甘肅省張掖市民樂(lè)縣教育局 王麗娟

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，研究對(duì)象是客觀世界中的各類(lèi)事物的量。事物的量有兩種表現(xiàn)形式，分別是“數(shù)”和“形”。數(shù)形結(jié)合思想是“數(shù)”與“形”關(guān)系的彰顯，是數(shù)學(xué)思想的重要構(gòu)成，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有力支撐。因此，教師要立足數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，結(jié)合“數(shù)”與“形”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。

所謂數(shù)形結(jié)合思想，是以“數(shù)”“形”關(guān)系為基礎(chǔ)，以“數(shù)”“形”之間的相互轉(zhuǎn)化為重點(diǎn)，化難為易，解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想。滲透數(shù)形結(jié)合思想于數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以使學(xué)生充分發(fā)揮形象和抽象思維作用，借助數(shù)量關(guān)系與幾何性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)相關(guān)能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。學(xué)生可以因此獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“工具”并靈活應(yīng)用，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

眾所周知，數(shù)學(xué)的基本課型有三種，即新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課。這三種課型是滲透數(shù)形結(jié)合思想的落腳點(diǎn)。在新授課上滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程，做到知其然知其所以然，扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)獲取數(shù)形結(jié)合法，積累新知探究經(jīng)驗(yàn)，有利于自主應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法探究數(shù)學(xué)新知，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。對(duì)此，在教學(xué)時(shí)，教師可以以三種課型為立足點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，滲透數(shù)形結(jié)合思想，助力學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，實(shí)現(xiàn)學(xué)有所獲。

一、在新授課中滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等是新授課的基礎(chǔ)內(nèi)容。在新授課上，學(xué)生不僅要掌握知識(shí)結(jié)論，還要了解其實(shí)質(zhì)及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容具有抽象性，是數(shù)學(xué)家借助圖形直觀總結(jié)出的內(nèi)容。對(duì)此，在新授課上，教師可以以數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等基礎(chǔ)內(nèi)容為立足點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖形分析、討論，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，由此發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知，同時(shí)積累數(shù)形結(jié)合經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)習(xí)效果。

例如，在“探索勾股定理”教學(xué)時(shí)，學(xué)生需要探究勾股定理及其逆定理，需要將直角三角形的“形”與斜邊、直角邊的數(shù)量關(guān)系中的“數(shù)”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。此探究過(guò)程恰好體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。因此，教師需緊扣勾股定理及逆定理的探究過(guò)程，滲透數(shù)形結(jié)合思想。具體而言，在引導(dǎo)學(xué)生探究勾股定理時(shí)，教師可以用生動(dòng)的語(yǔ)言講述數(shù)學(xué)故事——畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客發(fā)現(xiàn)了地磚圖案規(guī)律，并借此創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，吸引學(xué)生的注意力。結(jié)合故事內(nèi)容，教師在交互式電子白板上呈現(xiàn)圖像，如圖（一）所示：

并向?qū)W生提出問(wèn)題：“一個(gè)小格子為一個(gè)單位，我們用‘1’代表，現(xiàn)在我們準(zhǔn)備邊長(zhǎng)分別為a、b、c 三個(gè)正方形，并按圖一這樣擺放好。大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，將三個(gè)正方形的邊的交點(diǎn)連起來(lái)，正好是一個(gè)直角三角形。大家想一想，這個(gè)直角三角形的三條邊和正方形的邊有什么關(guān)系？和正方形面積之間有什么關(guān)系？”在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生們產(chǎn)生了濃厚的探究興趣，積極發(fā)揮形象思維，細(xì)心觀察圖像，并認(rèn)真數(shù)格子。學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)：“邊長(zhǎng)為a 的正方形面積為a2（9 個(gè)單位），同理，其他兩個(gè)正方形的面積分別為b2（16 個(gè)單位）和c2（25 個(gè)單位）”。說(shuō)完之后，該名學(xué)生恍然大悟，兩個(gè)小正方的面積加起來(lái)正好等于大正方的面積。這時(shí)，另一名學(xué)生補(bǔ)充：“直角三角形的三條邊分別為a、b、c，正如剛才那名同學(xué)說(shuō)的a2+b2=c2，也就是說(shuō)，直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。”

圖一

在此觀察、發(fā)現(xiàn)、探究的過(guò)程中，學(xué)生們積極地與圖像“互動(dòng)”，將直角三角形的三邊關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了正方形的面積數(shù)量關(guān)系問(wèn)題。如此轉(zhuǎn)化，學(xué)生不僅能夠直觀地得出和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，還感受到了數(shù)形結(jié)合的魅力，同時(shí)也為探究其他直角三角形的性質(zhì)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

在學(xué)生結(jié)合圖案發(fā)揮想象，得出直角三角形的三邊關(guān)系之后，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生的探究情況，立足圖像，詳細(xì)介紹勾股定理。學(xué)生在傾聽(tīng)之際，認(rèn)真觀察，再次經(jīng)歷轉(zhuǎn)化過(guò)程，總結(jié)出勾股定理：“假設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c 時(shí)，則a2+b2=c2?！敝?，教師還應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生一起探討等腰直角三角形的三邊關(guān)系。

由此可見(jiàn)，在新授課上滲透數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以使學(xué)生們經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，自主轉(zhuǎn)化“數(shù)”與“形”，借助直觀的“形”，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知，還可以使學(xué)生們順其自然地積累數(shù)形結(jié)合經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合認(rèn)知，有利于學(xué)生自主應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想探究其他數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效果，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、在習(xí)題課中滲透數(shù)形結(jié)合思想

習(xí)題課是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的途徑。數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)為“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。在習(xí)題課上，教師需要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)相關(guān)題目，并以此為基礎(chǔ)，組織“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“數(shù)”“形”互轉(zhuǎn)。

（一）以形助數(shù)

以形助數(shù)是借助“形”的直觀性，探索、說(shuō)明抽象的“數(shù)”或“數(shù)”之間的關(guān)系。初中生的形象思維較為發(fā)達(dá)。在習(xí)題課上，教師可以組織“以數(shù)助形”活動(dòng)，使學(xué)生獲得運(yùn)用形象思維機(jī)會(huì)。在體驗(yàn)活動(dòng)中，學(xué)生發(fā)揮形象思維繪制數(shù)軸、線段圖等，直觀地展現(xiàn)“數(shù)”，由此發(fā)現(xiàn)“數(shù)”之間的關(guān)系，獲得問(wèn)題答案，順利地解決問(wèn)題。

例如，在“數(shù)軸”教學(xué)時(shí)，在學(xué)生了解了“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)”這一內(nèi)容后，教師呈現(xiàn)相關(guān)習(xí)題，如下所示：

實(shí)數(shù)a 和b 的位置如圖（二）所示。根據(jù)圖示，可以確定下面哪一個(gè)結(jié)論是正確的？（ ）

在呈現(xiàn)習(xí)題后，教師給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間。在思考的過(guò)程中，大部分學(xué)生通過(guò)觀察數(shù)軸遷移課堂所學(xué)，確定a、b 在具體位置，并嘗試?yán)L制數(shù)軸，確定-a、-b 的具體位置。此時(shí)，學(xué)生觀察數(shù)軸、細(xì)心比較，得出結(jié)論：a ＞-b。

由此可見(jiàn)，通過(guò)體驗(yàn)“以形助數(shù)”活動(dòng)，學(xué)生不僅可以將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為直觀的“形”，借此了解“數(shù)”之間的關(guān)系，輕松地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，深刻理解所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，有利于增強(qiáng)課堂學(xué)習(xí)效果。

（二）以數(shù)解形

以數(shù)解形指借助數(shù)式的精確化特征刻畫(huà)圖像的某些屬性。在體驗(yàn)“以數(shù)解形”活動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)站在“數(shù)”的角度審視直觀的圖像，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，由此利用“數(shù)”解決問(wèn)題。對(duì)此，在習(xí)題課堂上，教師可以依據(jù)學(xué)生學(xué)情，緊扣“數(shù)”“形”關(guān)系設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題，如形數(shù)規(guī)律問(wèn)題、函數(shù)圖像與幾何圖形問(wèn)題等，使學(xué)生獲得“以數(shù)解形”機(jī)會(huì)。

例如，“形數(shù)”問(wèn)題是幾何學(xué)與算術(shù)之間的“橋梁”。基于此，在課堂上，教師可以為學(xué)生呈現(xiàn)了如下問(wèn)題：

用棋子擺出圖案，如圖（三）所示。請(qǐng)觀察圖案，發(fā)現(xiàn)棋子的擺放規(guī)律，并試著用此規(guī)律，繼續(xù)擺放棋子。請(qǐng)問(wèn)，第n 個(gè)圖形所使用的棋子個(gè)數(shù)是多少？

圖三

面對(duì)此問(wèn)題，學(xué)生認(rèn)真觀察圖案。在觀察之際，不少學(xué)生試著從不同角度進(jìn)行數(shù)數(shù)，由此了解每個(gè)圖案中的棋子個(gè)數(shù)。如：“第一個(gè)圖案中使用棋子個(gè)數(shù)為：3+3=6；第二個(gè)圖案中使用的棋子個(gè)數(shù)為：3×2+3=9；第三個(gè)圖案中使用的棋子個(gè)數(shù)為：3×3+3。”學(xué)生對(duì)此進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論：“第n 個(gè)圖案所使用的棋子數(shù)為：3n+3”。

由此可見(jiàn)，通過(guò)體驗(yàn)“以數(shù)解形”活動(dòng)，學(xué)生靈活地應(yīng)用了“數(shù)”與“形”關(guān)系，利用“數(shù)”表示“形”實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化。尤其，在“數(shù)”的作用下，學(xué)生輕松地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到問(wèn)題結(jié)果。如此，學(xué)生不僅輕松地解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題，扎實(shí)掌握數(shù)形結(jié)合思想，還自然而然地提升了自身的數(shù)形互換能力、數(shù)學(xué)思維能力，有利于提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

三、在復(fù)習(xí)課中滲透數(shù)形結(jié)合思想

復(fù)習(xí)課的目的之一是引導(dǎo)學(xué)生回顧、總結(jié)所學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生回顧、總結(jié)所學(xué)的方式有很多，如解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立圖表等，這些方式正是數(shù)形結(jié)合思想的承載。例如，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，教師可以展現(xiàn)圖像，引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)。因此，在復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)，教師可以聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容，選用適宜的方式組織復(fù)習(xí)活動(dòng)，順其自然地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

（一）在解決問(wèn)題中滲透數(shù)形結(jié)合思想

解決問(wèn)題是學(xué)生復(fù)習(xí)所學(xué)的方式之一。在復(fù)習(xí)課上，教師可以立足復(fù)習(xí)內(nèi)容，呈現(xiàn)“形”或“數(shù)”，對(duì)此提出相關(guān)問(wèn)題。在問(wèn)題的作用下，學(xué)生會(huì)自覺(jué)地與“數(shù)”或“形”互動(dòng)，開(kāi)動(dòng)思維，回顧所學(xué)，解決問(wèn)題，借此鞏固所學(xué)，同時(shí)培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)復(fù)習(xí)效果。

以“一次函數(shù)”教學(xué)為例，在學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)后，教師可以組織復(fù)習(xí)活動(dòng)。在活動(dòng)中，教師向?qū)W生呈現(xiàn)一次函數(shù)圖像，提出問(wèn)題：“請(qǐng)大家回顧一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，試著結(jié)合函數(shù)圖像，回答問(wèn)題。問(wèn)題一：在這個(gè)一次函數(shù)圖像中，k1和b1的取值范圍各是多少？K2和b2的取值范圍是多少？問(wèn)題二：假設(shè)，A 的坐標(biāo)為（-2，0），B 的坐標(biāo)為（-4，0），C 的坐標(biāo)為（1，0）。則，關(guān)于x 的不等式k1x+b1＞0 的解集是多少？關(guān)于x 的不等式k2+b2＞0 的解集是多少？”

在問(wèn)題的作用下，學(xué)生進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，聯(lián)想一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并對(duì)此觀察一次函數(shù)圖像，嘗試用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題。在學(xué)生解決問(wèn)題后，教師隨機(jī)選擇學(xué)生代表，鼓勵(lì)其展示問(wèn)題答案，介紹一次函數(shù)的性質(zhì)。教師則把握時(shí)機(jī)，補(bǔ)充一次函數(shù)的性質(zhì)。

這種方式的復(fù)習(xí)，不但使學(xué)生解決了問(wèn)題，鞏固了課堂所學(xué)，還使學(xué)生結(jié)合“數(shù)”與“形”內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想，提升問(wèn)題解決能力。

（二）在制作圖表中滲透數(shù)形結(jié)合思想

制作圖表是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要方式。實(shí)際上，制作圖表的過(guò)程正是學(xué)生結(jié)合“數(shù)”“形”的過(guò)程。在此過(guò)程中，學(xué)生可以借助“數(shù)”“形”梳理課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，建構(gòu)完善的認(rèn)知識(shí)知，同時(shí)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)復(fù)習(xí)效果。對(duì)此，在復(fù)習(xí)課上，教師可以提出制作圖表任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生結(jié)合“數(shù)”“形”。

以“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例，學(xué)生在課堂上體驗(yàn)操作活動(dòng)，借助圓形模型、直尺等工具，總結(jié)出了直線和圓的位置關(guān)系。事實(shí)上，操作活動(dòng)即蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想?；趯W(xué)生的學(xué)習(xí)所得，教師設(shè)置如下任務(wù)：“請(qǐng)大家回顧課堂學(xué)習(xí)過(guò)程，將操作活動(dòng)轉(zhuǎn)化為圖像，直觀展現(xiàn)直線和圓的位置關(guān)系，歸納結(jié)論?！痹谌蝿?wù)的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生積極思考，在腦海中描繪具體畫(huà)面，并將腦海中的畫(huà)面轉(zhuǎn)化為具體圖像，如圖（四）所示，繼而進(jìn)行測(cè)量、獲得數(shù)據(jù)、歸納結(jié)論。

圖四

在學(xué)生建立圖表后，教師需鼓勵(lì)他們毛遂自薦，展示自己的圖表內(nèi)容。與此同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生代表結(jié)合圖表，操作交互式電子白板，動(dòng)態(tài)、直觀地展現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系，詳細(xì)講述，幫助其他學(xué)生完善認(rèn)知，做到知其然知其所以然，扎實(shí)掌握課堂所學(xué)。比如，有學(xué)生說(shuō)：“當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。”在講述之際，其操作交互式電子白板，用直觀現(xiàn)象進(jìn)行驗(yàn)證。

由此可見(jiàn)，通過(guò)制作圖表，學(xué)生可以經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合過(guò)程，切實(shí)鞏固課堂所學(xué)，內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想，提高數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量。

四、結(jié)語(yǔ)

總而言之，有效滲透數(shù)形結(jié)合思想于數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)助力，走進(jìn)新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課，發(fā)揮自主性，靈活地轉(zhuǎn)化“數(shù)”與“形”，借此掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果。鑒于此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師要立足數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，把握“數(shù)”與“形”關(guān)系，將數(shù)形結(jié)合思想作為“工具”，應(yīng)用多樣策略，滲透于新授課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課，為學(xué)生提供“數(shù)”“形”互換機(jī)會(huì)，使他們借此探究數(shù)學(xué)規(guī)律，自主探究數(shù)學(xué)結(jié)論，并靈活應(yīng)用解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，梳理、總結(jié)所學(xué)，扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)學(xué)有所得，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。