重慶市綦江中學(xué) 晏炳剛 重慶市綦江區(qū)南州中學(xué) 涂元梅

“發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力,教學(xué)生學(xué)會思考,就要讓學(xué)生掌握研究問題的‘基本套路’,使數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人才,特別是創(chuàng)造性人才中發(fā)揮獨特作用.”[1-2]基本初等函數(shù)的研究遵循從實際背景到函數(shù)的定義與表示,再到圖象與性質(zhì),最后到函數(shù)的應(yīng)用這一基本套路.學(xué)生在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時,提煉了基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)的基本套路,在接下來的指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中鞏固這一基本套路,可以加深對基本初等函數(shù)基本研究套路的理解,也為后續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的基本套路打下基礎(chǔ).指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)的基本套路起到承上啟下的作用,為此本文中以高中數(shù)學(xué)2019新人教版必修第一冊教科書中“指數(shù)函數(shù)”為例整合教材內(nèi)容,設(shè)計教學(xué)案例來談這一基本套路.

1 內(nèi)容

課時內(nèi)容為指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).本節(jié)課是在學(xué)生經(jīng)歷了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本研究套路之后,研究另一個基本初等函數(shù).通過類比冪函數(shù)的研究方法,用兩個衰減模型和兩個增長模型來引出指數(shù)函數(shù)的概念,并對指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行研究,進(jìn)一步鞏固研究函數(shù)的基本套路.

2 目標(biāo)與達(dá)成

2.1 目標(biāo)

(1)通過豐富的實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際背景,能分析實例的共性并抽象出指數(shù)函數(shù)概念.

(2)能用描點法畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,能探索提煉指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點、漸近線等.

(3)結(jié)合對指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)等的系統(tǒng)研究,進(jìn)一步理解研究初等函數(shù)的基本套路,提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).

2.2 達(dá)成

達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志:

(1)通過紙的對折、游客增長率、碳14衰減及“一尺之錘,日取其半,萬世不竭”等實例,能抽象出y=ax(a>0,且a≠1)及a的意義.

(2)通過列表、描點、連線,合理觀察圖象,分類歸納出指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

(3)能用性質(zhì)解決簡單的大小比較問題.

(4)能體會函數(shù)研究的基本套路是從實例抽象概念—由解析式作圖識圖得性質(zhì)—性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

3 課時教學(xué)設(shè)計

3.1 概念獲得

問題1-1如圖1和圖2,一張A4紙,你能對折幾次?對折10次有多厚?對折40次呢?對折x次后,厚度是一張A4紙厚度的多少倍?

圖2

設(shè)計意圖：引出指數(shù)函數(shù)的增長模型,激發(fā)學(xué)生興趣,讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)知識來源于生活.

問題1-2(教材第112頁)B地景區(qū)人數(shù)每年增長11%,經(jīng)過x年后,B地景區(qū)的游客人數(shù)是開始年的多少倍?

設(shè)計意圖：用社會經(jīng)濟(jì)中的旅游經(jīng)濟(jì)再次引出刻畫指數(shù)增長模型問題.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的社會價值.

問題2-1當(dāng)生物死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率),大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律,生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系?

設(shè)計意圖：通過考古碳14衰減的一般規(guī)律,引出刻畫指數(shù)的衰減規(guī)律問題,為抽象得到指數(shù)函數(shù)遞減模型做準(zhǔn)備.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值.

問題2-2一尺之錘,日取其半,萬世不竭,問x天后,還剩多少尺?

設(shè)計意圖：通過傳統(tǒng)名句引出指數(shù)衰減模型即指數(shù)函數(shù)遞減模型,滲透歷史文化,增強(qiáng)文化自信.

設(shè)計意圖：四個問題分別從折紙長度看地月距離感受指數(shù)爆炸式增長,景區(qū)人口增長看社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實問題,考古碳14衰減的科學(xué)問題和傳統(tǒng)文化名言名句的數(shù)學(xué)含義方面引出四個指數(shù)函數(shù)模型,觀察四個函數(shù),由特殊到一般抽象出指數(shù)函數(shù)解析式特征進(jìn)而得到指數(shù)函數(shù)的概念.

思考1為什么規(guī)定底數(shù)a>0且a≠1?

設(shè)計意圖：對底數(shù)進(jìn)行深入思考,對指數(shù)函數(shù)概念進(jìn)行辨析,從純數(shù)學(xué)角度和現(xiàn)實角度理解底數(shù)a的范圍.

例1下列函數(shù)中,哪些是指數(shù)函數(shù)?

(1)y=x4; (2)y=-4x;

(3)y=2-x; (4)y=2x+1;

設(shè)計意圖：對指數(shù)函數(shù)概念進(jìn)行辨識,加強(qiáng)對指數(shù)函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識.

3.2 圖象與性質(zhì)

問題3學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念后,根據(jù)函數(shù)研究的基本套路,接下來該研究什么?(圖象與性質(zhì),即列表、描點、連線、識圖、得性質(zhì)等.)

設(shè)計意圖：回憶冪函數(shù)研究路徑與方法提出指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究路徑與方法.強(qiáng)化函數(shù)研究的一般套路,為接下來的學(xué)習(xí)建立先行組織者.

學(xué)生活動:填表1,學(xué)生用描點法畫出四個函數(shù)的圖象(見圖3),看圖象完成表2的填寫.

表1

表2

圖3

師生活動:學(xué)生參與畫圖,感受底數(shù)對圖象的影響.在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生能觀察圖象的單調(diào)性、特殊點、漸近線,利用數(shù)形結(jié)合理解函數(shù)定義域、值域等,并能完成表格填寫.

設(shè)計意圖：通過大量畫圖,比較研究不同種類指數(shù)函數(shù)的圖象,歸納概括它們的主要共同性質(zhì)特征,并能數(shù)形結(jié)合、直觀地分析出各類指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì).

思考2同一直角坐標(biāo)系下第一象限內(nèi),底數(shù)不同的幾個指數(shù)函數(shù)圖象有什么特點?

思考3根據(jù)這組圖象,還能發(fā)現(xiàn)什么?

設(shè)計意圖：通過觀察和分析同一直角坐標(biāo)系下第一象限內(nèi)圖象的直觀特征,得到“底大圖高”和“底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”.形成由圖象特征到圖象結(jié)論的轉(zhuǎn)化.

例2如圖4所示,曲線C1,C2,C3,C4分別是指數(shù)函數(shù)y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖象,則a,b,c,d,1的大小關(guān)系是______.

圖4

設(shè)計意圖：強(qiáng)化理解底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響,以及指數(shù)函數(shù)“底大圖高”的特征.

例3比較下列各組值的大小:

(7)0.20.3,0.30.3,0.30.2.

師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生歸類分析.比較同底數(shù)的兩個值時,直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決;同指數(shù)的兩個值可以利用一個冪函數(shù)的單調(diào)性,或者利用兩個不同指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;底數(shù)與指數(shù)都不同時,可利用兩個不同的指數(shù)函數(shù)來解決,或者找中間數(shù)進(jìn)行比較.

設(shè)計意圖：通過數(shù)值的大小比較,進(jìn)一步深入理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.通過底數(shù)不同的兩個值的大小比較,進(jìn)一步鞏固“底大圖高”的結(jié)論;通過底數(shù)與指數(shù)都不同的兩個值的大小比較,加強(qiáng)理解指數(shù)函數(shù)過特殊點及單調(diào)性等圖形特征.

3.3 課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真回顧、總結(jié)本課的主要內(nèi)容,并回答以下三個問題:

(1)研究函數(shù)的基本套路是什么?

(2)研究函數(shù)圖象時,看什么?怎么看?

(3)從本節(jié)課來看,函數(shù)的圖象與性質(zhì)有什么用途?

設(shè)計意圖：通過問題(1),建立起函數(shù)研究的基本套路,為后面對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的研究打下基礎(chǔ);通過問題(2) 再次強(qiáng)化函數(shù)圖象的作法,以及如何觀察圖象特征得到函數(shù)的性質(zhì);通過問題(3)強(qiáng)化函數(shù)圖象特征,強(qiáng)化使用函數(shù)特征解決問題,形成函數(shù)研究的基本套路——從概念到圖象與性質(zhì),再到應(yīng)用解決問題.

3.4 布置作業(yè)

根據(jù)課堂實際教學(xué)情況,從教科書習(xí)題4.2中選取第2,3,4,6題作為作業(yè).

設(shè)計意圖：考查學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念、圖象與性質(zhì)的理解與掌握.