云南省昆明市第十中學(xué) 謝 瑋 王志紅 倪文妍 宋鴻雁

1 命題

題目(原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex+2,a∈R.

(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;

2 命題過(guò)程

下面我們一起探求上述原創(chuàng)題的命制過(guò)程.

如圖1所示:

圖1

我們知道,拐點(diǎn)處的切線有其特殊性,它是穿過(guò)函數(shù)圖象的一條直線.

從不等關(guān)系的角度來(lái)看,有:

從方程的角度來(lái)看,有:

為了使模型簡(jiǎn)潔化,我們將函數(shù)調(diào)整為f(x)=xex+2,此時(shí),它的拐點(diǎn)為(-2,-2),拐點(diǎn)處的切線方程為y=-x-4.

為了進(jìn)一步利用上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)圖象變換將不等號(hào)統(tǒng)一起來(lái),我們?cè)賹⒑瘮?shù)圖象上平移兩個(gè)單位,得到y(tǒng)=xex+2+2,此時(shí),它的拐點(diǎn)為(-2,0),拐點(diǎn)處的切線方程為y=-x-2.

如圖2所示:

圖2

從不等關(guān)系的角度來(lái)看,有:

當(dāng)x≤-2時(shí),0≤xex+2+2≤-x-2;當(dāng)x≥-2時(shí),xex+2+2≥-x-2.

從方程的角度來(lái)看,有:

對(duì)于方程xex+2+2=k(x+2),當(dāng)k≥0時(shí),有兩個(gè)根;-1

至此,我們可以將方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)零點(diǎn)的問(wèn)題命制一個(gè)小題.

題1若函數(shù)f(x)=xex+2-kx-2k+2有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

再回到不等關(guān)系上來(lái),我們知道,絕對(duì)值符號(hào)可以實(shí)現(xiàn)圖象的上下翻轉(zhuǎn),從而可以統(tǒng)一不等號(hào)的方向,因此構(gòu)造這樣兩個(gè)函數(shù):f(x)=|xex+2+2|,g(x)=|x+2|.兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖3所示.

圖3

因此,可以得到這樣一個(gè)不等關(guān)系:當(dāng)x≤0時(shí),|xex+2+2|≤|x+2|.

通過(guò)這個(gè)不等關(guān)系,再添加參數(shù)可以命制如下一個(gè)大題:

題2已知函數(shù)f(x)=xex+2+2,a∈R,

(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若x≤0時(shí),|f(x)|≤a|x+2|,求a的取值范圍.

該問(wèn)題從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)研究的是曲線與切線的位置關(guān)系,由這一方向入手不難想到一個(gè)常用的切線放縮模型lnx≤x-1,如果通過(guò)合適的圖象變換,可以利用切線放縮將lnx型函數(shù)引入到問(wèn)題中來(lái),也許可以使結(jié)構(gòu)有一定的對(duì)稱美.

因此做如下嘗試:

首先將函數(shù)f(x)=|xex+2+2|與函數(shù)g(x)=|x+2|的圖象向右平移兩個(gè)單位,重新構(gòu)造函數(shù):f(x)=|(x-2)ex+2|與g(x)=|x|,使得模型的關(guān)鍵點(diǎn)由(-2,0)變?yōu)樽鴺?biāo)原點(diǎn).如圖4所示.

圖4

再將對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象作適當(dāng)?shù)钠揭?、翻轉(zhuǎn)變換,可以得到這樣的結(jié)構(gòu):|(x-2)ex+2|≤-ln(-|x|+1),如圖5所示.

圖5

然而這一結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜,且并不具有較好的簡(jiǎn)潔性,同時(shí)絕對(duì)值元素添加較多,與近幾年高考真題結(jié)構(gòu)相去較遠(yuǎn),因此到這里就需要考慮重新調(diào)整思路.

讓我們重新回到函數(shù)f(x)=xex+2+2,它的拐點(diǎn)為(-2,0),拐點(diǎn)處的切線方程為y=-x-2.前面添加絕對(duì)值符號(hào),是為了讓其實(shí)現(xiàn)凹凸翻轉(zhuǎn),從而統(tǒng)一不等號(hào)方向.

當(dāng)重新思考這個(gè)問(wèn)題的時(shí),我們發(fā)現(xiàn)切線的另一含義實(shí)際上是泰勒一階展開(kāi).從這個(gè)角度入手,將函數(shù)進(jìn)行五階泰勒展開(kāi),希望從中找到較好的命題入口.

圖6

圖7

這樣,利用上面得到的恒成立不等關(guān)系,添加合適的參數(shù)就得到了本文開(kāi)頭給出的試題.

3 命題小結(jié)

本次命題重點(diǎn)對(duì)函數(shù)曲線在拐點(diǎn)處的切線進(jìn)行研究,通過(guò)相等關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)不等關(guān)系構(gòu)造恒成立問(wèn)題.本題解法靈活多樣,可采用分類討論、分離參數(shù)、必要性探路等方法,具體解法再另文刊出.