姚錦寶,董隆華

(1.智能交通技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100088;2.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,北京 100044)

環(huán)境振動已經(jīng)成為社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題,除施工及工業(yè)生產(chǎn)外,交通引發(fā)的環(huán)境振動問題對周圍居民生活造成的影響最為嚴(yán)重。環(huán)境振動大多通過土體進(jìn)行傳播,因此研究移動荷載下土體振動響應(yīng)對于交通所引起的環(huán)境振動問題十分具有指導(dǎo)意義[1]。

土體組成十分復(fù)雜,土壤性質(zhì)差異極大,對波在土體中的傳播精確模擬非常困難。Eason[2]采用積分變換方法求解了彈性波動方程解析解,研究了移動點(diǎn)荷載在3維勻質(zhì)彈性半空間土體表面上的動力響應(yīng)問題;Lefeuve-Mesgouez等[3]采用Foueier變換求解了垂直移動簡諧荷載作用在2維彈性半空間上的振動傳遞問題,給出了不同速度和振動頻率下地表位移響應(yīng)的數(shù)值結(jié)果;Andersen等[4]在局部坐標(biāo)系下推導(dǎo)了在移動簡諧荷載作用下彈性介質(zhì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的3維邊界元公式,求解出移動坐標(biāo)系中位移和表面應(yīng)力的時域基本解;Galvín等[5]采用3維時域邊界元法分析了高速移動荷載下彈性土體振動,可用于實(shí)際分析高速列車所產(chǎn)生的振動。

對于飽和土,Biot等[6-7]首先提出了孔隙流體填充土骨架的兩相介質(zhì)彈性動力學(xué)理論,對固-液兩相介質(zhì)的慣性耦合、黏性耦合、彈性耦合進(jìn)行了詳細(xì)闡釋;Theodorakopoulos等[8]利用Fourier級數(shù)展開法,考慮流-固耦合作用,對平面應(yīng)變條件下矩形荷載作用在飽和土體上的振動問題進(jìn)行了研究;Lu等[9]利用亥姆霍茲分解法推導(dǎo)了飽和半空間在移動點(diǎn)荷載作用下的動力響應(yīng)的解析解;高廣運(yùn)等[10-11]基于Biot多孔飽和介質(zhì)波動方程,推導(dǎo)了u-p格式和u-w格式的2.5維有限元方程,討論了動力滲透系數(shù)、孔隙率、土骨架密度和剪切波速等參數(shù)對地面振動傳播與衰減的影響規(guī)律。

當(dāng)?shù)叵滤话l(fā)生變化,土體性質(zhì)也會隨之發(fā)生改變[12-13]。地下水會使土體出現(xiàn)分層,導(dǎo)致振動波的反射和折射,會影響土體的固有頻率,土體中的動力響應(yīng)規(guī)律也會發(fā)生變化[14-15]。本文將地下水位以上的土層假設(shè)為彈性介質(zhì),通過Biot多孔介質(zhì)方程的退化形式,來描述波在彈性介質(zhì)中的運(yùn)動;水位以下采用多孔飽和介質(zhì)進(jìn)行模擬,推導(dǎo)了彈性層與飽和半空間的傳遞矩陣,得到了上覆彈性層飽和半空間地表位移表達(dá)式。在波數(shù)內(nèi)研究了不同水位下土體中波的組成,在空間域內(nèi)分析了水位變化對于地面豎向位移的影響。

1 基本方程

多孔飽和介質(zhì)物理方程如下

σij=λδijθ+2μεij-αδijp

(1)

p=-αMθ+Me

(2)

式中：ui,wi(i=1,2,3)分別為固體土骨架位移以及流體相對于固體土骨架的位移;p為孔隙水壓力;σij,εij分別為土體總應(yīng)力應(yīng)變分量;δij為Kronecker函數(shù);e,θ分別為單位體積內(nèi)土骨架的體積應(yīng)變和流體體積應(yīng)變,e=divw,θ=divu;λ和μ為Lame常數(shù);α和M為飽和孔隙介質(zhì)壓縮有關(guān)的Biot參數(shù)。

Biot飽和多孔介質(zhì)方程相對位移形式為

μui,jj+(λ+α2M+μ)uj,ji+αMwj,ji=

(3)

(4)

式中：ρ,ρf分別為飽和土體和液體密度;ρ=(1-n)ρs+nρf,ρs為土骨架密度,n為孔隙率;m=a∞ρf/f,a∞為孔隙介質(zhì)彎曲系數(shù);b=η/k,為反應(yīng)黏性耦合的系數(shù),η,k分別為孔隙介質(zhì)黏性系數(shù)孔隙介質(zhì)的動力滲透系數(shù);K(t)為與時間相關(guān)的黏性因子;位移上方的點(diǎn)為對時間的導(dǎo)數(shù);符號“*”為兩個變量的卷積。

對Biot控制方程進(jìn)行求解,將方程從時域-空間域變換到頻域-波數(shù)域,變換規(guī)則如下

(5)

(6)

式中：“＾”為t到ω的傅里葉變換;“-”,“～”分別為x到ξ和y到η的傅里葉變換。

按式(5)的規(guī)則,對式(2)和式(4)進(jìn)行變換,則可得到液體相對位移和孔隙水壓力之間關(guān)系

(7)

式中,?=ρfω2/[mω2-ibK(ω)ω]

按式(5)的規(guī)則,對式(2)和式(3)進(jìn)行變換,結(jié)合式(7)可得

(8)

對式(3)兩邊求散度可得

(9)

將式(8)代入式(9)可得

(10)

其中

β1=

按式(6),對式(10)進(jìn)行傅里葉變換,求解可得

(11)

其中

式中,ιi(i=1,2)分別為飽和土體中的第一、二類膨脹波復(fù)波數(shù),應(yīng)滿足Re(γj)>0(j=1,2)。通過式(11)可得

B2e-γ2z)-?(A4eγ3z+B4e-γ3z)

(12)

B2e-γ2z)+iA3eγ3z+iB3e-γ3z

(13)

B2e-γ2z)+A4eγ3z+B4e-γ3z

(14)

η(A3eγ3z+B3e-γ3z)-γ3(A4eγ3z-B4e-γ3z)

(15)

S為與飽和土體剪切波有關(guān)的復(fù)波數(shù),滿足Re(γ3)>0。Ai和Bi為與ξ,η,ω相關(guān)的任意函數(shù),i=1,2,3,4。

將式(11)和式(13)～式(15)代入式(1)可得

B2e-γ2z)+γ3ημ(A3eγ3z-B3e-γ3z)-

(16)

(A2eγ2z-B2e-γ2z)+iγ3μ(A3eγ3z-B3e-γ3z)+

iημ(A4eγ3z+B4e-γ3z)

(17)

2μγ3(A4eγ3z-B4e-γ3z)

(18)

2 模型建立

地下水一般位于地表以下,可將土體模擬為上覆彈性層的飽和半空間模型,如圖1所示。水位以上為干土層,材料屬性假定為黏彈性地基土;地下水位之下部分為飽和半空間,模擬成多孔彈性材料。

圖1 上覆彈性層飽和半空間示意圖

當(dāng)?shù)叵滤簧仙龝r,淹沒部分將達(dá)到飽和,視為多孔飽和介質(zhì);下層飽和土依舊采用Biot飽和介質(zhì)方程進(jìn)行模擬,上層彈性介質(zhì)可以通過Biot方程采取特殊值退化進(jìn)行描述。

圖1中,地下水位于距離地表h處,在彈性土層表面處,有移動的簡諧荷載作用,荷載尺寸為2a×2b,移動速度為c,圓頻率為ω0,移動方向是由x負(fù)半軸向著正半軸運(yùn)動。

為了計算不同土層的位移場和應(yīng)力場通解,將式(18)寫成矩陣的形式

(19)

式中：上標(biāo)“i”為層數(shù),從上到下編序,第二層為無限大半空間,“+”和“-”分別為指數(shù)項(xiàng)次數(shù)為正還是負(fù)。

每一層土體屬性都是均勻的,并由一組材料參數(shù)定義。每個層都有一個局部笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng),原點(diǎn)位于其頂部,而Oxyz代表一個全局坐標(biāo)系統(tǒng),原點(diǎn)位于第一層的頂部表面。在局部坐標(biāo)系中,頂面垂直位置zu(i)=0,彈性層底面垂直位置zd(1)=h。

其中：ui,σi,Ai和Bi(i=1,2)分量為

u=(ω,iξux,uy,uz)T,σ=(p,iξσxz,σyz,σzz)T,

A=[A1,A2,A3,A4]T,B=[B1,B2,B3,B4]T

(20)

在兩層交界處,上層位移場和應(yīng)力場和下層位移場和應(yīng)力場連續(xù),用矩陣則可以表示為

(21)

根據(jù)無窮遠(yuǎn)處輻射條件,A2為零向量,而在第二層土層中位移和應(yīng)力不為0,故B2不為0,可得

(22)

通過求解式(22)即可得到

A1=(T1)-1T2B1

(23)

其中

將式(23)代入式(20),可得

(24)

論文僅對地面豎向振動位移分量進(jìn)行分析,因此,只考慮豎向荷載的作用,兩種剪應(yīng)力對地面的影響可以忽略,假設(shè)地基表面為透水邊界,則存在以下邊界條件

(25)

(26)

對式(26)進(jìn)行式(5)和式(6)變換,可得

(27)

因此,地基表面的豎向位移則可表示為

(28)

φ44(ξ,η,0,ω)被稱為飽和層狀半空間在頻率波數(shù)域的動力柔度矩陣,或稱為頻率波數(shù)域的動力格林函數(shù)矩陣。

通過式(20)和式(24)可以得到

(29)

利用式(28)即可計算出第一層土的下行波系數(shù)A1,通過傳遞矩陣就可以計算出整個層狀飽和模型任意一點(diǎn)的位移、應(yīng)力以及孔隙水壓力表達(dá)式。

對式(28)進(jìn)行逆傅里葉變換,從波數(shù)-頻率域變換到時間-空間域,利用Dirac函數(shù)的性得模型任意一點(diǎn)位移

uz(x,y,0,t)=

(30)

材料的阻尼采用常數(shù)的復(fù)數(shù)形式來表達(dá)：λ=λe(1+2iβ),μ=μe(1+2iβ),μe和λe分別為材料原本的Lame常數(shù),β為土體的材料阻尼比。

根據(jù)式(30)可知,移動荷載的速度會對多孔介質(zhì)響應(yīng)的頻率產(chǎn)生影響,當(dāng)荷載速度過大時,會產(chǎn)生許多高頻分量,而Biot方程主要應(yīng)用于低頻運(yùn)動。

為了描述孔隙流體和固體骨架之間的高頻阻力,將Biot理論與JKD模型[16]相結(jié)合,JKD模型可以近似處理低頻與高頻阻力相結(jié)合的問題。K(t)的頻域表達(dá)式為

(31)

式中：ωc=bn/(ρfa∞),為將黏力控制的流動與慣性力主導(dǎo)的流動分離的過渡頻率;ag為孔隙幾何常數(shù),多孔彈性介質(zhì)通常取0.5。

3 計算結(jié)果分析

3.1 模型驗(yàn)證

當(dāng)M,α,ρf,b,m接近于0時,可以采用飽和土半空間模型模擬波在單一彈性半空間中的運(yùn)動,本文取所有參數(shù)為0.000 1,將h取足夠小,上下層取同樣的參數(shù),可以模擬彈性半空間。選取與Jones等[17]一致的彈性土參數(shù)和荷載數(shù)值。

圖2 本文計算結(jié)果與Jones等的結(jié)果比較

從圖2中可以看出,本文計算結(jié)果與Jones等的計算結(jié)果基本相一致。

3.2 波數(shù)域內(nèi)分析

為分析在移動簡諧荷載作用下,水位變化對于地面位移響應(yīng)的影響規(guī)律。

移動矩形荷載沿著x軸上運(yùn)動,荷載的長寬為2a×2b=0.6 m×0.6 m,荷載集度為q=1/(a×b),荷載頻率f為30 Hz,荷載速度c為100 m/s。

依據(jù)式(30)的計算結(jié)果,圖3～圖5分別為彈性半空間、以及上覆彈性層厚度為0.5 m,1.0 m和5.0 m下的波數(shù)域內(nèi)位移幅值云圖以及η=0處地表豎向位移實(shí)部的變化曲線。從圖3～圖5中可以看出：

(a) 位移幅值云圖

(a) 位移幅值云圖

(a) 位移幅值云圖

彈性半空間位移主要集中在3個正波數(shù)位置,分別代表R波、S波和P波,上覆彈性層飽和半空間中波的成分比起彈性半空間中復(fù)雜,這是因?yàn)镻波和SV波在兩種介質(zhì)界面上會反射出多種類型的波,多種波對位移均產(chǎn)生影響。

當(dāng)?shù)叵滤簧疃葹? m時,反射波對于地面振動的影響比較強(qiáng),隨著水位的降低,反射波的能量的越來越小;當(dāng)水位深度為地下5 m時,反射波對地表振動的影響已經(jīng)很小,波數(shù)分布基本和彈性半空間相同,地面振動響應(yīng)主要還是由R波和S波決定。

3.3 空間域內(nèi)分析

圖6為不同地下水位下地表最大豎向位移幅值變化曲線。

從圖6中可以看出：當(dāng)?shù)叵滤痪嗟乇肀容^近時,地表的最大位移接近飽和半空間;隨著水位的下降,位移開始減小,當(dāng)水位深度達(dá)到0.3 m時,地表位移出現(xiàn)最小值;隨著水位的不斷降低,地表最大位移幅值呈不斷增大趨勢,水位深度超過4.0 m后,基本趨于穩(wěn)定。

當(dāng)水位比較高的時候,反射波對于地表動力響應(yīng)影響比較大,但隨著距離的增加,入射波迅速衰減,反射波的能量逐漸減小,且在傳遞到地面過程中,存在二次衰減,此時地基的動力響應(yīng)類似于彈性半空間。

圖7(a)是取水位深度為0.5 m,1.0 m,2.0 m和5.0 m時地表位移幅值隨距離衰減的變化情況,圖7(b)為圖7(a)方框局部放大部分的曲線。

(a)

從圖7中可以看出：當(dāng)水位深度為0.5 m和1.0 m時,地表位移最大值卻比2.0 m和5.0 m更小,位移幅值衰減更緩慢,衰減曲線起伏比較雜亂,原因是由于多種波振幅和波長不同,且存在一定的相位差,相互疊加之后導(dǎo)致的。

4 結(jié) 論

本文研究了移動荷載作用下,水位的變化對飽和土地基表面豎向位移的影響,得到了以下結(jié)論：

(1) 地下水位的存在會導(dǎo)致地基土分層,在分層界面上會產(chǎn)生反射波,對上覆彈性層動力響應(yīng)產(chǎn)生一定影響。

(2) 當(dāng)?shù)叵滤唤咏乇頃r,地表豎向位移接近飽和半空間;當(dāng)水位下降,反射波對于地表豎向位移會產(chǎn)生一定影響,當(dāng)水位下降到一定程度反射波影響減小,地表振動和彈性半空間中一樣。

(3) 隨著水位離地面距離越來越大,由于反射波的作用逐漸減小,會使得波的衰減起伏規(guī)律性變得減弱。