冉維斌，趙博，張存山，魯炳林，楊鵬，初宇康

(1.山東理工大學電氣與電子工程學院，山東淄博 255000；2.山東山博電機集團有限公司，山東淄博 255200)

0 前言

隨著環(huán)境污染與能源枯竭等問題的產(chǎn)生，電傳動工程機械逐漸替代內(nèi)燃式工程機械成為主流[1]。起重機作為升降和移動重物的工程機械，需要循環(huán)完成定點取物、起升重物、定點卸載和空載降落，要求頻繁起停[2]?，F(xiàn)今，驅動源采用異步電機和永磁同步電機，但異步電機長期低速運行下?lián)p耗大、效率低；永磁同步電機高溫退磁會降低電機使用壽命，且永磁體材料珍貴，制造成本高[3]。開關磁阻電機結構簡單、無永磁體、起動轉矩高、起動電流小，很好地滿足了起重機這類工程機械的需求。

開關磁阻電機獨特的雙凸極結構，使磁路存在非線性化與局部飽和現(xiàn)象，電磁關系復雜[4]。為描述電感等特性，大多通過有限元仿真來實現(xiàn)[5-7]，但在設計初期為滿足電機額定性能，需多次調整結構參數(shù)，有限元仿真耗時長，無法快速反應，故在設計初期采用磁路解析法[8]確定參數(shù)。

UNNEWEHR、KOCH[9]最早提出用線性化方法來描述電機性能；吳建華等[10]進行了定轉子極臨界重合和半重合位置處的解析計算，提出了附加氣隙和動態(tài)梯形磁極的方法，降低了計算誤差；諸嘉慧等[11]改進了磁參數(shù)法，精確了磁導分量計算，得到了誤差更小的最小電感解析公式；裴麗娜等[12]用磁路分割法推導出了高速4/2極開關磁阻電機磁化曲線計算式，并通過仿真驗證了該計算準確性；王永輝[13]詳細推導了傳統(tǒng)6/4極開關磁阻電機最小電感與最大電感位置處的磁導，得到了符合樣機需要的繞組電感和電磁轉矩；ZHANG等[14]推導出了外轉子開關磁阻電機在考慮磁飽和與端部電感下相電感的計算式；DAVARPANAH、FAIZ[15]提出了氣隙磁導的連續(xù)模型，能更簡便精確地得到電感與轉矩的計算值；VERMA等[16]改進磁通管法得到了最小電感與最大電感位置處氣隙磁導的計算式。

本文作者對25 kW三相12/8極開關磁阻電機最小電感與最大電感位置處的磁導分量進行解析計算，得到對應位置處電感的實際值，并通過電感與轉子位置角的對應關系，得到了電感的解析曲線，最后進行了仿真驗證。

1 基本理論

1.1 數(shù)學模型

在忽略鐵耗與互感的情況下，開關磁阻電機的數(shù)學模型[4]如下所示。

(1)電壓平衡方程

U=Ri+E

(1)

式中：U為相電壓；R為相電阻；i為相電流；E為反電動勢，公式如式(2)所示：

(2)

式中：ψ(i,θ)為相繞組磁鏈；L(i,θ)為相電感。

(2)機械運動方程

(3)

式中：Te為電磁轉矩；J為轉動慣量；ωr為轉子角速度，公式如式(4)所示；θ為轉子位置角；B為摩擦因數(shù)；TL為負載轉矩。

(4)

(3)機電聯(lián)系方程

(5)

式中：W′為磁共能，公式如式(6)所示：

(6)

假設忽略磁飽和的影響，式(2)和式(6)可分別化簡為式(7)和式(8)：

(7)

(8)

聯(lián)合式(5)和式(8)，可求得線性模型下的電磁轉矩公式，如式(9)所示：

(9)

電磁轉矩與電流的平方、電感變換率成正比，電磁轉矩方向與電流方向無關，僅由電感變化率決定。若使電機運行于電動狀態(tài)，則電磁轉矩必須為正，由式(9)可知，電流不為零且dL/dθ>0，即電感上升階段時電流導通，故電機運行于電動狀態(tài)。

1.2 電感模型

由上述數(shù)學模型可知，電感是描述電機性能的基礎，實際開關磁阻電機的電感是關于電流和轉子位置角的非線性函數(shù)。為突出特性簡化計算，對電感進行線性假設，使電感僅與轉子位置角有關，令坐標原點θ1=0°，電感公式如式(10)所示：

(10)

(11)

式中：Lmin為最小電感；Lmax為最大電感；θ1為定子勵磁極中心線與轉子槽中心線重合位置；θ2為定子勵磁極與轉子極臨界重合位置；θ3為定子勵磁極與轉子極臨界完全重合位置；θ4為定子勵磁極與轉子極臨界脫離完全重合位置；θ5為定子勵磁極與轉子極臨界相離位置；θ6為定子勵磁極中心線與轉子槽中心線經(jīng)過一個電感周期后再次重合位置。

令開通角為θon，關斷角為θoff，則相電感與轉子位置角的關系曲線以及相電感與相電流的對應曲線如圖1所示。由圖1(a)可知：若知曉最小電感、最大電感與轉子特殊位置角的實際數(shù)值，即可求得相電感的解析曲線。

圖1 相電感(a)與相電流(b)對應曲線

1.3 電機結構參數(shù)

采用三相12/8極開關磁阻電機為研究對象，額定功率為25 kW，額定電壓為400 V，額定轉速為3 000 r/min，電機結構參數(shù)如表1所示。

表1 電機結構參數(shù)

2 最小電感解析計算

在磁導分量解析計算時，為簡化分析，作如下假設[17]：(1)忽略磁飽和與互感，只考慮單相通電情況；(2)忽略端部效應，不計端部電感的影響；(3)假設磁力線由直線和圓弧組成；(4)假設磁極中的磁力線平行于極軸；(5)假設軛中的磁力線為1/4圓??；(6)假設轉軸完全不導磁。

最小電感出現(xiàn)在定子勵磁極中心線與轉子槽中心線重合位置，磁場關于勵磁極呈軸對稱分布，由于磁力線在氣隙內(nèi)路徑較長，且硅鋼片磁導率遠大于真空磁導率，故可忽略硅鋼片的磁導計算。氣隙內(nèi)的磁力線可分為5種路徑，具體分布如圖2所示，路徑1包含所有的漏磁通，包括從定子勵磁極的極邊經(jīng)槽空間到定子軛和定子相鄰極的磁通，路徑2、3、4、5為主磁通。對各路徑的磁導分量分別進行計算。

圖2 最小電感處等效磁路

每極繞組的磁鏈為

ψ=2(ψ1+ψ2+ψ3+ψ4+ψ5)

(12)

式中：ψ1、ψ2、ψ3、ψ4、ψ5分別為路徑1、2、3、4、5的磁鏈。

根據(jù)圖2可求得，相電感為

(13)

式中：Lj為各路徑電感；Nph為相繞組匝數(shù)；μ0為真空磁導率；Pj為各路徑磁導分量。

(14)

2.1 路徑1磁導分量計算

圖3為路徑1的磁路詳圖，為簡化計算用直線段CH替代圓弧CH，假定路徑1內(nèi)充滿勵磁導體。

圖3 路徑1磁路詳圖

圖4 路徑2磁路詳圖

單元磁路l1的長度為

(15)

單元磁路l1的繞組匝數(shù)為

(16)

單元磁場強度的通式為

Hx=Nxi/lx

(17)

將式(15)(16)代入式(17)化簡得，路徑1的單元磁場強度為

(18)

單元磁鏈的計算通式為

dψx=Nxdφx=NxBxdSx=Nxμ0HxlFedx

(19)

將式(16)和式(18)代入式(19)化簡求得，路徑1單元磁鏈的公式為

(20)

將式(20)代入下式可求得路徑1的電感為

(21)

將式(21)代入式(14)化簡，可求得路徑1的磁導分量，如式(22)所示：

(22)

2.2 路徑2磁導分量計算

假設路徑2是以C2為圓心的同心圓弧，計算步驟與路徑1的計算基本一致。

單元磁路l2的長度為

lx=π/2xx∈[h，n]

(23)

單元磁路l2的匝數(shù)為

(24)

將式(23)(24)代入式(17)化簡可得，單元磁場強度為

(25)

將式(24)(25)代入式(19)可化簡求得路徑2的單元磁鏈，如式(26)所示：

(26)

由式(26)可求得路徑2的電感，如式(27)所示。根據(jù)路徑2的電感結合式(14)，可求得路徑2的磁導分量，如式(28)所示：

(27)

(28)

2.3 路徑3磁導分量計算

由圖5可知，路徑3是由以A、B為圓心的兩條圓弧段和垂直于對角線C2C4的直線段組成，其中假設∠ABC2、∠ABA′取值為

圖5 路徑3磁路詳圖

∠ABC2=arctans/h

(29)

∠ABA′=2arctans/h

(30)

故以A、B為圓心的圓弧段半徑為

(31)

由圖5可知x∈[0，e]，單元磁路l3的長度為

(32)

由于磁通路徑3所經(jīng)過的繞組面積比整個繞組面積要小得多，故假定匝數(shù)為極繞組匝數(shù)。

將式(32)和極繞組匝數(shù)代入式(17)，結合式(19)可化簡求得路徑3的單元磁鏈為

(33)

由式(33)可得，路徑3的電感計算式為

(34)

將式(34)代入式(14)化簡求得，路徑3的磁導分量為

P3=

(35)

2.4 路徑4磁導分量計算

路徑4的磁路詳圖如圖6所示，圖中磁通路徑是以C4為圓心的同心圓弧，匝數(shù)為極繞組匝數(shù)。

結合圖5和圖6可得，扇形角∠OrC4O2為

∠OrC4O2=arctan(h/s)

(36)

令圖6中路徑4與路徑5的分界條件滿足式(37)的要求：

(βr/2+arctan(h/s))t=gi

(37)

由式(37)可得：

(38)

單元磁路l4的長度為

lx=xarctan(h/s)x∈[h，t]

(39)

將式(39)分別代入式(17)和式(19)可求得，路徑4的單元磁鏈為

(40)

由式(40)可得，路徑4的電感計算式為

(41)

將式(38)和式(41)代入式(14)化簡可得，路徑4的磁導分量為

(42)

2.5 路徑5磁導分量計算

路徑5的磁路詳圖如圖6所示，路徑5磁路由一組平行直線組成，匝數(shù)為極繞組匝數(shù)。

單元磁路l5的長度為

lx=gi

(43)

在圖6中可見，路徑5所占區(qū)域的寬度已知，故可直接求取路徑5的電感為

(44)

將式(38)和式(44)代入式(14)化簡可得，路徑5的磁導分量為

(45)

2.6 最小電感值的求解

通過表1電機結構參數(shù)，經(jīng)測量可得圖3—圖6中參數(shù)的具體數(shù)值，如表2所示。

表2 磁導分量計算中各參數(shù)的數(shù)值

將表2中數(shù)據(jù)分別代入式(22)(28)(35)(42)(45)可求得各路徑磁導分量的值，如表3所示。

表3 磁導分量數(shù)值

將計算的各路徑磁導分量代入式(13)可求得相電感的最小值為Lmin1=0.531 mH。

由文獻[8]可知，端部電感占總電感的比重會隨著對齊程度的增大而減小，最小電感位置處的端部電感占總電感的比重大。在上述磁導分量解析計算中忽略了端部電感的影響，因此計算所得的電感偏小，造成較大的計算誤差，故用一種等效方法將端部電感計算在內(nèi)，以此縮小計算誤差。

進行等效氣隙處理，使其值等于各路徑磁路長度的平均值。

(46)

在考慮端部磁場情況下，有效鐵芯長度為

le=la+2n(1-σ)

(47)

式中：σ為卡特系數(shù)，計算公式如式(48)所示：

(48)

由上述各式可求得考慮端部磁場情況下最小電感為

Lmin=Lmin1(2le/la-1)

(49)

將表1和表2的數(shù)據(jù)分別代入式(46)—(49)可求得，考慮端部磁場情況下的最小電感值為Lmin=0.667 mH。

3 最大電感解析計算

最大電感出現(xiàn)在定子勵磁極與轉子極完全重合位置。該磁通路徑為短磁路，且由于磁路的對稱性，取1/4電機模型的磁路詳圖進行解析說明。如圖7所示，磁力線經(jīng)定子極、氣隙、轉子極、轉子軛和定子軛形成閉合回路，圖中、分別代表電流流入和電流流出，為方便計算假定磁通在磁路中均勻分布且無漏磁。

圖7 最大電感處磁路詳圖

定子軛導磁路徑長度及導磁截面積為

(50)

Scs=hcslFe

(51)

定子極導磁路徑長度及導磁截面積為

lps=2ds

(52)

Sps=1/2bpslFe

(53)

轉子極導磁路徑長度及導磁截面積為

lpr=2dr

(54)

Spr=1/2bprlFe

(55)

轉子軛導磁路徑長度及導磁截面積為

lcr=π/4(Di+hcr)

(56)

Scr=hcrlFe

(57)

鐵芯的磁導計算式為

Λ=μS/l

(58)

式中：l為鐵芯各部分導磁路徑長度；μ為鐵芯磁導率；S為鐵芯各部分導磁截面積。

鐵芯處的總電感計算式為

(59)

假定鐵芯各部分磁導率均等于μ，將式(50)—(57)代入式(58)求和可得，該磁路下的鐵芯總磁導為

(60)

將式(60)代入式(59)可求得，鐵芯處的總電感為

(61)

氣隙導磁路徑長度及導磁截面積為

lg=g

(62)

(63)

由式(62)和式(63)可得，氣隙總電感為

(64)

結合上述各式可求得，最大電感為

Lmax=Lcore+Lg=

(65)

該電機采用的硅鋼片型號為DW310-35，B-H曲線如圖8所示。

圖8 B-H曲線

由圖8可知，鐵芯磁導率近似取μ=8.53 mH/m，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)結合式(61)可求得，最大電感值為Lmax=3.856 mH。

在最大電感位置處，定轉子處于完全重合狀態(tài)，端部電感對總電感的影響要小得多，故在最大電感位置處忽略端部電感的計算。

4 電感曲線解析與仿真驗證

4.1 電感曲線解析

根據(jù)上述解析計算已求得相電感的最小值和最大值，由式(10)和式(11)可知，只需知曉特殊位置處的轉子位置角，即可求得實際的相電感解析曲線。

定子勵磁極與轉子極臨界重合位置θ2為

(66)

式中：Nr為轉子極數(shù)。

定子勵磁極與轉子極臨界完全重合位置θ3為

(67)

定子勵磁極與轉子極臨界脫離完全重合位置θ4為

(68)

定子勵磁極與轉子極臨界相離位置θ5為

(69)

定子勵磁極中心線與轉子槽中心線再次重合位置θ6為

(70)

將各特殊位置計算所得的轉子位置角、最小電感值和最大電感值代入式(10)可得

(71)

由式(71)可得到電感的解析曲線，如圖9所示。

圖9 相電感解析曲線

4.2 仿真驗證

為避免因仿真設計造成不必要的誤差，在仿真時忽略渦流效應，電機采用單相通電。圖10為電機最小電感位置和最大電感位置處的磁密云圖，由于采用單相通電，電機磁密小，不易出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。

圖10 最小(a)、最大(b)電感位置磁密云圖

圖11為電機最小電感位置和最大電感位置處的磁力線圖，由此可見解析計算中磁通路徑精確度極高，其中在解析計算中將圖11(a)中定子勵磁極到定子軛的磁力線和定子勵磁極到定子相鄰極的磁力線集合在一起共同組成磁通路徑1，其他路徑均與仿真結果相符。

圖11 最小(a)、最大(b)電感位置磁力線圖

將有限元仿真得到的電機相電感曲線與相電感的解析計算曲線進行比較，如圖12所示：在定轉子極邊臨界重合位置處誤差較大。這是由于在解析計算時忽略了該處磁場局部飽和的影響，另外該電機轉子為平行齒結構，在定轉子極的極邊重合過程中，與梯形齒維持在最小電感值不變的情況有所不同，平行齒會根據(jù)極邊重合度的增大而使電感略有提高，故會使臨界重合位置處誤差偏大。

圖12 兩種計算方法下相電感比較

本文作者主要對最小電感和最大電感位置處進行解析計算，由圖12可知，這兩種特殊位置處電感的相對誤差較小，相對誤差計算值如表4所示，誤差均在4%以內(nèi)，基本滿足電機設計與優(yōu)化的要求。

表4 不同方法下電感值的比較

取開通角為0°、關斷角為14.5°，由電感可得到磁鏈的解析曲線，與磁鏈仿真曲線進行對比。如圖13所示：頂點誤差為5.1%，且誤差最大在10%以內(nèi)。兩種曲線近似吻合，進一步證明了該解析法的準確性。

圖13 磁鏈解析曲線與仿真曲線的比較

5 結論

圍繞三相12/8極平行齒結構開關磁阻電機展開，以工程機械用開關磁阻電機為實例，通過對磁導分量的解析計算，得到了電機的電感特性，由此得出以下結論：

(1)得到了12/8極開關磁阻電機解析計算的磁路詳圖，并通過仿真驗證了該磁路的準確性；

(2)通過對最小電感與最大電感位置處的磁通路徑進行解析，推導出了該電機各磁通路徑的磁導分量解析式；

(3)由磁通分量解析式，求得了最小電感與最大電感，并推導出了符合該電機的轉子特殊位置角公式，得到了相電感與轉子位置角的解析曲線；

(4)通過仿真驗證，電感相對誤差在4%以內(nèi)，磁鏈相對誤差在10%以內(nèi)，證明了該方法具有較高的精確度，達到了預期的設計要求，為電機的初步設計與后期優(yōu)化提供了理論依據(jù)和參考。