姚莉莉

［摘 要］數(shù)的概念教學(xué)是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的重要教學(xué)內(nèi)容，主要涉及整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，教學(xué)中應(yīng)注重滲透一致性，這是小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)的基本追求。文章以分?jǐn)?shù)的概念教學(xué)為例，指出分?jǐn)?shù)的概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)整體把握教學(xué)內(nèi)容，打通數(shù)的概念的關(guān)聯(lián)、強(qiáng)調(diào)數(shù)的一致性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，發(fā)展學(xué)生的符號意識，落實核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］一致性；數(shù)的概念；分?jǐn)?shù)的意義

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0075-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確指出，在“數(shù)與運算”教學(xué)中，要讓學(xué)生感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，體會數(shù)的運算在本質(zhì)上的一致性。數(shù)的概念是運算和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，數(shù)的概念教學(xué)是整個“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的根基，只有讓學(xué)生感悟數(shù)的概念的一致性，才能促進(jìn)學(xué)生數(shù)感、符號意識、運算能力的發(fā)展，有效落實核心素養(yǎng)。

一、源起：基于真實學(xué)情的問題現(xiàn)狀分析

在日常教學(xué)中，如果教師忽視了數(shù)的概念一致性，不注重基礎(chǔ)內(nèi)容教學(xué)，就像房子沒有打好地基，在后續(xù)的教學(xué)中會遇到很多問題。如學(xué)生在解決“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”和“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”等問題時，難免出現(xiàn)理解障礙。有的教師則會簡單用“單位‘1’已知用乘法、單位‘1’未知用除法”的口訣解釋，短期內(nèi)看效果似乎不錯，學(xué)生能快速解決此類問題。至于為什么單位“1”已知用乘法、單位“1”未知用除法，學(xué)生不明白。

數(shù)的概念是基礎(chǔ)，運算和數(shù)量關(guān)系是進(jìn)階，因此，無論是概念教學(xué)還是計算教學(xué)，都應(yīng)注重算理和算法的雙線教學(xué)。在實際教學(xué)中，教師或許遇到過這樣的情況：在根據(jù)教材單獨教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法或分?jǐn)?shù)除法時，學(xué)生都能結(jié)合具體情境，通過畫一畫、涂一涂等操作活動，理解具體的算理和算法，但當(dāng)問題以綜合題組出現(xiàn)，學(xué)生卻不能準(zhǔn)確解決問題。

這時，我們不妨打破學(xué)段間的壁壘，將復(fù)雜抽象的新知和學(xué)生熟練掌握的舊知聯(lián)系起來，做到新舊融合。比如，一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，反過來說就是另一個數(shù)是這個數(shù)的幾分之幾，讓學(xué)生體會“倍”和“幾分之幾”都是用來描述兩個量之間的關(guān)系（如圖1），感悟數(shù)的一致性。

基于對上述現(xiàn)狀的思考，筆者嘗試對分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行再教學(xué)，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)同整數(shù)、小數(shù)一樣，都是由計數(shù)單位不斷累加而得到的。

二、再設(shè)計：基于數(shù)的概念一致性的教學(xué)實踐

“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生初步理解分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位，知道把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)，表示這樣一份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。通過折一折、分一分、比一比的學(xué)習(xí)活動，經(jīng)歷度量分?jǐn)?shù)的過程，體會分?jǐn)?shù)不僅可以分出來，還可以數(shù)出來。初步理解假分?jǐn)?shù)的意義，從而把握數(shù)的本質(zhì)，感悟分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)的一致性。因此，筆者在“分?jǐn)?shù)的意義”單元第一課時的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)。

1.真實情境引發(fā)認(rèn)知沖突——初步經(jīng)歷度量分?jǐn)?shù)

師：怎樣找到粉紙條的[14]呢？

生1：我先對折一次，再對折一次，打開后發(fā)現(xiàn)平均分成了4份，從而找到粉紙條的[14]。

生2：我是比出來的，粉紙條比黃紙條多出來一部分，恰好是粉紙條的[14]。

師：通過折一折、比一比，我們找到了粉紙條的[14]，用粉紙條的[14]為單位來測量，發(fā)現(xiàn)黃紙條有3個這樣的[14]，是[34]根粉紙條長。在剛才的測量過程中，都是把誰平均分？

生3：都是以粉紙條作為標(biāo)準(zhǔn)平均分。

2.變式突破建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義——初步感知假分?jǐn)?shù)

活動要求2（出示圖3）：以粉紙條為標(biāo)準(zhǔn)，藍(lán)紙條和綠紙條分別有多長？

師：這3張長度不同的紙條都是以誰為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測量的？

生1：都是以粉紙條為標(biāo)準(zhǔn)。

師：在測量紙條的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：藍(lán)紙條和綠紙條都比作為標(biāo)準(zhǔn)的粉紙條要長。

生3：有幾個幾分之一就是幾分之幾。

師：分?jǐn)?shù)單位不斷累加就能度量出所有分母相同的不同分?jǐn)?shù)。這些數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來。以1為標(biāo)準(zhǔn)，仔細(xì)觀察這些分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：有的分?jǐn)?shù)比1大，有的分?jǐn)?shù)比1小。

3.多元表征豐富分?jǐn)?shù)內(nèi)涵——進(jìn)一步認(rèn)識假分?jǐn)?shù)

師（出示一個圓）：如果以這個圓作為標(biāo)準(zhǔn)，平均分成5份，每份是多少呢？

生1：[15] 。

師：其中的2份占這個圓的幾分之幾？3份呢？4份呢？5份呢？

生2：2份占圓的[25]，3份是[35]，4份是[45]，5份是[55]。

師：[55]里有幾個[15]？

生3：有5個[15]。

師：5個[15]是[55]，也就是1。你能接著往下數(shù)嗎？

生4：再往下數(shù)需要再添一個圓。

生5：6個[15]是[65]，7個[15]是[75]，8個[15]是[85]，9個[15]是[95]。

師：再加一個[15]就是幾呢？

生6：再加一個[15]就是[105]，也就是2。

師：你能給它們分分類嗎？

生7：分子比分母小的歸為一類，分子比分母大的歸為一類。

師：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。分子比分母大的或者分子和分母相同的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。

師：仔細(xì)看數(shù)軸，真分?jǐn)?shù)在哪里？假分?jǐn)?shù)呢？

生8：真分?jǐn)?shù)在1的左邊，假分?jǐn)?shù)在1的右邊，1也是假分?jǐn)?shù)。

師：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)有什么特點呢？

生9：真分?jǐn)?shù)比1小，假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

三、感悟：對數(shù)的概念一致性教學(xué)的反思

為什么學(xué)生對分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位的理解不似整數(shù)、小數(shù)般熟練？從蘇教版教材編排來看，分?jǐn)?shù)單位的地位和作用不夠凸顯，學(xué)生首次接觸分?jǐn)?shù)單位后，第二課時就進(jìn)入“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的實際問題”的學(xué)習(xí)中，對分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識缺少連續(xù)性和系統(tǒng)性，盡管在后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法時強(qiáng)調(diào)了“分?jǐn)?shù)單位相同時才能直接相加減”，但仍不如“分母相同，分子相加減”的口訣深入人心。久而久之，分?jǐn)?shù)單位的概念和作用逐漸被學(xué)生淡忘。

再從分?jǐn)?shù)的讀寫角度看，[45讀作]五分之四，從讀寫方式上也只強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù) “分”的屬性，即平均分成5份，取其中的4份，而不特別強(qiáng)調(diào)有4個[15]。

1.強(qiáng)調(diào)數(shù)的概念的一致性：計數(shù)單位的累加

建構(gòu)數(shù)的概念的前提是要理解數(shù)的建構(gòu)方式，所有的數(shù)都是通過計數(shù)單位的不斷累加而來。認(rèn)識整數(shù)時，我們先認(rèn)識了1（個），10根小棒捆成一捆，就是10（十），10個十是100（百）……強(qiáng)調(diào)十進(jìn)制。在教學(xué)分?jǐn)?shù)概念時，我們也要強(qiáng)調(diào)數(shù)的概念的一致性，將同樣的認(rèn)知方法遷移到認(rèn)識分?jǐn)?shù)中，按照計數(shù)單位累加的計數(shù)規(guī)則建構(gòu)分?jǐn)?shù)。將本課的核心確定為當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)1不能直接測量時，如何在標(biāo)準(zhǔn)中找到合適的分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行測量。學(xué)生在找、量、數(shù)的過程中感悟分?jǐn)?shù)單位的計數(shù)屬性，體會數(shù)的概念的一致性。

核心素養(yǎng)時代的課堂教學(xué)對教師提出了更高的要求，教師不能只做教材的“搬運工”，而應(yīng)將每一節(jié)課放到大單元、大領(lǐng)域中進(jìn)行整體布局，打通知識的前后脈絡(luò)。在單元復(fù)習(xí)中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生回憶整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位和計數(shù)方法，讓學(xué)生感知分?jǐn)?shù)的寫法雖然和整數(shù)、小數(shù)不一樣，但建構(gòu)規(guī)則是一樣的，都是基于相同計數(shù)單位的不斷累加。通過溝通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)的概念的一致性，感悟數(shù)的概念的本質(zhì)。

2.強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容的一致性：多元表征聚焦分?jǐn)?shù)本質(zhì)

除了教學(xué)常用中的折一折、比一比、分一分等操作活動，筆者還設(shè)計了數(shù)分?jǐn)?shù)的活動，學(xué)生在觀察、思考、猜測、驗證的活動中，逐步提煉出真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的概念，進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)。學(xué)生在不同形式、不同內(nèi)容、不同對象的數(shù)分?jǐn)?shù)中，感悟真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的概念及內(nèi)涵。對于分?jǐn)?shù)而言，這些不同的表示形式是具有共性的，即相同分?jǐn)?shù)的不同表示形式，不管是具體的實物還是抽象的圖形，都可以表示出幾分之一，進(jìn)而不斷累加得到不同的分?jǐn)?shù)，當(dāng)超過1時就產(chǎn)生了假分?jǐn)?shù)。

不同形式、不同大小的數(shù)都能在數(shù)軸上體現(xiàn)出來，數(shù)的概念的建立離不開數(shù)軸。筆者設(shè)計了兩個不同層次的觀察數(shù)軸的活動：第一次把度量紙條過程中產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)寫到數(shù)軸上，感悟分?jǐn)?shù)是通過相同計數(shù)單位的不斷累加得到的，它可以用來表示比1小的數(shù)，也可以表示比1大的數(shù)；第二次把圓片平均分并用分?jǐn)?shù)表示，將對應(yīng)的分?jǐn)?shù)寫到數(shù)軸上，學(xué)生通過數(shù)軸上不同分?jǐn)?shù)所在的位置就能理解真分?jǐn)?shù)都比1小，假分?jǐn)?shù)大于等于1。讓學(xué)生直觀感受到分?jǐn)?shù)也是數(shù)的一種，它具有和整數(shù)、小數(shù)相同性質(zhì)的表達(dá)方式和計數(shù)規(guī)則。學(xué)生在不同圖形、不同活動、不同手段的教學(xué)中感受數(shù)的一致性。

3.強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方法的一致性：逐步養(yǎng)成“三會”核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）。引導(dǎo)學(xué)生思考如何表示紙條的長度，當(dāng)不能再用以往經(jīng)驗解決問題時，啟發(fā)學(xué)生動手操作、觀察比較如何找到更合適的方式準(zhǔn)確表達(dá)測量對象的長度，并掌握數(shù)學(xué)結(jié)論和方法。

要培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的學(xué)生，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計能讓學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的活動，讓學(xué)生在自主探究、不斷思考、辨證反思的過程中發(fā)展素養(yǎng)，在探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程中感悟數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，感悟數(shù)學(xué)之美。

在以核心素養(yǎng)為教育導(dǎo)向的背景下，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)當(dāng)立足學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，注重課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，即對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，構(gòu)建發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性[J].課程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

[3] 葛麗霞.聚焦“一致性”? 落實新課標(biāo)：《分?jǐn)?shù)加減法》單元整體教學(xué)實踐[J].現(xiàn)代教育，2022（7）：50-54.

[4] 劉正松.“整體性”與“一致性”：核心知識教學(xué)的基本追求：兼評 “分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元系列課[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2022（4）：94-96.

[5] 趙莉，吳正憲，史寧中.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)的認(rèn)識與運算一致性的研究與實踐：以“數(shù)與運算”總復(fù)習(xí)為例[J].課程·教材·教法，2022（8）：122-129.

（責(zé)編 黃 露）