廣東汕頭華僑中學(xué) 張應(yīng)楷

定點(diǎn)與定值問(wèn)題是圓錐曲線中的?？紵狳c(diǎn)問(wèn)題,常見的解題策略為從特殊到一般,即通過(guò)特殊化發(fā)現(xiàn)結(jié)論,再在一般情況下進(jìn)行證明.在具體的證明過(guò)程中,常見的路徑是將幾何關(guān)系代數(shù)化,通過(guò)代數(shù)運(yùn)算獲得結(jié)論,再對(duì)結(jié)論進(jìn)行幾何化的解釋.本文中將從不同的視角對(duì)一道以拋物線為背景的定點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究.

1 題目及分析

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H,直線過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)且與C交于A,B兩點(diǎn),△HAB的面積的最小值為4.

(1)求拋物線C的方程;

分析：本題第(1)問(wèn)考查拋物線的基本性質(zhì),其目的是獲得拋物線的方程,考查了焦點(diǎn)弦、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn);第(2)問(wèn)考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,其核心要點(diǎn)在于EM⊥EN,可從向量、斜率等視角進(jìn)行解析.

2 解題方法呈現(xiàn)

對(duì)于第(1)問(wèn),有如下兩種方法.

由韋達(dá)定理,得y1+y2=2pt,且y1y2=-p2.由拋物線的定義,得焦點(diǎn)弦|AB|=x1+x2+p=t(y1+y2)+2p=2pt2+2p(也可通過(guò)弦長(zhǎng)公式求解).

對(duì)于第(2)問(wèn),有如下三種方法.

方法一：基本量法.

評(píng)注：方法一是對(duì)題干條件的直接使用,思維量較低.其求解思路是將原題干條件轉(zhuǎn)化為變量y1,y2間的關(guān)系,通過(guò)韋達(dá)定理實(shí)現(xiàn)消元.接下來(lái)介紹利用“雙根法”來(lái)簡(jiǎn)化韋達(dá)定理的應(yīng)用.

方法二：利用“雙根法”求解.

在方法一的基礎(chǔ)上,可令y2-4ty+4t-17=(y-y1)(y-y2).

評(píng)注：“雙根法”是回避韋達(dá)定理的利器,可有效地提升運(yùn)算效率.

方法三：平移齊次化,構(gòu)造斜率方程求解.

在題干中,EM⊥EN等價(jià)于kEM·kEN=-1,為此,可以考慮通過(guò)齊次化,構(gòu)建關(guān)于斜率k的方程,進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求解.

評(píng)注：該方法的本質(zhì)是將圖形進(jìn)行平移,得到的“齊二次”可直接構(gòu)建關(guān)于斜率的方程.當(dāng)斜率滿足其他表達(dá)式時(shí),特別是可用韋達(dá)定理求解時(shí),利用該方法非常高效.

3 命題推廣

筆者嘗試了將原問(wèn)題一般化,經(jīng)過(guò)探究,當(dāng)Q為任意點(diǎn)時(shí),在拋物線C上不一定存在點(diǎn)E使得條件成立;但如下的逆向結(jié)論成立:設(shè)M(x0,y0)是拋物線C:y2=2px(p>0)上的一定點(diǎn),A,B是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且MA⊥MB,則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)P(2p+x0,-y0).

因?yàn)閥1≠y0,y2≠y0,所以(y1+y0)(y2+y0)+4p2=0,即

①

由上式可知,直線AB必過(guò)定點(diǎn)P(2p+x0,-y0),因此結(jié)論成立.

通過(guò)幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件,觀察點(diǎn)M(x0,y0)、拋物線C:y2=2px及定點(diǎn)P(2p+x0,-y0)三者的位置信息,可知:定點(diǎn)P在點(diǎn)M的法線(過(guò)點(diǎn)M且與點(diǎn)M處的切線垂直的直線)上.

證明：根據(jù)文[1],拋物線C在點(diǎn)M處的切線l的方程為px-y0y+px0=0.

點(diǎn)M的法線為過(guò)點(diǎn)M且與點(diǎn)M處的切線垂直的直線,即為l′:y0x+py-x0y0-py0=0.

代入點(diǎn)P的坐標(biāo)驗(yàn)證,可知點(diǎn)P在l′上.結(jié)論成立.

該結(jié)論即為著名的富瑞吉定理:在圓錐曲線Γ上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作兩條互相垂直的射線與Γ交于點(diǎn)A,B,則直線AB過(guò)定點(diǎn),且該定點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)P的法線上.

通過(guò)上述分析,也可利用待定系數(shù)法來(lái)解決原問(wèn)題,過(guò)程略.