山東省桓臺第一中學 蘇同安 李曉玲

基于高中數(shù)學思維能力培養(yǎng)的“全景式”數(shù)學問題設計的研究,是針對高中數(shù)學各章節(jié)內容,研究設計出體現(xiàn)知識性質、思想方法、思維過程之全景的“全景式數(shù)學問題”(簡稱“一題釋全景”).旨在用“全景問題”解決“題海戰(zhàn)術”帶來的弊端,減輕師生負擔,提高學生學習興趣和教學效率效果,從而全面有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力,促進各層面學生核心素養(yǎng)的提升和全面成長;同時,也為相關的教育教學理論落實運用提供“載體”支持.

1 全景式數(shù)學問題的概念

(1)全景

全景是指所涉及內容的基本知識性質、基本問題類型、基本思想方法、動態(tài)思維過程的全部或問題由易到難、層層遞進的結構全貌.

(2)全景式數(shù)學問題

全景式問題是針對某階段(本研究是高中階段)的數(shù)學各章節(jié)內容,能體現(xiàn)“知識問題、思想方法、思維過程”的全景且由易到難、層層遞進的“一道題”或“一個系列問題”,簡稱“一題釋全景”.

有的全景問題主要體現(xiàn)該章節(jié)的知識性質或問題類型的全景,有的主要體現(xiàn)思想方法或思維過程的全景,有的則兼而有之.教學中應根據各章節(jié)內容特點及關系研究設計全景問題,考慮是需要一個全景問題,還是需要多個或一系列全景問題來逐步體現(xiàn)各類全景.

2 全景式數(shù)學問題設計的意義

全景式數(shù)學問題設計的意義如下:

(1)培養(yǎng)數(shù)學思維能力,提升數(shù)學核心素養(yǎng).

(2)優(yōu)化數(shù)學思維品質,突破數(shù)學思維障礙.

(3)研創(chuàng)理論運用載體,支持相關方略落實.

(4)破解數(shù)學題海戰(zhàn)術,減輕師生教學負擔.

(5)激發(fā)學生學習興趣,提高學生學習效率.

(6)滿足各層學生需求,提升學生學習效果.

(7)提高教師研創(chuàng)能力,助推教師專業(yè)成長.

3 全景式數(shù)學問題設計的原則

(1)科學性

全景問題的設計,要遵循教育教學的科學規(guī)律,以相應的教育理論為指導,以高中數(shù)學課程標準為依據,運用科學合理的思想和方法;要充分體現(xiàn)高中數(shù)學教學的基本理念和內容目標,注重培養(yǎng)數(shù)學思維能力,提升數(shù)學核心素養(yǎng);要符合高中學生的認知特點,有利于學生的成長和發(fā)展.

(2)全面性

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》的基本理念中要求:高中數(shù)學課程要面向全體學生,實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”[1].

全景問題設計的“全面性”包括三個方面:一是針對所有學生,促進各層面學生全面成長;二是問題要全面,各章節(jié)都要設計出全景問題;三是問題要體現(xiàn)以上所述的全景.

(3)層次性

全景問題設計的“層次性”體現(xiàn)在三個方面:一是適合各層面學生的學習和探究,體現(xiàn)“最近發(fā)展區(qū)”等相關理論的有效落實運用;二是問題難易的層層遞進;三是數(shù)學思維的層層遞進.全景問題既可展現(xiàn)知識性質、思想方法的逐步生成和逐層聯(lián)系,體現(xiàn)知識性質、思想方法之全景,又可基于當前問題,進行追根求源、縱橫拓展的全面學習和逐步思悟,體現(xiàn)思維過程之全景.

(4)多元性

人們的數(shù)學思維方式和智能都是“多元”的,而且數(shù)學思維能力是數(shù)學核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn).比如,“抽象概括思維能力”可體現(xiàn)“數(shù)學抽象”核心素養(yǎng);“邏輯思維能力”可體現(xiàn)“邏輯推理”核心素養(yǎng);“形象思維能力”及“空間想象能力”可體現(xiàn)“直觀想象”核心素養(yǎng);“數(shù)學運算能力”可體現(xiàn)“數(shù)學運算”核心素養(yǎng);等等.數(shù)學核心素養(yǎng)、數(shù)學思維能力的提升和多元智能的全面發(fā)展是一個不可分割的有機整體,全景問題的設計應滿足這個整體的提升和發(fā)展.

(5)探究性

“數(shù)學問題”是培養(yǎng)學生素養(yǎng)與能力的重要“載體”.利用數(shù)學問題進行學習思考的本質就是一種重要的、有意義的數(shù)學探究活動.探究活動的質量不在于“題量”的多少,關鍵在于激發(fā)學生的探究愿望以及“思維量”的大小,所以設計的全景問題,要能充分體現(xiàn)激發(fā)學生“思維量”的探究性過程.

(6)創(chuàng)新性

全景問題設計要在體現(xiàn)教材的基本內容、要求的基礎上,滲透“大單元教學理念”,體現(xiàn)問題模式的創(chuàng)新.同時為相關教育理論方略的落實提供全面的課程資源支持,在理論方面體現(xiàn)出創(chuàng)新性.

實踐方面的創(chuàng)新性.可解決“題海戰(zhàn)術”帶來的弊端,提高學生學習興趣和效率,減輕師生負擔,全面有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力[2].

4 全景式數(shù)學問題設計的策略

(1)設計“知識問題”方面的全景問題,體現(xiàn)數(shù)學思維全面性的培養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》的基本理念中,特別強調了提升、發(fā)展學生“數(shù)學學科核心素養(yǎng)”的重要性.

數(shù)學思維能力是對數(shù)學學科核心素養(yǎng)所包含的六個維度要求的具體體現(xiàn),并形成一個有機整體,教學中應注重數(shù)學思維能力的全面培養(yǎng),不能追求片面.

設計“知識問題”方面的全景問題,融入數(shù)學思維這個有機整體,全面體現(xiàn)出對邏輯推理能力、抽象概括能力、空間想象能力、數(shù)學運算能力等數(shù)學思維能力的培養(yǎng),助推學生數(shù)學思維品質的全面提升.

(2)設計“思想方法”方面的全景問題,體現(xiàn)數(shù)學思維靈活性的培養(yǎng)

數(shù)學思維的靈活性是指能根據客觀條件或事物的發(fā)展變化,善于多方位思考,及時恰當轉變思維方向、擺脫思維定式,提出解決問題的新方略或尋找新的解題途徑.體現(xiàn)出從不同角度、方面,用多種方法來分析、解決問題的能力[3].

數(shù)學思維的靈活性占據數(shù)學思維品質的重要位置,體現(xiàn)數(shù)學思維能力培養(yǎng)和靈活運用知識分析問題、解決問題的情況,對其培養(yǎng)非常重要.

設計“思想方法”方面的全景問題,可培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力,提升數(shù)學思維靈活性的品質.

(3)設計“思維過程”方面的全景問題,體現(xiàn)數(shù)學思維深刻性的培養(yǎng)

數(shù)學思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平,以及思維活動的廣度、深度和難度.體現(xiàn)把握問題本質,對數(shù)學問題進行追根求源、縱橫拓展的思維能力,并在此基礎上進行探索創(chuàng)新的能力.

數(shù)學思維的深刻性占據數(shù)學思維品質的核心位置,體現(xiàn)透過現(xiàn)象看本質及舉一反三、觸類旁通的思維水平.對數(shù)學思維深刻性進行培養(yǎng)非常重要.

設計“思維過程”方面的全景問題,可培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力,提升數(shù)學思維深刻性的品質.

說明：由于數(shù)學思維的各種品質是一個有機的整體,因此設計全景問題,對思維的靈活性、深刻性進行培養(yǎng),定會同步提升其他的思維品質,如思維的發(fā)散性、敏捷性、創(chuàng)新性及批判性.上文只是以思維的靈活性、深刻性為重點進行分析說明.

5 高中數(shù)學全景問題設計舉例及設計說明

針對高中數(shù)學各章節(jié)內容,依據全景問題設計模式,設計出對應的全景式問題.下面以立體幾何為例,設計一個立體幾何全景問題,并給出設計說明.

5.1 全景式問題案例

如圖1,四邊形ABCD是直角梯形,CD⊥BC,且AD∥BC,BC=2AD;四邊形BCEG是梯形,且BG∥CE,CE=2BG;四邊形DCEF是平行四邊形.

圖1

(1)求證:AG∥平面BDE.

(2)若BE=4BG,且∠EBG=60°,求證:平面DCEF⊥平面ABCD.

(3)在(2)的條件下,FB⊥DE,∠FDC=60°.求AG與平面BEF所成角的正弦值和二面角B-EF-D的余弦值.

(4)在(3)的條件下,線段AG上是否存在一點M,使得CM∥平面EFG?若存在,確定M的位置;若不存在,請說明理由.

(6)在(5)的條件下,且BG=1.若N是線段BE上一點,且二面角N-AC-B的大小為30°,試確定點N的位置,并求點N到平面FCB的距離及三棱錐N-FCB的體積.

(7)在(6)的條件下,若P是直線EF上的點,求EA與平面PBC所成角正切值的最大值;若P是以DC,DA,DF分別為長、寬、高的長方體棱上的一點,且滿足|PD|+|PE|=m(m>0)的點P的個數(shù)為4,求m的取值范圍.

(9)在(6)的條件下,取BC中點Q,動點W在以CD為底面半徑的圓錐BC的底面內(包括圓周),若DQ⊥WQ,求點W形成的軌跡長度;取BD中點S,求四面體EBCS外接球的體積及該球被幾何體的面ABCD,CDFE所截得的圓弧長之比;取CE中點T,若四面體TBCS內切球的內接圓錐(其高過球心)與內接正三棱柱的底面在同一平面內,求該圓錐的側面積與該正三棱柱的體積之比的最小值.

5.2 案例設計說明

該全景問題,以一個可變的“組合體”為載體,以兩條互融的“知識線”為導向,自然融合了點、線、面、體等的知識性質,動態(tài)展現(xiàn)了它們之間的各種關系及演變,形成知識性質全景,并層層遞進演變出問題類型全景,進而詮釋出思想方法、思維過程全景.

主線之一是重要的“平面圖形”與“點、線、面”的融合及關系演變.問題中的“四邊形EFDC”隨著問題的層層推進逐步演變?yōu)槠叫兴倪呅巍⒘庑?、矩形、正方形等各種四邊形;另一重要圖形“梯形ABCD”也相伴同行;直線CE與平面ABCD、平面EFDC與平面ABCD的關系也隨之形成“從不垂直到垂直的演變”.各要素演變與線線、線面、面面關系及演變密切相連.

主線之二是重要的“幾何體”與“點、線、面”的融合及關系演變.在重要的平面圖形與點線面關系的支持下,逐步演變出棱錐、棱柱、圓錐、球等重要幾何體及相關幾何體的“接切”關系,相關的重要元素如體積、面積、圓弧、側棱也相伴相隨.對這些重要元素的研究與求解,與點、線、面關系中的“距離”“角度”等重要量又緊密相連、不可分割.

(1)建構知識問題全景,體現(xiàn)思維全面性的培養(yǎng)

問題類型全景與知識性質全景同行,既有判斷、論證各種關系的基本問題,又有利用各種關系進行綜合性推理論證的問題;既有關于距離、角、面積、體積等重要量的運算求解問題,又有關于距離、角、面積、體積等要素的范圍最值的探究性問題;既有“正向型”典型問題,又有“逆向型”開放問題.這些問題不僅包含立體幾何各要素,還與代數(shù)要素產生密切聯(lián)系.

問題(1)與(2),是關于“平行垂直”的正向推理論證的基本問題,問題(3)～(5)是關于“平行垂直”的逆向推理運用與“異面角”“線面角”“二面角”的運算求解相融合的問題,證中有算,算中有證,充分體現(xiàn)出對邏輯推理、數(shù)學運算、空間想象等能力的全面培養(yǎng);綜合問題(6)～(9),逐步融入多面體與旋轉體,加入關于距離、長度、面積、體積等元素的分析計算和相關量最值范圍的推演探究,在培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算、空間想象等能力的基礎上,體現(xiàn)對抽象概括能力、數(shù)據分析能力的培養(yǎng),助推數(shù)學思維品質的全面提升.

(2)融入思想方法全景,體現(xiàn)思維靈活性的培養(yǎng)

該全景問題,以全面豐富、包容開放的背景和設問,融入了數(shù)學思想方法的全景,體現(xiàn)出對數(shù)學思想方法的對比選擇和全面思悟.

問題(1)的論證,線線平行法、面面平行法、向量法均可體現(xiàn),各方法中還有不同思路的選擇;問題(2)中的垂直論證,可融入“算”的方法;問題(3)～(5)的解決,則是“幾何推演”與“向量運算”兩種主要思想方法的碰撞與融合;問題(6)～(9)中關于最值范圍的問題,更是與函數(shù)、三角、不等式,甚至是圓錐曲線等數(shù)學核心知識相結合,廣泛體現(xiàn)了等價轉化、函數(shù)與方程、數(shù)形結合等數(shù)學主要思想方法的運用及本質聯(lián)系.

此全景問題,可體現(xiàn)從不同角度用多種方法或選擇恰當方法分析解決問題的能力,助力突破思維定式障礙,提升數(shù)學思維靈活性的品質.

(3)生成思維過程全景,體現(xiàn)思維深刻性的培養(yǎng)

“思維量”比“題量”更重要,由可變組合體和兩條互融的知識線及問題與方法的全景,可體悟到全景問題設計注重數(shù)學思維的生成過程,關注數(shù)學思維的邏輯性、連續(xù)性和遞進性.

問題(7)中求m的范圍問題,既可看作從三維空間到二維平面的追根求源,又可縱橫拓展將問題一般化、抽象化,總結規(guī)律方法,還可與代數(shù)、三角產生聯(lián)系,展現(xiàn)數(shù)學知識的廣泛聯(lián)系和本質內涵,體現(xiàn)數(shù)學思維及思想方法的廣泛性、靈活性和深刻性.

該全景問題,能夠讓學習者對立體幾何、空間向量及相關的數(shù)學知識性質、思想方法,有一個全景式思悟和全面深刻的理解把握,進而做到舉一反三、熟練靈活運用,推動數(shù)學思維走向廣泛和深刻.