江蘇省梅村高級(jí)中學(xué) 許潤(rùn)玲

數(shù)據(jù)分析作為大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法,是概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中的一種基本方法,也是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)基本素養(yǎng).在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,基于數(shù)據(jù)分析,通過(guò)數(shù)據(jù)的收集和整理,提取信息,構(gòu)建模型,進(jìn)行推斷,形成關(guān)于研究對(duì)象的知識(shí)與判斷,用于合理決策相關(guān)問(wèn)題.通過(guò)這一教學(xué)過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

1 基于圖形直觀進(jìn)行數(shù)據(jù)分析

通過(guò)對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)中圖形(頻率分布直方圖、折線圖、餅圖等)的識(shí)別,提取相關(guān)的數(shù)據(jù)信息,進(jìn)而加以合理數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用.

例1〔2023年浙江省紹興市嵊州市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷(2月份)〕某中學(xué)為了解高三男生的體能情況,通過(guò)隨機(jī)抽樣,獲得了200名男生的100米體能測(cè)試成績(jī)(單位:s),將數(shù)據(jù)按照[11.5,12),[12,12.5),……,[15.5,16]分成9組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.

由直方圖可估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)小于13.5 s的人數(shù)為( ).

A.47 B.54 C.67 D.94

分析：根據(jù)題設(shè)條件,先由頻率分布直方圖中各長(zhǎng)方形的面積之和為1求得參數(shù)a的值,再結(jié)合頻率分布直方圖的直觀性,從中提取相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息加以數(shù)據(jù)分析,進(jìn)而求解本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)小于13.5 s的人數(shù)即可.

解析：由頻率分布直方圖中各長(zhǎng)方形的面積之和為1,可知0.5×(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)=1,解得a=0.40.

故估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)小于13.5 s的人數(shù)為200×0.5×(0.08+0.16+0.30+0.40)=94.

故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些涉及概率與統(tǒng)計(jì)中圖形信息的問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是借助直觀性,從概率與統(tǒng)計(jì)的圖形中正確提取出對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息,結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以數(shù)據(jù)分析,合理數(shù)學(xué)運(yùn)算或邏輯推理,巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)合理數(shù)據(jù)分析與數(shù)據(jù)處理的目的.從圖形中正確提取相關(guān)的數(shù)據(jù)信息,是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

2 基于數(shù)表信息進(jìn)行數(shù)據(jù)分析

通過(guò)對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)中的數(shù)表的分析,確定相關(guān)的數(shù)據(jù)信息,進(jìn)而加以合理數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用.

例2(2023屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷)某校采用分層隨機(jī)抽樣的方法采集了高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身高情況,部分調(diào)查數(shù)據(jù)如表1:

則總樣本的方差為_(kāi)_____.

故填答案:146.

點(diǎn)評(píng)：處理此類問(wèn)題時(shí),根據(jù)數(shù)表信息獲取數(shù)據(jù),并結(jié)合平均數(shù)與方差的公式加以分析與計(jì)算,進(jìn)而得以合理數(shù)據(jù)分析與決策判斷.本題結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,合理利用分層抽樣的平均數(shù)公式與方差公式是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

3 基于性質(zhì)特征進(jìn)行數(shù)據(jù)分析

通過(guò)概率與統(tǒng)計(jì)中相關(guān)公式、關(guān)系式等的應(yīng)用,獲得相關(guān)的數(shù)據(jù)信息,進(jìn)而加以合理數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用.

A.這次測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0

B.這次測(cè)試的成績(jī)的方差為10

C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在80分以下的人數(shù)相同

D.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)大致相同

分析：根據(jù)題設(shè)條件,利用正態(tài)密度曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,基于關(guān)系式的性質(zhì)特征,確定正態(tài)分布的平均值μ,標(biāo)準(zhǔn)差δ的值,利用密度函數(shù)及圖象的性質(zhì),并結(jié)合相關(guān)的選項(xiàng)加以分析與判斷.

而方差為σ2=100,即這次測(cè)試的成績(jī)的方差為100,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

結(jié)合正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=μ=90對(duì)稱,可知分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)大致相同,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)D正確.

故選擇答案:AD.

點(diǎn)評(píng)：處理此類涉及概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí),結(jié)合題設(shè)中對(duì)應(yīng)的概念或關(guān)系式,借助相關(guān)性質(zhì)特征、公式應(yīng)用等加以合理數(shù)據(jù)分析,從中挖掘?qū)?yīng)的參數(shù)信息與數(shù)據(jù)信息,進(jìn)而加以分析應(yīng)用與決策判斷.本題通過(guò)多選題的形式,利用數(shù)據(jù)分析,巧妙將正態(tài)分布中的眾多概念、公式等基本知識(shí)交匯與融合在一起,考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).

4 基于創(chuàng)新定義進(jìn)行數(shù)據(jù)分析

通過(guò)對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)中的創(chuàng)新定義(概念創(chuàng)新、公式創(chuàng)新等)的應(yīng)用,挖掘相關(guān)的數(shù)據(jù)信息,進(jìn)而加以合理數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用.

X01P1212

Y01P1-pp

分析：根據(jù)題設(shè)條件中散度的創(chuàng)新定義,結(jié)合離散型隨機(jī)變量X,Y的概率分布所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息,利用創(chuàng)新定義所對(duì)應(yīng)的公式構(gòu)建關(guān)系式,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來(lái)綜合應(yīng)用,進(jìn)而確定X,Y的散度D(X||Y)的取值范圍問(wèn)題.

故填答案:[0,+∞).

點(diǎn)評(píng)：處理此類創(chuàng)新定義的數(shù)據(jù)應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵在于正確把握創(chuàng)新定義的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì),綜合獲取的數(shù)據(jù)信息,利用創(chuàng)新定義中的公式、性質(zhì)特征等來(lái)合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式,并結(jié)合概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)來(lái)分析與處理,得以合理綜合應(yīng)用與決策處理.

在概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中,應(yīng)合理引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,增強(qiáng)用數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)和根據(jù)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì),全面提升數(shù)據(jù)分析能力,不斷提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力,增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).