吳易鳴,孫 寧,楊欽朝,尹健宇

(1.東北大學 信息科學與工程學院,沈陽 110819;2.南開大學 人工智能學院 機器人與信息自動化研究所,天津 300350;3.南開大學深圳研究院 智能技術(shù)與機器人系統(tǒng)研究院,廣東 深圳 518083)

起重機作為搬運、倉儲、物流等各行業(yè)中都極為重要的重型裝備之一,被廣泛應(yīng)用于工礦車間、倉庫車站、集裝箱碼頭、海洋開發(fā)等場合[1-3]。起重機具有欠驅(qū)動特性。此類具有欠驅(qū)動特性的系統(tǒng)在許多場合下可以節(jié)省驅(qū)動成本、精簡機械結(jié)構(gòu)、減小能源消耗。例如,機械臂[4]、飛行器[5]、移動機器人[6]、水下機器人[7-8]等。然而,由于缺失了控制輸入,欠驅(qū)動系統(tǒng)相比于全驅(qū)動系統(tǒng)[9]在理論上更加難于分析。此外,對于起重機而言,另一個常見的特性為雙擺效應(yīng)。即貨物與吊鉤發(fā)生兩級擺動。這種情況不僅更容易激發(fā)較大的貨物擺幅,也更難于實現(xiàn)精準定位。

起重機系統(tǒng)的典型實現(xiàn)方法包括：輸入整形與軌跡規(guī)劃等開環(huán)控制方法[10],比例微分(proportional differential,PD)控制、先行二次規(guī)劃(linear quadratic regulator,LQR)、滑?？刂?、魯棒控制等閉環(huán)控制方法[11-15],其中,開環(huán)控制方法往往應(yīng)用便捷,但較依賴于離線計算,對參數(shù)敏感。閉環(huán)控制方法提高了魯棒性能但參數(shù)往往較多,實際效果受調(diào)參影響。

在理想條件下,較多研究將起重機吊運負載處理為單擺模型[16-23]。而在實際應(yīng)用中,起重機系統(tǒng)往往通過繩索與吊鉤的形式運輸負載,使雙擺效應(yīng)較為常見。在這種情況下,起重機系統(tǒng)的控制輸入數(shù)目不變,但欠驅(qū)動自由度增加,若將其簡化為單擺結(jié)構(gòu)并直接應(yīng)用未考慮雙擺效應(yīng)的防擺方法將難以達到預期的防擺效果。截至目前,受到單擺起重機控制技術(shù)的啟發(fā),已有研究對典型的開環(huán)與閉環(huán)控制方法進行了改進。首先,是開環(huán)的指令整形技術(shù)[24-25]與軌跡規(guī)劃技術(shù)[26-27]。然而,起重機往往應(yīng)用于復雜工況,易受到外部擾動的影響。在這種情況下,Wu等[28]利用滑?？刂萍夹g(shù)實現(xiàn)了分布式負載的防擺吊運。石懷濤等[29]引入擺角耦合項實現(xiàn)了兩級擺動的加速抑制。Qian等[30]則利用了模糊控制技術(shù)實現(xiàn)了防擺吊運。

在實際應(yīng)用中,可結(jié)合開環(huán)軌跡規(guī)劃與閉環(huán)軌跡跟蹤控制實現(xiàn)負載吊運。然而,開環(huán)方法大多著眼于軌跡的離線規(guī)劃環(huán)節(jié);閉環(huán)控制方法大多為定位控制,跟蹤控制較少。為進一步提升雙擺起重機系統(tǒng)在軌跡跟蹤環(huán)節(jié)的抗擾性能,提出了一種抗擾防擺跟蹤控制方法。該方法的貢獻歸納如下：① 引入集總干擾項,并結(jié)合狀態(tài)觀測器設(shè)計更新律在線估計擾動,從而使系統(tǒng)能夠處理未建模動態(tài)、外部擾動等未知不確定性;② 設(shè)計虛擬控制器,使系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對既定軌跡的魯棒跟蹤,且通過嚴格的理論分析證明了跟蹤誤差的有界性;③ 在更新律中引入一個可調(diào)節(jié)的更新因子,并從理論上證明了更新因子增大跟蹤誤差減小,實現(xiàn)對跟蹤誤差的約束。從問題解決方面來看,該方法能夠提高系統(tǒng)對建模誤差、未建模動態(tài)、不確定性等因素的魯棒性,同時可在理論上約束跟蹤誤差實現(xiàn)良好的軌跡跟蹤。從理論創(chuàng)新方面來看,該方法受到L1自適應(yīng)控制的啟發(fā),在此框架下進一步探索了如何處理具有較多欠驅(qū)動自由度的系統(tǒng)的抗擾控制問題。

1 問題描述與模型變換

首先,給出雙擺橋式起重機系統(tǒng)的動力學方程如下

(1)

(mh+mc)gl1sinθ1=0

(2)

(3)

其中,各變量與已知參數(shù)的定義如表1所示。本文的控制目標是臺車位移跟蹤給定軌跡xf(t),并最終穩(wěn)定在期望的目標值xd。同時,在跟蹤控制的過程中實現(xiàn)兩級擺動的有效抑制。

表1 系統(tǒng)參數(shù)與變量定義

(4)

(5)

(6)

(7)

同時,用式(6)減去式(5),可得

(8)

基于式(7)、式(8)與χ(t)的定義,可知原始狀態(tài)變量x(t),θ1(t),θ2(t)均可以用新的狀態(tài)變量χ(t)來表示。于是,可將式(4)改寫為如下形式

(9)

式中：參數(shù)a=mtmhl1l2[(mh+mc)g2];參數(shù)b=[mt(l1+l2)+mhl2]g;參數(shù)γ=mt+mh+mc;為未知的建模誤差。后續(xù)的控制律設(shè)計與穩(wěn)定性分析將基于變換后的模型式(9)。等效地,基于新的狀態(tài)變量與動力學模型式(9),控制目標變?yōu)槭功?t)跟蹤軌跡xd(t)。

2 控制設(shè)計及穩(wěn)定性分析

為實現(xiàn)控制目標。接下來將對控制輸入F(t)進行設(shè)計。給出控制系統(tǒng)的整體流程框圖如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)流程框圖

首先,定義如下誤差變量eχ(t)∈R及其導數(shù)

(10)

式中,i=1,2,3,…,6。結(jié)合后續(xù)的分析,最終的控制輸入的形式設(shè)計如下

(11)

(12)

其中,Aχ∈R4×4,Bχ,Cχ∈R2分別定義如下

(13)

(14)

(15)

基于所設(shè)計的控制器與更新律,為方便后續(xù)分析,給出閉環(huán)系統(tǒng)方程如下

(16)

并根據(jù)實際應(yīng)用情況給出如下假設(shè)：

接下來,將通過分析論證如下的定理,以證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定理1對于雙擺橋式起重機系統(tǒng)式(9)與式(12),所設(shè)計的控制器與參數(shù)更新律式(11)、式(14)與式(15)能夠使如下結(jié)論成立。

(1) 當未知擾動是時變量時,所有的系統(tǒng)狀態(tài)有界,并滿足

(17)

(18)

(19)

式中,存在h∈R2×2,使hT(Is-A)-1Bχ=N1(s)/N2(s),deg(N1)-deg(N2)=1成立。

證明對定理1展開證明需對如下兩種情況進行討論與分析：

情況1考慮未知擾動時變的情況。首先,構(gòu)造如下標量函數(shù)V(t)

(20)

并求導,可得

(21)

(22)

V≤σmΓ-1?V∈L∞

(23)

并可通過式(13)、式(14)與式(23)推知

(24)

即可得跟蹤誤差有界。

為進一步證明定理1,可將式(21)與式(23)中的結(jié)論進行整理,并得到

(25)

(26)

接著,若將式(12)與式(13)相減,可得到

(27)

則式(26)中的不等式變?yōu)?/p>

(28)

即式(18)成立。此外,利用式(27),還可從式(14)與式(16)得知

(29)

即式(19)成立,情況1得證。值得注意的是,在式(17)～式(19)中,隨著參數(shù)Γ的增大,跟蹤誤差減小,而當Γ趨于無窮大時,跟蹤誤差趨于0。表明在應(yīng)用時,可通過增大Γ的值來減小跟蹤誤差,使其滿足需求。

即情況2得證。

因此,綜合結(jié)論式(25)、式(28)、式(29)與式(30),定理1證畢。

3 仿真與試驗結(jié)果分析

本章將對所提方法進行仿真與試驗驗證。仿真模型使用原始模型式(1)～式(3)。試驗時應(yīng)用圖2所示的橋式起重機系統(tǒng)樣機[35]。在此給出所提控制律與更新律參數(shù)的調(diào)節(jié)規(guī)律。kp,kd類似PD控制中的P增益與D增益;Kχ為濾波相關(guān)的參數(shù);更新因子Γ越大,跟蹤誤差的界越小。

圖2 雙擺橋式起重機硬件試驗平臺

3.1 仿真驗證

仿真時選取了兩種對比方法,分別為：經(jīng)典的LQR方法與石懷濤研究中的方法。LQR控制器的控制增益為k1=60,k2=49.33,k3=-128.72,k4=-7.49,k5=20.4,k6=-6.84。石懷濤研究中控制器的控制增益為kp=5,kd=20。同時,在仿真中加入外部擾動,對比各方法的跟蹤與防擺效果。仿真結(jié)果如圖3所示,其中,為驗證理論結(jié)果,在仿真時給更新因子Γ賦不同的值。從圖3中可以看出：① 所提方法引入集總干擾項,能夠在線補償未知不確定性,較快速地消除了擾動的影響;② 所提方法可良好跟蹤時變軌跡,并可使吊鉤與負載額的擺幅在2 deg以內(nèi);③ 根據(jù)仿真數(shù)據(jù),當分別取Γ=100,Γ=50時,位移的跟蹤誤差分別穩(wěn)定在0.003 m與0.007 m,即驗證了Γ越大跟蹤誤差越小的理論結(jié)果。綜上,仿真結(jié)果驗證了所提方法的有效性。

(a)

3.2 試驗驗證

試驗1跟蹤S型軌跡。令軌跡參數(shù)為xd=0.5 m,λ1=1.1,λ2=0.1,γ=3.5,增益為kp=167,kd=9,Kχ=10,并取Γ=5。試驗結(jié)果圖4所示?？梢钥闯?所提方法能夠?qū)崿F(xiàn)對給定軌跡的良好跟蹤,且在跟蹤過程中有效地抑制吊鉤與負載的兩級擺動。

(a)

試驗2施加外部擾動。本組試驗為驗證所提方法針對外部擾動的魯棒性,其試驗結(jié)果如圖5所示。在5～15 s加入擾動,可以看出在加入了外部擾動的情況下,所提方法依然能夠很好地跟蹤期望軌跡,有效地抑制人為施加在欠驅(qū)動擺角上的干擾。

(a)

4 結(jié) 論

針對存在未知不確定性與未建模動態(tài)的情況,基于L1自適應(yīng)控制技術(shù)提出了一種雙擺橋式起重機系統(tǒng)抗擾防擺跟蹤控制方法,實現(xiàn)了對S型軌跡的魯棒跟蹤。具體而言,首先分析模型,引入集總干擾項處理未建模動態(tài)。之后,引入虛擬控制量并設(shè)計狀態(tài)觀測器、濾波環(huán)節(jié)以及未知擾動更新律。經(jīng)過嚴格的理論分析證明了跟蹤誤差均有界,且更新因子越大跟蹤誤差越小。試驗結(jié)果表明所提方法具有良好的跟蹤性能,且能夠快速消除負載擺動。