江蘇省清浦中學 戴建峰

從近年高考數(shù)學試題可以看出,命題切實落實“五育并舉”的教育方針,引領數(shù)學教學與改革,一些涉及并充分體現(xiàn)德智體美勞等“五育”的考題均有出現(xiàn),已經(jīng)成為近年數(shù)學高考中的一道亮麗“風景線”.良好的審美素養(yǎng)影響著每個人對社會、他人及事物積極的人生態(tài)度,同時,良好的審美素養(yǎng)對人的全面發(fā)展及創(chuàng)造能力的培養(yǎng)等也十分重要.高考數(shù)學試題將對數(shù)學中的美育進行合理設置,喚起學生對宇宙、世界、自然的熱愛,激發(fā)學生的創(chuàng)新靈感與學習數(shù)學的熱情,引領并促進良好的審美素養(yǎng)的養(yǎng)成.

1 數(shù)學的簡潔美

數(shù)學中的很多定義、定理、公式等都給人以簡潔之美,精煉、清晰、和諧、統(tǒng)一,而在數(shù)學解題中,合理尋找、探索、欣賞、應用以及品味簡潔優(yōu)美的解法也給人以一種美的感受.

例1〔2023年教育部新課標四省(云南、吉林、黑龍江、安徽)高考適應性考試數(shù)學試卷(2月)〕已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( ).

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

分析：直接利用題目條件,選取參數(shù)b的特殊值,結(jié)合代數(shù)式的關系與運算來確定對應的值,進而通過特殊值的比較與分析來加以合理判斷,思路簡潔,解題快捷.

解析：依題意,令b=2,則有a=log5(2b+3b)=log513,c=log3(5b-2b)=log321.

此時有ac-b>0,亦即|a-c|>|b-c|,可以排除選項C,D.

故選擇答案:B.

點評：解決此類問題常用的方法就是嚴謹?shù)耐评砼c分析,而巧妙借助特殊值進行分析與判斷,破解起來更為簡潔快捷,判斷起來效果更佳,方便易操作.特別在特殊值的選取上,有時還需要多次取特殊值來分析,突顯特殊問題的簡潔美,但無法完整解答所有滿足條件的常數(shù)的取值情況.

2 數(shù)學的對稱美

數(shù)學中的一些定義、公式、圖形、關系式等都蘊含著極為豐富的對稱美,如點(或中心)對稱、直線(或軸)對稱、對仗、對偶等,而在數(shù)學解題中,合理借助對稱、對偶等極具對稱美的數(shù)學知識,常常能發(fā)現(xiàn)一些具有事半功倍效果的優(yōu)美解法.

分析：根據(jù)題意,結(jié)合條件中對應的恒成立的不等式的結(jié)構(gòu)特征,合理數(shù)學抽象,進行必要的類比與聯(lián)想,化陌生為熟悉,轉(zhuǎn)化為對應向量數(shù)量積的坐標關系式,利用雙曲線的對稱性質(zhì),構(gòu)建圖形,利用圖形的直觀性,通過平面向量的數(shù)量積以及雙曲線的漸近線等相關知識來分析與處理.

解析：如圖1,根據(jù)雙曲線的對稱性質(zhì),設點P2(x2,y2)關于x軸的對稱點為P3(x2,-y2),則知點P3仍在雙曲線的右支上.

圖1

所以實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).

故填答案:[1,+∞).

點評：利用平面解析幾何的相關知識與其他相關知識的交匯與融合,加以巧妙聯(lián)想與合理類比等,通過題設條件及其對應的結(jié)構(gòu)特征、幾何意義等,綜合數(shù)學中一些基本的概念或定義、基礎知識、定理與公式等,利用對稱點或?qū)ΨQ思維,探尋對稱的幾何特征,展示數(shù)學的對稱美.抓住關鍵,巧妙對稱,合理轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合.

3 數(shù)學的奇異美

數(shù)學中的一些知識、結(jié)論或方法極具奇異性,出乎意料之外,又在情理之中,而在數(shù)學解題中,借助“之外”與“之中”之間的矛盾與統(tǒng)一,合理轉(zhuǎn)化,跌宕起伏,情趣盎然,平凡之中,凸呈奇異.

分析：根據(jù)題目條件,利用極端思維,以特殊代替一般,結(jié)合動點P在橢圓C上(第一象限)運動時所帶動的點Q,A,B等相關點的變化,取極端特殊情況——點A與B重合,利用特殊情況加以合理推理與分析,有效展示數(shù)學的奇異美,達到快捷分析與求解問題的目的.

解析：根據(jù)極端思維,取特殊情況,點A與B重合,此時B(a,0).

故選擇答案:D.

點評：借助極端思維中的極端位置法處理,以特殊位置代替一般位置,合理交匯“動”與“靜”的聯(lián)系與變換,化一般情況為特殊情況,從而借助數(shù)學中的奇異思維來解決一般性問題,奇異完美,合理巧妙,簡單快捷.

4 數(shù)學的古典美

數(shù)學具有悠久的歷史,而數(shù)學文化類試題又是近年高考的熱點之一,經(jīng)常結(jié)合數(shù)學文化或現(xiàn)實生活中的問題背景進行創(chuàng)新情境設置.在數(shù)學解題中,充分利用數(shù)學知識、思想或方法來詮釋其古典美,挖掘內(nèi)涵,體會美感.

例4(2023屆江蘇省蘇北七市一模數(shù)學試卷)2022年神舟接力騰飛,中國空間站全面建成,我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對接,需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓,其遠地點(長軸端點中離地面最遠的點)距地面S1,近地點(長軸端點中離地面最近的點)距地面S2,地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長為( ).

分析：根據(jù)題設條件,結(jié)合數(shù)學文化與空間知識的創(chuàng)新設置,通過對遠地點與近地點對應概念的理解,結(jié)合橢圓中相關參數(shù)之間的關系,合理轉(zhuǎn)化與應用,進而得以確定橢圓的短軸長問題,在此過程中借助數(shù)學建模充分展示數(shù)學的古典美.

解析：依題可知a+c=S1+R,a-c=S2+R.

故選擇答案:D.

點評：此類以圓錐曲線中的橢圓等為基本場景創(chuàng)設的數(shù)學文化問題,巧妙融入神舟飛船的應用場景,借助數(shù)學知識與美育教育加以交匯融合,科學數(shù)學建模,利用橢圓中相關要素之間的關系,合理構(gòu)建關系式是解決問題的重要之處,倡導數(shù)學應用與數(shù)學美感.

“世界不缺乏美,而是缺乏對美的發(fā)現(xiàn)”,數(shù)學也一樣不缺乏美,數(shù)學美數(shù)不勝數(shù).

高考作為我國教育體系的一個重要環(huán)節(jié),必須切實服務于我國教育堅持“一核引領”(立德樹人),倡導“五育并舉”(德智體美勞)的根本目標.借助美育滲透,以美感人,命制與核心考點相關聯(lián)的數(shù)學題目,體現(xiàn)數(shù)學的應用性和創(chuàng)新性,強調(diào)理性思維,突出數(shù)學應用,引領數(shù)學教學與數(shù)學學習,意在全面考查學生數(shù)學能力,培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng).