王春光 羅志江 張俊峰

（①廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006；重慶電子工程職業(yè)學(xué)院智能制造學(xué)院，重慶 401331）

RV 減速器具有傳動(dòng)比范圍大、傳動(dòng)精度高、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)平穩(wěn)和傳動(dòng)效率高等諸多優(yōu)點(diǎn)。作為工業(yè)機(jī)器人最為核心的部件之一，它一般安裝在工業(yè)機(jī)器人的底座、大臂等重負(fù)載區(qū)域。RV 減速器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，技術(shù)壁壘高，在復(fù)雜約束條件下，尤其是考慮齒廓修形的情況下，進(jìn)行RV 減速器結(jié)構(gòu)精確設(shè)計(jì)是一個(gè)迫切需要解決的問題。因此，開展RV 減速器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究，對(duì)于提高RV 減速器整機(jī)性能具有重要意義。

RV 減速器擺線輪齒廓修形直接影響RV 減速器的傳動(dòng)精度、承載能力和效率等傳動(dòng)性能[1-2]。為了提高RV 減速器的傳動(dòng)特性，擺線輪齒廓修形必須選擇合理的修形方法及嚴(yán)格控制修形量。陸龍生等結(jié)合傳統(tǒng)等距修形方法和移距修形方法，提出了一種基于優(yōu)化承載能力的RV 減速器擺線輪齒廓的新型等距-移距組合修形方法[3]。安宗文等為合理選擇修形方法及修形參數(shù)、改善擺線輪齒面的受力狀態(tài)，提出了一種以優(yōu)化承載能力為目標(biāo)、基于粒子群優(yōu)化算法的擺線輪齒廓等距-移距修形方法[4]。以上兩種方法的優(yōu)化變量只考慮了等距和移距修形量兩個(gè)變量，以承載能力為單一優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化變量和優(yōu)化目標(biāo)難以全面地體現(xiàn)RV 減速器的運(yùn)動(dòng)特性。

為了提高RV 減速器的使用性能，國內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)RV 減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究。劉江等對(duì)RV 減速器的傳動(dòng)精度進(jìn)行了可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用多目標(biāo)遺傳算法，以擺線針輪最大磨損和最低加工成本為目標(biāo)對(duì)擺線針輪及其他關(guān)鍵零件的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析[5]。Yang M D 等將改進(jìn)后的先進(jìn)均值法和Double-Loop 法相結(jié)合，建立了RV 減速器優(yōu)化模型，基于不同程度的可靠性，對(duì)減速器的體積進(jìn)行了優(yōu)化[6]。余永康等使用Romax Designer 軟件和遺傳算法對(duì)RV 減速器承載能力和傳動(dòng)誤差進(jìn)行了修行優(yōu)化[7]。王明楠等使用拓?fù)鋬?yōu)化的方法來對(duì)RV 減速器的針齒殼和行星架進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)，在保證強(qiáng)度足夠的情況下減輕了整機(jī)的質(zhì)量[8]。鄭勝予等基于NSGA-Ⅱ遺傳算法，以體積最小和可靠度最高為目標(biāo)對(duì)擺線針輪行星減速器進(jìn)行了優(yōu)化[9]。樓嘉彬等基于遺傳算法對(duì)RV 減速器擺線針輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行了可靠性優(yōu)化[10]。由上述研究可見，目前RV 減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要涉及體積、輕量化、可靠度、承載能力和傳動(dòng)精度等方面，而承載能力和傳動(dòng)效率是RV 減速器的核心指標(biāo)，把傳動(dòng)效率和承載能力有效結(jié)合起來進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化更有益于RV 減速器的精確設(shè)計(jì)。

本次以RV-40E 減速器為實(shí)例，以關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，考慮擺線輪齒廓修形影響，以擺線針輪最大嚙合力最小和整機(jī)傳動(dòng)效率最高為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，并結(jié)合TOPSIS 和CRITIC方法確定Pareto 解集中的最優(yōu)解，采用NSGA-Ⅱ遺傳算法和動(dòng)態(tài)仿真來進(jìn)行求解和輔助驗(yàn)證，力求提高整機(jī)的承載能力和傳動(dòng)效率。

1 RV 減速器結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

RV 減速機(jī)由一級(jí)行星齒輪機(jī)構(gòu)和二級(jí)擺線針輪減速機(jī)構(gòu)組成，一級(jí)減速機(jī)構(gòu)是由中心輪和行星輪構(gòu)成的行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，二級(jí)是由曲柄軸、擺線輪、針齒和行星架構(gòu)成的傳動(dòng)系統(tǒng)，其機(jī)構(gòu)簡圖如圖1 所示[11]，二級(jí)減速機(jī)構(gòu)的減速比遠(yuǎn)大于一級(jí)減速機(jī)構(gòu)[12]。

圖1 RV 減速器機(jī)構(gòu)簡圖

1.1 目標(biāo)函數(shù)

1.1.1 傳動(dòng)效率

RV 減速器整機(jī)傳動(dòng)效率為

式中：x取值為1 或-1[14]，當(dāng)時(shí)，x=1；當(dāng)時(shí)，取x=-1。RV 減速器傳動(dòng)比一般比較大，所以為原始機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)效率，。其中：；fz是指齒輪嚙合摩擦系數(shù)，一般取0.035[15]；n為行星輪的數(shù)目，本文以RV-40E 減速器為例，n取2。

式中：Kz=3-2K1，K1為短副系數(shù)。

將式（3）和式（4）代入式（1），可得：

因此RV 減速器傳動(dòng)效率目標(biāo)函數(shù)為

1.1.2 承載能力

針對(duì)RV 減速器承載能力的優(yōu)化，以減少針齒的最大承載能力為目標(biāo)[16]，擺線針輪的最大嚙合力Fmax是決定承載能力的主要因素。

計(jì)算擺線針輪的最大嚙合力的步驟如下。

（1）計(jì)算每個(gè)嚙合點(diǎn)處法向方向的初始間隙[17]。

式中：?rrp為等距修形量；?rp為移距修形量；?i為第i個(gè)針齒相對(duì)于轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角，即?i=360/(Zd+1)，當(dāng)?i=arccosK1時(shí)，此處的輪齒受力最大[18]。

（2）每個(gè)嚙合點(diǎn)處的法向總位移δi[19]。

式中：δmax為受力最大的一對(duì)齒的總變形量[19]；wmax為接觸變形；fmax為針銷彎曲變形。

式中：B的取值，二支點(diǎn)針齒銷為31/64，三支點(diǎn)針齒銷為7/128[20]；L為針齒銷的長度，值為L=2b；E為彈性模量，取E=2.06×105MPa[21]；u為泊松比，取u=0.3[22]；Fmax為受力最大一對(duì)齒的嚙合力。其中 ρc的公式為[23]

（3）計(jì)算同時(shí)嚙合的齒數(shù)。

將 ??i和 δi進(jìn)行比較。滿足公式（12）的輪齒都進(jìn)入嚙合狀態(tài)。

（4）擺線針輪的最大嚙合力計(jì)算[24]。

式中：T為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；為擺線輪節(jié)圓半徑,；n,m表示第n個(gè)齒到第m個(gè)齒是同時(shí)嚙合的；li為第i個(gè)針齒的力臂，公式如下[26]。

求Fmax需要先求δmax，而求δmax需要計(jì)算Fmax，因此需要賦予最大嚙合力初始值。變量參數(shù)每一次迭代更新，都需重復(fù)一次最大嚙合力計(jì)算過程，直到設(shè)置的最大迭代次數(shù)為止。

擺線針輪嚙合力初始值F0為[27]

因此RV 減速器承載能力優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

綜上所述，可以得出RV 減速器多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

1.2 設(shè)計(jì)參數(shù)

針對(duì)RV 減速器傳動(dòng)效率和承載能力的優(yōu)化，除需考慮擺線修形涉及的參數(shù)之外，還需要考慮其他有關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)。從傳動(dòng)效率公式（5）和最大嚙合力計(jì)算公式（13）來看，與優(yōu)化目標(biāo)相關(guān)的設(shè)計(jì)參數(shù)包括：短幅系數(shù)K1、太陽輪齒數(shù)Zs、針齒半徑rrp、擺線輪厚度b、移距修形量?rp、等距修形量?rrp、擺線輪齒數(shù)Zd和針齒中心圓半徑rp。

將參數(shù)表示為如下向量形式：

1.3 約束條件的建立

（1）針輪中心圓半徑rp。

為了防止優(yōu)化過程中RV 減速器的體積變化太大，需要對(duì)rp進(jìn)行約束[28]。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式rp=，可得約束條件為

（2）擺線針輪嚙合不頂切。

為了使擺線針輪齒廓不發(fā)生尖角和頂切，擺線輪理論齒廓曲率半徑系數(shù)的最小值amin必須大于針齒套半徑與針輪中心圓半徑的比值[3]，即amin>rtp/rp，而amin=(1+K1)2/(1+K1+K1Zd)，因此約束條件為

式中：rtp為針齒套半徑，因?yàn)镽V-40E 針齒套半徑較小，所以和針齒做成一體，即rtp≈rrp。

（3）針徑系數(shù)K2。

K2影響了針齒分布的疏密程度，本文以RV-40E 減速器為例，針輪齒數(shù)在40 左右，所以K2比較合理的取值范圍為1.1～1.8[29]。

則針徑系數(shù)K2的約束條件為

（4）短副系數(shù)K1。

短副系數(shù)K1影響擺線輪的齒廓曲線和承載能力、減速器傳動(dòng)的性能以及是否會(huì)發(fā)生頂切。RV-40E減速器的擺線輪齒數(shù)一般在25～59，因此K1的合理取值在0.65～0.9[30]。得到短副系數(shù)K1的約束條件為

（5）擺線輪厚度。

擺線輪厚度b一般按照（0.1～0.2）rp來取值[31]，因此擺線輪厚度的約束條件為

（6）最大接觸應(yīng)力。

由赫茲接觸理論可得[32]：

式中：Ee為當(dāng)量彈性模量，由于擺線針輪的彈性模量一樣，Ee=E=2.06×105MPa；擺線針輪的材料是GCr15，σHP一般取1 300～1 500 MPa 比較適宜[33]。

（7）等距和移距修形量。

為了防止等距修形量過大而導(dǎo)致降低RV 減速器的傳動(dòng)精度和同時(shí)嚙合齒數(shù)，需要對(duì)等距和移距修形量進(jìn)行約束[21]。

2 基于TOPSIS 和CRITIC 相結(jié)合的多目標(biāo)決策

CRITIC 權(quán)重法是基于判斷指標(biāo)間的變異性和沖突性的綜合衡量來進(jìn)行權(quán)重賦予，這符合RV 減速器承載能力和傳動(dòng)效率之間相互矛盾的性質(zhì)。TOPSIS 法是通過歐式距離評(píng)判各方案的優(yōu)劣[34]。將TOPSIS 法和CRITIC 法相結(jié)合可以避免TOPSIS法權(quán)重一致性問題，最終得到的結(jié)果也更為客觀和符合RV 減速器實(shí)際情況。

設(shè)有n個(gè)評(píng)判對(duì)象，即Pareto 前沿分布圖中的點(diǎn)數(shù)和m個(gè)判斷指標(biāo)，即優(yōu)化目標(biāo)個(gè)數(shù)，通過兩者可構(gòu)造一個(gè)判斷矩陣M：

式中：vij為第i個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象第j個(gè)判斷指標(biāo)。為了進(jìn)行后續(xù)的處理，將極大型數(shù)據(jù)（極值越大越佳）和極小型數(shù)據(jù)（極值越小越佳），將這兩種數(shù)據(jù)進(jìn)行正向化處理，正向化的公式如下[35]。

極大值數(shù)據(jù)正向化：

極小值數(shù)據(jù)正向化：

為了消除判斷指標(biāo)之間不同量綱的影響，需要對(duì)正向化后的矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即用正向化矩陣中的每一個(gè)元素除以其所在列的元素的平方和的開平方，公式如下：

實(shí)際中需要判斷指標(biāo)應(yīng)有的權(quán)重，因此需要對(duì)權(quán)重進(jìn)行重新賦予。其中變異性和沖突性分別以標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)的形式來表現(xiàn)。

沖突性系數(shù)Rj公式如下所示[36]，其中Cij為判斷指標(biāo)j和評(píng)判對(duì)象i之間的相關(guān)系數(shù)。

權(quán)重Wj見式（38）[36]，顯然越大，判斷指標(biāo)分配的權(quán)重也就越大，說明第j個(gè)指標(biāo)在整個(gè)系統(tǒng)中的重要性越大。

對(duì)象評(píng)價(jià)得分計(jì)算公式如下：

評(píng)價(jià)得分最大的對(duì)象即為最優(yōu)解。結(jié)合TOPSIS 和CRITIC 權(quán)重法來對(duì)RV 減速器的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果來進(jìn)行多目標(biāo)決策，可以客觀地從Pareto最優(yōu)解集中選出最優(yōu)解。

3 實(shí)例優(yōu)化

以廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域的RV-40E 減速器為例，傳動(dòng)比121，輸出轉(zhuǎn)矩T1=307 000 N·mm，輸入轉(zhuǎn)速n0=40×121 r/min，輸入轉(zhuǎn)矩T0=2 918.66 N·mm。使用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行計(jì)算，設(shè)置初始種群大小為200，迭代次數(shù)為1 200，變異率為0.1，交叉率為0.9。

3.1 齒廓修形對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響

當(dāng)齒廓修形作為變量時(shí)，仿真計(jì)算得到Pareto前沿分布如圖2 所示，橫坐標(biāo)是目標(biāo)函數(shù)minf1(x)，即1 減去RV 減速器傳動(dòng)效率，縱坐標(biāo)是minf2(x)，即擺線針輪的最大嚙合力Fmax。

圖2 Pareto 前沿分布

由圖2 可知，齒廓修形對(duì)RV 減速器的傳動(dòng)效率影響較小，對(duì)擺線針輪嚙合力影響較大。

當(dāng)采用正等距或者負(fù)移距時(shí)，齒廓修形對(duì)嚙合力的影響如圖3 所示。

圖3 等距修形或移距修形對(duì)嚙合力的影響

由圖3 可知：

（1）相同的修形量情況下，負(fù)移距修形對(duì)嚙合力的影響比正等距修形顯著。

（2）圖中兩曲線的每一個(gè)拐點(diǎn)代表了同時(shí)嚙合齒數(shù)的變化節(jié)點(diǎn)，即圖中H區(qū)間的同時(shí)嚙合齒數(shù)是相同的。隨著修形量增大，H區(qū)間不斷增大，修形對(duì)嚙合力的影響也逐漸減小。

當(dāng)采用“移距–等距”時(shí)，齒廓修形對(duì)嚙合力的影響如圖4 所示。

圖4 “移距–等距”修形對(duì)嚙合力的影響

由圖4 可知：

（1）圖中的拐點(diǎn)均代表同時(shí)嚙合齒數(shù)的變化節(jié)點(diǎn)，在相同嚙合力的情況下，隨著等距修形量變化，曲線的拐點(diǎn)向著負(fù)移距修形量減小的方向平移。即等距修形可以提高移距修形對(duì)擺線針輪最大嚙合力的影響程度。因此，采用等距–移距的組合修形方法對(duì)優(yōu)化效果的影響更為顯著，能以更小的修形量來降低嚙合力。

（2）“負(fù)移距–負(fù)等距”和“正移距–正等距”可以找到嚙合力的最低點(diǎn)，即每條曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，此時(shí)的輪廓接近擺線輪理想齒廓，嚙合齒數(shù)接近一半。

（3）“負(fù)移距–正等距”或“正移距–負(fù)等距”修形的修形量對(duì)嚙合力的影響相對(duì)于“負(fù)移距–負(fù)等距”和“正移距–正等距”較為平緩，齒廓修形設(shè)計(jì)更為容易。

3.2 最優(yōu)化結(jié)果分析

RV 減速器的體積計(jì)算公式如下[37]：

式中：ba為行星輪厚度；Za為行星輪齒數(shù)；?1為擺線輪之間的間隔。

在最優(yōu)解范圍內(nèi)，體積、傳動(dòng)效率和擺線針輪最大嚙合力的變化情況如圖5 所示。

圖5 體積、傳動(dòng)效率和最大嚙合力變化

可見隨著擺線針輪嚙合力的減小，減速器的體積也具有減小的趨勢，傳動(dòng)效率也會(huì)逐漸降低。當(dāng)傳動(dòng)效率提高至88 %左右時(shí)，擺線針輪嚙合力和整機(jī)體積上升得很快。

根據(jù)前述基于TOPSIS 和CRITIC 相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法可得到最優(yōu)解為minf1(x)=0.1211，minf2(x)=570.1608。優(yōu)化參數(shù)圓整后可得最優(yōu)解為minf1(x)=0.1211，minf2(x)=572.3657。通過獲取最優(yōu)解相對(duì)應(yīng)的各參數(shù)值，可得優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比，見表1。

表1 優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比表

由表1 可清晰得到，經(jīng)過多目標(biāo)優(yōu)化后，RV減速器的傳動(dòng)效率提高了0.96%，擺線針輪傳動(dòng)的最大嚙合力減小了321.927 N，同時(shí)嚙合的齒數(shù)也從5 個(gè)齒增加到了9 個(gè)齒。

由表1 可以看出，原始實(shí)例采用的是正等距–正移距相結(jié)合的修形，而優(yōu)化后采用的是正等距–負(fù)移距相結(jié)合的修形方式，與圖4 得到了分析結(jié)論相符合。

4 動(dòng)態(tài)仿真分析

4.1 參數(shù)化建模

擺線輪齒廓通用擺線輪齒廓方程為[38]

使用NX 軟件得到圖6 所示優(yōu)化后的RV40 減速器傳動(dòng)部分三維模型裝配圖。

圖6 RV40 減速器傳動(dòng)部分三維模型裝配圖

4.2 動(dòng)態(tài)仿真分析

行星架質(zhì)心角速度如圖7 所示，可見行星架質(zhì)心角速度在240°/s 上下波動(dòng)，即輸出轉(zhuǎn)速n1=40 r/min，由上述已知輸入轉(zhuǎn)速n0為40×121 r/min，可得仿真模型的傳動(dòng)比為121，驗(yàn)證了RV 減速器的三維模型的正確性。

圖7 行星架質(zhì)心角速度

RV-40E 減速器優(yōu)化前后擺線針輪嚙合力變化如圖8 所示，擺線輪的角速度為40 r/min，即1.5 s旋轉(zhuǎn)一圈?？梢钥闯鰞?yōu)化前擺線針輪最大嚙合力接近900 N，優(yōu)化后擺線針輪最大嚙合力為570 N 左右，驗(yàn)證了采用NSGA-Ⅱ遺傳算法，以擺線針輪的最大嚙合力Fmax最小和整機(jī)傳動(dòng)效率 η最高來進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化是可行的。

圖8 優(yōu)化前后擺線針輪嚙合力仿真結(jié)果

行星架和擺線輪質(zhì)心角加速度優(yōu)化前后變化如圖9 所示，曲線波動(dòng)的幅值越大，能量損失越大。由圖9 可以看出，優(yōu)化后的行星架和擺線輪的質(zhì)心角加速度曲線波動(dòng)更小，整機(jī)的傳動(dòng)也更為平穩(wěn)。

中心輪和行星輪質(zhì)心角加速度優(yōu)化前后變化如圖10 所示，優(yōu)化后的中心輪和行星輪的角加速度上下波動(dòng)的幅值更小，嚙合傳動(dòng)時(shí)的振動(dòng)也會(huì)比優(yōu)化前減小。

圖10 優(yōu)化前后中心輪和行星輪質(zhì)心角加速度

5 結(jié)語

（1）提出一種基于承載能力和傳動(dòng)效率優(yōu)化的RV 減速器擺線輪齒廓“負(fù)移距–正等距”或“正移距–負(fù)等距”的組合修形方法。建立了以承載能力和傳動(dòng)效率為優(yōu)化目標(biāo)的RV 減速器數(shù)學(xué)模型，使用NSGA-Ⅱ遺傳算法以及TOPSIS 和CRITIC相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法求解得到了最佳優(yōu)化方案。

（2）采用等距–移距的組合修形方法對(duì)優(yōu)化效果的影響更為顯著，能以更小的修形量來降低嚙合力。

（3）“負(fù)移距–正等距”或“正移距–負(fù)等距”的修形量對(duì)嚙合力的影響相對(duì)于“負(fù)移距–負(fù)等距”和“正移距–正等距”較為平緩，齒廓修形設(shè)計(jì)更為容易。

（4）使用NX 軟件對(duì)RV 減速器進(jìn)行參數(shù)化建模和動(dòng)態(tài)仿真分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)擺線針輪最大嚙合力的仿真結(jié)果與理論值基本吻合。通過分析優(yōu)化前后行星架、擺線輪、中心輪和行星輪的角加速度發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后整機(jī)的傳動(dòng)更為平穩(wěn)，動(dòng)態(tài)性能得到了提升。