山東省威海乳山市第二中學(xué) 于水英 陳 麗 王 玲

1 試題呈現(xiàn)

(1)求W的方程;

2 試題分析與思維導(dǎo)圖

2.1 第(1)問的分析

第(1)問難度較低,直接利用拋物線定義或者將題干直接“翻譯”成數(shù)學(xué)符號(hào)語言就可以得出來.

具體解法可以掃碼(圖2)觀看.

2.2 第(2)問的分析與思維導(dǎo)圖

析題:第(2)問可以抽象為相鄰的弦長(zhǎng)和的最小值問題,通過條件轉(zhuǎn)化化歸得到鄰邊垂直,因此本問可以分三個(gè)步驟考慮:步驟一弦長(zhǎng)和的表示,步驟二變量的統(tǒng)一化,步驟三研究最小值.不妨設(shè)A,B,C三點(diǎn)在W上,則可得到下面的思維導(dǎo)圖(圖1):

圖1

【步驟1】弦長(zhǎng)和的表示

解析幾何中的弦長(zhǎng)問題,通常是從代數(shù)角度出發(fā),或設(shè)線,或設(shè)點(diǎn);亦可以利用參數(shù)方程;當(dāng)然個(gè)別情況會(huì)從圖形本身出發(fā),通過幾何角度來解決弦長(zhǎng)問題.

【步驟2】變量統(tǒng)一化

步驟1得到的弦長(zhǎng)和含有多個(gè)變量,多變量問題在高中階段常用的方法是減元,常見的減元方法有同構(gòu)法、換元法、主元法、放縮法.觀察①式發(fā)現(xiàn),這個(gè)式子含兩個(gè)變量且內(nèi)部結(jié)構(gòu)不對(duì)稱,很容易想到主元法.若以k為主元式子形式復(fù)雜,以t為主元式子對(duì)稱且為雙絕對(duì)值和的形式,故選t為主元看成雙絕對(duì)值和的形式;同理③式以a為主元也是雙絕對(duì)值和的形式.所以對(duì)于①式可用去絕對(duì)值的方法得到

圖2

圖3 解題思路

【步驟3】研究最小值

求最小值常用的方法有求導(dǎo)法、二元基本不等式法、三元基本不等式法、柯西不等式法等.

對(duì)于⑤式,當(dāng)k>1時(shí),除了換元還可以上下同時(shí)除以k6,利用同構(gòu)的思想,就可以得到和第一段相同的式子,直接得到結(jié)論.

提升：這道題的拋物線方程并非標(biāo)準(zhǔn)形式,但可以通過平移得到y(tǒng)=x2,因?yàn)槠揭撇⒉挥绊懼荛L(zhǎng)的求解,且問題處理方式與前面都是一致的,得到的式子也相同,所以這道題也可以先平移再運(yùn)算.

說明:沒有在文章中呈現(xiàn)的結(jié)論的證明、題目的具體解法,請(qǐng)掃碼(圖2)觀看.

3 試題感悟

3.1 厘清算理,提煉算法

本題指導(dǎo)學(xué)生將“所求”轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)和的最小值,從“已知”得到垂直關(guān)系,最終化歸為兩條垂直的弦長(zhǎng)度和的最小值問題.先從步驟1即弦長(zhǎng)的表示入手,不同入手方式形成不同的結(jié)果;研究多變量函數(shù)的最小值,統(tǒng)一變量是必經(jīng)之路,于是進(jìn)入步驟2;最后步驟3就是關(guān)鍵的運(yùn)算環(huán)節(jié).這樣從算理到算法的思維過程,層層剝殼,培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維能力.

3.2 融合滲透,提升素養(yǎng)

通過題意分析講解,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.從表示弦長(zhǎng)的設(shè)線法、設(shè)點(diǎn)法的代數(shù)思維,到直線參數(shù)方程法、設(shè)角法的幾何思維,培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等能力;在步驟2統(tǒng)一變量中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力;在步驟3中,培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力.再者,整個(gè)過程用思維導(dǎo)圖的形式梳理,讓思維可視化,提升學(xué)生的關(guān)鍵能力.

3.3 善于總結(jié),提煉升華

高中數(shù)學(xué)多數(shù)知識(shí)難懂,不好記憶,教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)所學(xué)知識(shí),幫助學(xué)生理解問題.

4 試題鏈接

(1)求曲線C的方程;