江蘇省宿遷中學(xué) 王嘉琨

在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過)、新課程(《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂》)、新高考的“三新”背景下,高考堅(jiān)持核心素養(yǎng)導(dǎo)向,倡導(dǎo)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,注重?cái)?shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用.基于“三新”背景下的高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí),要切實(shí)貫徹與落實(shí)高考改革的考查要求,因此,綜合高效復(fù)習(xí)就變得尤其重要.

1 回歸高中教材,探究知識(shí)本源

新高考不再有《考試大綱》的局限與限制,高中數(shù)學(xué)教材成為高考的主要依據(jù)之一.通過近幾年的新高考數(shù)學(xué)試卷可以發(fā)現(xiàn),高中數(shù)學(xué)教材是高考數(shù)學(xué)試題的命題來源與知識(shí)基礎(chǔ),是高考能力題的立足點(diǎn)與生長點(diǎn).高考數(shù)學(xué)試題就是對(duì)高中數(shù)學(xué)教材的橫向優(yōu)化,形成知識(shí)的聯(lián)系與交匯;同時(shí)也是高考中數(shù)學(xué)教材的縱向深化,滲透核心素養(yǎng),考查數(shù)學(xué)能力.

例1〔人教版《數(shù)學(xué)》(選擇性必修二冊(cè))第94頁練習(xí)第2題〕證明不等式:x-1≥lnx,x∈(0,+∞).

以上重要不等式及其他一些相關(guān)的結(jié)論,如(1)ex>x+1(x≠0),(2)lnx0),在證明不等式,判斷大小關(guān)系以及其他綜合問題中,可以進(jìn)行巧妙應(yīng)用或通過再加工來綜合,往往是新高考中一些創(chuàng)新試題的知識(shí)本源所在.如:

A.a

C.c

綜上分析,可知c

因而,高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教與學(xué)的過程中,一定要緊緊抓住教材,任何階段都不能脫離教材,通過對(duì)教材中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與典型例(習(xí))題加以總結(jié)與提煉,進(jìn)而形成數(shù)學(xué)知識(shí)“串”,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題“鏈”,從而更加深入地探究高考數(shù)學(xué)命題的本源,全面開展一輪復(fù)習(xí)與教學(xué).

2 鉆研高考真題,挖掘命題規(guī)律

合理鉆研近年新高考數(shù)學(xué)真題,切實(shí)領(lǐng)會(huì)高考試題的設(shè)計(jì)思路、考查要點(diǎn)與考查意圖等,從中探尋高考命題的變化、創(chuàng)新與規(guī)律,更好地服務(wù)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教與學(xué),進(jìn)而合理改變教與學(xué)過程中由全面覆蓋、盲目備考轉(zhuǎn)向抓住主干、精準(zhǔn)備考.

A.tan(α+β)=1 B.tan(α+β)=-1

C.tan(α-β)=1 D.tan(α-β)=-1

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,先利用兩角和與差的公式加以展開,使得復(fù)雜角轉(zhuǎn)化為簡單角,然后結(jié)合變形所得的三角函數(shù)關(guān)系式,利用兩角和與差的公式進(jìn)行“逆向”轉(zhuǎn)化,再進(jìn)行三角函數(shù)式的變形與求值.

整理,可得sinαcosβ-cosαsinβ=-cosαcosβ-sinαsinβ,即sin(α-β)=-cos(α-β).

所以tan(α-β)=-1.故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)問題,一直是新高考中考查的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn).常規(guī)方法是利用三角函數(shù)中相關(guān)的公式,如三角恒等變換公式、輔助角公式、和差化積公式與積化和差公式等加以變形與轉(zhuǎn)化,或者利用特殊值、整體驗(yàn)證等思維方式來處理.

3 強(qiáng)化變式訓(xùn)練,提高復(fù)習(xí)效益

高考復(fù)習(xí)不是新授課,要精心挑選典型例題與配套的習(xí)題,注意總結(jié)解題規(guī)律,并從中提煉出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法,使學(xué)生能舉一反三,融會(huì)貫通,觸類旁通,形成從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)到數(shù)學(xué)綜合,從解題模仿到變式拓展,從變式練習(xí)到創(chuàng)新應(yīng)用的層層遞進(jìn),多層面、多視角、螺旋式步步提升,真正有效提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益.

分析：根據(jù)題設(shè)條件與所求結(jié)論中a,c具有輪換性,采用兩邊長相等的特殊化處理,通過余弦定理確定對(duì)應(yīng)角的余弦值,結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與二倍角公式加以變形與轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得以求值.本題可以借助“一題多解”的方式繼續(xù)展開,這里從略,在此基礎(chǔ)上還可以進(jìn)一步變式與拓展.

點(diǎn)評(píng)：由解三角形問題,聯(lián)想到圓錐曲線與平面幾何問題,產(chǎn)生良好的效益.結(jié)合高考數(shù)學(xué)真題,探究高考命題變化與命題改革,巧妙貫徹?cái)?shù)學(xué)創(chuàng)新與數(shù)學(xué)應(yīng)用,滲透創(chuàng)新應(yīng)用場(chǎng)景與數(shù)學(xué)文化,結(jié)合典型數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變式訓(xùn)練與拓展創(chuàng)新,回避題海戰(zhàn)術(shù),全面提升高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益.

4 滲透數(shù)學(xué)文化,突破應(yīng)用瓶頸

2022年的新高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了南水北調(diào)工程、地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣、中國古代建筑、流行病學(xué)調(diào)查等數(shù)學(xué)文化創(chuàng)新問題,與新課標(biāo)所強(qiáng)調(diào)的“創(chuàng)新性、應(yīng)用性”相吻合.隨著新高考的逐步深入,社會(huì)實(shí)踐的應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化的滲透等應(yīng)用型問題情境已經(jīng)成為高考的一類必考題.

例4某艦隊(duì)為慶祝軍艦入列10周年,艦隊(duì)官兵舉行了盛大的慶祝儀式,在艦上布置了彩旗(如圖1),掛彩旗的繩子長100 m,繩子固定在艦島上高度均為16 m、相距28 m的兩處艦橋的AB和CD的端點(diǎn)A和C處,并在甲板上E處繃緊,已知繩子和兩艦橋在同一平面內(nèi),則甲板上E點(diǎn)到艦橋AB的距離為______m.

圖1

分析：基于現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用場(chǎng)景,滲透數(shù)學(xué)文化,理解題目條件,合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,抓住兩線段和為定長,結(jié)合橢圓的定義,正確構(gòu)建相關(guān)點(diǎn)滿足的軌跡方程,進(jìn)而得以解決實(shí)際應(yīng)用問題.

解析：如圖2所示,以AC所在直線為x軸,AC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則有A(-14,0),C(14,0),B(-14,-16),D(14,-16).

圖2

依題可知|AE|+|CE|=100>28.

點(diǎn)評(píng)：新高考背景下,中國古代數(shù)學(xué)典籍與文明創(chuàng)造、現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展與技巧、社會(huì)進(jìn)步與生活場(chǎng)景等各方面的創(chuàng)新應(yīng)用都巧妙融入到了高考數(shù)學(xué)試卷中,以各種形式融合相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)加以應(yīng)用,巧妙達(dá)到滲透創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用的目的.

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,合理回歸高考數(shù)學(xué)教材,扎根數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),構(gòu)建數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu),結(jié)合高考數(shù)學(xué)真題,探究高考命題變化與命題改革,貫徹?cái)?shù)學(xué)創(chuàng)新與數(shù)學(xué)應(yīng)用,滲透創(chuàng)新應(yīng)用場(chǎng)景與數(shù)學(xué)文化,結(jié)合典型數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變式訓(xùn)練與拓展創(chuàng)新,回避題海戰(zhàn)術(shù),進(jìn)而全面提升高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益.