

計(jì)算得出,其中單比特操作對應(yīng)d2,而U0為目標(biāo)量子門,E為實(shí)際的量子比特操作,Ui代表泡利算符I,X,Y和Z.

驅(qū)動(dòng)脈沖以實(shí)驗(yàn)上常用的截?cái)喔咚姑}沖

和三角函數(shù)型脈沖

為示例,對應(yīng)NOT 門操作,其中高斯脈沖的半峰全寬取σtg/4,γπ,V01為甜點(diǎn)處對應(yīng)的耦合系數(shù)(見(2)式),還有Ωmax為三角函數(shù)型脈沖峰值.

首先考慮無噪聲情況,如圖2(a)所示,修正脈沖方案的失真度比未修正的情況至少降低了一個(gè)數(shù)量級(jí).特別地,即便平均拉比頻率Ω高至0.25×2π GHz(對應(yīng)門時(shí)間2 ns),我們方案的失真度也能低于 10-4.此外,與文獻(xiàn)[24]提出的頻率修正方法進(jìn)行比較,可以看到,本文的方案比頻率修正方案的失真度更低,這是因?yàn)楸疚姆桨缚梢造`活使用不同的拉比頻率,并且對脈沖包絡(luò)有著較少的限制,有利于強(qiáng)驅(qū)動(dòng)與其他優(yōu)化方案相結(jié)合.可見,通過修正脈沖方案,強(qiáng)驅(qū)動(dòng)引起的控制誤差將大為緩解.

圖2 (a)無噪聲時(shí)和(b)電荷噪聲下的NOT 門表現(xiàn).頻率修正和脈沖修正分別指文獻(xiàn)[24]和本文所用的修正方案.實(shí)線和虛線分別對應(yīng) Ωx 脈沖的包絡(luò)為高斯型和三角函數(shù)型.圖(a)右下角的插入圖為高斯型 Ωx 及其對應(yīng)的 Ωy 的示 意圖.所用參數(shù)為V01 0.6402,V0f 0.5309,V1f=0.0014Fig.2.NOT gate performance under(a) noise-free and(b) charge noise.The frequency correction and the pulse correction refers to the correction scheme used in Ref.[24]and this work,respectively.The Gaussian and trigonometric Ωxpulse envelopes are represented by the solid and dashed lines,respectively.The bottem right insert in panel(a) is a diagram of Gaussian Ωx and its corresponding Ωy.Parameters:V01 0.6402,V0f 0.5309,V1f 0.0014.

ST0量子比特的相干性主要受失諧噪聲的影響.對準(zhǔn)靜的失諧噪聲εss→εss+δε,其分布滿足標(biāo)準(zhǔn)偏差為σε的高斯分布.為計(jì)算準(zhǔn)靜噪聲的影響,數(shù)值模擬的基矢為哈密頓量H0(εss+δε) 的本征態(tài),并按高斯分布采樣20 個(gè)不同的δε數(shù)值進(jìn)行平均.對高頻的失諧噪聲,通過主方程[37]進(jìn)行模擬,其中耗散超算符為D[c]ρcρc?-c?cρ/2-ρc?c/2,γ?為退相干速率.

圖2(b)模擬了未修正、頻率修正方案和脈沖修正方案中NOT 門在準(zhǔn)靜噪聲和高頻噪聲共同作用下的表現(xiàn).取準(zhǔn)靜噪聲標(biāo)準(zhǔn)為典型值σ?2 μeV[38,39],退相干時(shí)間T21/γ?7μs[40].對比脈沖修正方案與其他方案的表現(xiàn),脈沖修正的效果在一定區(qū)域內(nèi)隨著拉比頻率的增加而變得更加顯著.這是因?yàn)?一方面,高頻振蕩項(xiàng)的影響在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下更明顯;另一方面,強(qiáng)驅(qū)動(dòng)縮短了門時(shí)間,減弱了噪聲的干擾.考慮到求解修正脈沖時(shí)微擾展開的有效性,門保真度不會(huì)一直隨著拉比頻率的增大而增大,脈沖修正方案下NOT 門的保真度始終高于99.9%,而未修正方案門保真度則低于99.9%,這展示了脈沖修正方案對減弱電荷噪聲影響的作用.對比頻率修正方案,脈沖修正的效果不僅對控制脈沖的限制更少,且利于進(jìn)一步與其他優(yōu)化方法的兼容.

5 結(jié)論

研究表明,以橫向甜點(diǎn)作為工作區(qū)域,不僅可以實(shí)現(xiàn)對ST0量子比特的快速單比特操作,同時(shí)也可以保證量子比特對電荷噪聲的一階不敏感.另一方面,在橫向甜點(diǎn)工作處,強(qiáng)驅(qū)動(dòng)下的高頻振蕩同時(shí)也將導(dǎo)致不可忽略的控制誤差.本文提出了一種通過增加一個(gè)簡單的正交脈沖的方法,以減少由強(qiáng)驅(qū)動(dòng)引起的控制誤差,并以NOT 門為例進(jìn)行了數(shù)值模擬.結(jié)果表明,在本文的脈沖修正下,即便電荷噪聲強(qiáng)度在 2μeV 的水平,也可獲得保真度高于99.9%的單量子比特門操作.值得注意的是,該方案同時(shí)也適用于任意單比特量子門的優(yōu)化.因此,本文的脈沖優(yōu)化方案將有助于獲得快速高保真度的ST0量子比特.此外,這種方法也可應(yīng)用于實(shí)現(xiàn)其他量子系統(tǒng)的快速精確操作.