張凌云，劉忠，劉俊杰，熊中剛，呂勇

(1.桂林航天工業(yè)學院機電工程學院，廣西桂林 541004；2.桂林航天工業(yè)學院廣西特種工程裝備與控制重點實驗室，廣西桂林 541004；3.塔里木大學機械電氣化工程學院，新疆阿拉爾 843300)

0 前言

隨著機械系統(tǒng)不斷朝著高速化、高精度化的方向發(fā)展，軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機械的重要組成部分，其非線性行為逐漸凸顯，特別是對多重非線性耦合的復(fù)雜機制缺少認識，導(dǎo)致對監(jiān)測系統(tǒng)展現(xiàn)出來的異常振動現(xiàn)象無法作出正確的辨識及解釋，致使旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)故障診斷與檢測水平的提高受到了很大的限制，因此，對復(fù)雜故障耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性的研究，在旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)異常運行故障診斷和監(jiān)測領(lǐng)域尤為重要。

近年來，國內(nèi)外學者針對油膜振蕩失穩(wěn)、不對中及不平衡故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學響應(yīng)開展了一系列研究。陳果[1]研究了不平衡-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔與混沌特征，分析了系統(tǒng)通過倍周期通向混沌的路徑。李自剛等[2]研究了存在交角不對中和質(zhì)量不平衡的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，結(jié)果表明：在較低轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)出與轉(zhuǎn)速同步的周期運動，隨著轉(zhuǎn)速的提高，周期響應(yīng)在某些參數(shù)域出現(xiàn)分岔、跳躍以及混沌等非線性現(xiàn)象。PATEL、DARPE[3]分析了聯(lián)軸器不對中系統(tǒng)在3種不同不對中情況下的振動特性。PENNACCHI等[4]通過分析軸心軌跡和頻譜圖的特征，揭示了不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一些非線性響應(yīng)行為。BOUAZIZ等[5]通過對不對中故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行研究發(fā)現(xiàn)，角度不對中故障頻譜圖主要由2倍頻與4倍頻成分組成。楊洋等人[6]以存在齒式聯(lián)軸器不對中和轉(zhuǎn)盤不平衡耦合條件下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為模型，圍繞聯(lián)軸器不對中度、轉(zhuǎn)軸幾何結(jié)構(gòu)變化時，研究該類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幾何非線性行為。肖漢等人[7]利用有限元法對非線性油膜力影響下不平衡-不對中-碰摩耦合故障的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)展開研究，提出了一種微分耦合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的方法，對耦合故障頻率混疊進行分解，為獲取耦合故障的頻率特性提供了理論基礎(chǔ)。PATEL、DARPE[3，8]利用 Timoshenko 梁理論建立了含平行不對中和角度不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型，針對不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲和扭轉(zhuǎn)耦合振動特性進行實驗，表明通過軸心軌跡和全譜分析可區(qū)分不對中故障和其他故障，從而給出相應(yīng)的故障診斷依據(jù)。

以往的研究大多采用有限元法對此類轉(zhuǎn)子的振動幅值和頻域進行研究，未對轉(zhuǎn)子與定子的碰摩類型進行辨識，并且對碰摩力的大小和發(fā)生碰摩的占比未進行量化表征。本文作者用四階Runge-Kutta數(shù)值積分法對含不對中-碰摩-不平衡耦合的強非線性系統(tǒng)進行求解，得出不同參數(shù)下系統(tǒng)對應(yīng)的響應(yīng)圖，研究不同轉(zhuǎn)速時系統(tǒng)對應(yīng)的振動特征與分岔特性；最后，通過改變軸承間隙、潤滑油黏度等系統(tǒng)參數(shù)，辨識出系統(tǒng)參數(shù)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學響應(yīng)的影響，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)周期運動合理的匹配區(qū)間。

1 系統(tǒng)動力學模型

如圖1所示，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通過齒式聯(lián)軸器與電機相連，以此獲得外部驅(qū)動力。此模型中聯(lián)軸器存在不對中故障，數(shù)學模型見后文。質(zhì)量分布均考慮為集中質(zhì)量，轉(zhuǎn)盤的兩側(cè)通過滑動軸承對稱支撐。

圖1 不對中-碰摩耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

其中：O為坐標軸中心；O1為軸承內(nèi)瓦幾何中心；O2為轉(zhuǎn)子的幾何中心；m1為轉(zhuǎn)盤集中在軸承處的質(zhì)量；m2為轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量；c1為軸承的阻尼系數(shù)；c2為轉(zhuǎn)盤的阻尼系數(shù)；e為轉(zhuǎn)子質(zhì)心的偏心距；轉(zhuǎn)軸的剛度系數(shù)為k；定子碰摩剛度為kc；δ1表示轉(zhuǎn)盤與定子的徑向間隙。

1.1 不對中-碰摩耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學方程

設(shè)左端軸頸的徑向位移為X1和Y1，轉(zhuǎn)盤的徑向位移為X2和Y2，PX、PY為轉(zhuǎn)子與定子產(chǎn)生的碰摩力，F(xiàn)X1、FY1為軸承支撐的油膜力，F(xiàn)ZX、FZY為聯(lián)軸器不對中作用力，ω為旋轉(zhuǎn)角速度(左視圖順時針為正轉(zhuǎn))。通過Lagrange方程得到不對中-碰摩耦合故障作用時系統(tǒng)的動力學方程為

(1)

1.2 非線性油膜力

文中滑動軸承采用CAPONE的短軸承油膜力模型[9]，得到量綱一化后的油膜力：

(2)

式中：σ為Sommerfeld修正系數(shù)。

(3)

其中：

(4)

式中：μ為潤滑油黏度；D為軸承直徑；c為軸承間隙；x1和y1分別為軸瓦幾何中心在X軸方向和Y軸方向的徑向位移。

1.3 碰摩力模型

圖2為圖1轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的左視圖，滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩力模型，轉(zhuǎn)盤中心的初始位置為O，當轉(zhuǎn)盤徑向位移δr>δ1時，定子產(chǎn)生碰摩力作用，碰摩過程中產(chǎn)生徑向力Pn和切向力Pt可以表示為

圖2 碰摩力模型

(5)

將以上碰摩力分解到X軸方向和Y軸方向分別為

(6)

1.4 齒式聯(lián)軸器不對中模型

聯(lián)軸器為電機向轉(zhuǎn)子傳遞扭矩的橋梁，齒式聯(lián)軸器不對中故障分為角度不對中、平行不對中和前兩者均存在的綜合不對中[11-12]，如圖 3 所示。

圖3為聯(lián)軸器綜合不對中故障時，聯(lián)軸器外殼與兩半聯(lián)軸器間的相對運動軌跡模型。圖中，設(shè)A為電機主軸的軸心投影，B為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸的軸心投影，C為外殼的動態(tài)中心，AC為外殼與電機主軸的連線，BC為外殼與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸的連線，AC垂直BC，設(shè)AB長為ΔE，點C坐標為C(x，y)，夾角不對中量α，則當轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運轉(zhuǎn)時，點C以綜合不對中量ΔE為直徑做圓周運動，ω為轉(zhuǎn)速，則點C的坐標C(x，y)可表示為

圖3 齒式聯(lián)軸器綜合不對中作用力模型

(7)

式中：ΔE由聯(lián)軸器間距ΔL、平行不對中量ρ以及夾角不對中量α共同決定，可表示為

(8)

隨后，為得到點C的加速度，需對式(7)的時間t進行二階求導(dǎo)，即：

(9)

由式(9)可知，聯(lián)軸器不對中故障會給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加一個額外的激振力F。若將其在O0-X和O0-Y方向上做投影，其分量滿足：

(10)

為了進行系統(tǒng)的動力學研究引入以下量綱一化參數(shù)：xi=Xi/b(i=1，2)，yi=Yi/b(i=1，2)，τ=ωt，則原式可化為

(11)

2 數(shù)值仿真與分析

2.1 最大碰摩力與占空比

本文作者引入最大碰摩力和碰摩占空比來表征轉(zhuǎn)子與定子碰撞的激烈程度和持續(xù)時間。最大碰摩力描述了轉(zhuǎn)盤與定子在接觸過程中產(chǎn)生的最大作用力，轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)在運行過程中最大碰摩力的變化影響著轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運行穩(wěn)定性，是決定轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)使用壽命的關(guān)鍵因素之一。這里將最大碰摩力定義為轉(zhuǎn)盤與定子在一個運動周期Tn=2nπ/ω內(nèi)水平豎直方向碰摩力合力的最大值，最大碰摩力的取值范圍為Pmax≥0，表示為

(12)

另外引入電信系統(tǒng)中的“占空比(Duty Cycle)”，文中用αDC表示碰摩占空比，即在一個運動周期Tn=2nπ/ω內(nèi)轉(zhuǎn)子與定子在各接觸階段所耗費時間的總和與運動周期的比值，占空比的取值范圍αDC∈[0，1)，用公式表示為

αDC=(ΔtDC1+ΔtDC2+ΔtDC3+…)/Tn

(13)

2.2 系統(tǒng)的Poincaré截面

文中采用p/n來研究系統(tǒng)的動力學特性，其中p表示轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在一個運動周期Tn=2nπ/ω內(nèi)的轉(zhuǎn)盤與定子的碰撞沖擊次數(shù)(p=0，1，2，3，…)，反映在周期分岔圖。n表示轉(zhuǎn)子在一個運動周期Tn=2nπ/ω內(nèi)轉(zhuǎn)子的周期數(shù)(n=1，2，3，…)，反映在碰撞分岔圖。結(jié)合兩種映射，可以辨識在一定參數(shù)條件下，不同轉(zhuǎn)速對應(yīng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可能呈現(xiàn)的旋轉(zhuǎn)周期數(shù)n和碰撞次數(shù)p，從而確定p/n振動特性。選擇系統(tǒng)的Poincaré映射圖截面[10]：

R8×T|x2=x2n，mod(t=2π/ω)}

取表1參數(shù)，采用Runge-Kutta積分法對方程組(11)進行數(shù)值求解，得到系統(tǒng)的一系列響應(yīng)。

2.3 不對中-碰摩耦合轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速變化響應(yīng)分析

文中引用碰撞振子系統(tǒng)的分析方法，研究不對中-碰摩耦合條件下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學行為，同時通過碰撞分岔圖對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩沖擊轉(zhuǎn)遷動力學行為進行了量化表征?；谙到y(tǒng)參數(shù)仿真得到不對中-碰摩耦合轉(zhuǎn)子的周期分岔圖、碰撞分岔圖、最大碰摩力分布和占空比分布，如圖4所示。

圖4 不對中-碰摩轉(zhuǎn)子周期分岔圖(a)、碰撞分岔圖(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

圖4(a)看出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)沿著轉(zhuǎn)速增大的方向依次經(jīng)歷了P1(周期一)運動-P2運動-P1運動-擬周期運動。圖4(b)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰撞分岔圖直觀表征了不同運動周期內(nèi)轉(zhuǎn)子與定子的碰撞次數(shù)響應(yīng)，轉(zhuǎn)子沿著轉(zhuǎn)速增大的方向依次經(jīng)歷了0/1(周期一無沖擊)運動-1/1運動-0/1運動-0/2運動-1/2運動-2/2運動-0/1運動-擬周期運動。圖4(c)進一步量化表征了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)沿著轉(zhuǎn)速增大方向不同運動形式下對應(yīng)的碰撞沖擊力大小和持續(xù)發(fā)生碰摩的運動軌跡占比。為了更清楚地表明該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學行為特征，結(jié)合圖5不同轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的軸心軌跡、Poincaré截面、時間歷程及頻譜進行對比分析。

圖5 不同轉(zhuǎn)速對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)

當ω∈(0～534)rad/s較低轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)處于楔形油膜間隙的形成階段，系統(tǒng)為P1(周期一)運動，結(jié)合碰撞分岔圖、最大碰摩力和占空比分布可看出此時系統(tǒng)為0/1類周期運動，由于不對中的存在，觀察圖5(a)頻譜清晰呈現(xiàn)2×、3×和4×倍頻幅值，Poincaré截面為一個獨立的點，時間歷程呈類周期運動。轉(zhuǎn)速不斷提高，系統(tǒng)的幅值逐漸增大，轉(zhuǎn)子和定子發(fā)生碰摩，0/1運動轉(zhuǎn)遷為1/1運動，圖5(b)給出了轉(zhuǎn)子1/1運動的響應(yīng)，圖中綠色的虛線表示碰摩邊界，紅色的軸心軌跡辨識為碰摩軌跡，碰摩的介入導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)3×、4×倍頻幅值發(fā)生變化，但由于轉(zhuǎn)頻占主導(dǎo)地位，轉(zhuǎn)子此時仍為P1運動。當轉(zhuǎn)速進一步提高，楔形間隙開始形成，半頻油膜渦動產(chǎn)生的1/2×半頻介入系統(tǒng)的響應(yīng)，轉(zhuǎn)速增大到一階臨界轉(zhuǎn)速后，系統(tǒng)通過倍化分岔轉(zhuǎn)遷為0/2運動，系統(tǒng)響應(yīng)如圖5(c)所示，其中碰摩的不斷加劇導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)3/2×次諧波分量。由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動幅值隨著1/2×半頻幅值持續(xù)增大，系統(tǒng)的運動類型經(jīng)轉(zhuǎn)子和定子一系列擦切分岔發(fā)生轉(zhuǎn)遷，圖5(c)—(e)清晰地給出了0/2運動-1/2運動-2/2運動的轉(zhuǎn)遷過程。當轉(zhuǎn)速繼續(xù)升高，系統(tǒng)通過逆倍化序列轉(zhuǎn)遷為P1運動，同時系統(tǒng)的幅值減小，此時為0/1無碰摩沖擊運動，對應(yīng)的響應(yīng)如圖5(f)所示，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1/2×半頻油膜渦動消失，對應(yīng)圖4(c)中的最大碰摩力和占空比值均為0，系統(tǒng)進入穩(wěn)定運行區(qū)域。當轉(zhuǎn)速增大到ω=1 490 rad/s，此轉(zhuǎn)速達到系統(tǒng)的二階臨界轉(zhuǎn)速范圍，油膜渦動重新形成，此時的1/2×半頻渦動轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速重合達到共振，通過圖4可直接觀察到此時表現(xiàn)為強烈的共振現(xiàn)象，觀察圖5(g)可知，系統(tǒng)進入擬周期運動，油膜渦動轉(zhuǎn)變?yōu)橛湍ふ袷帲湍ふ袷幏党^系統(tǒng)轉(zhuǎn)頻，并保持該頻率不變。

2.4 不同軸承間隙對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學響應(yīng)的影響

通過式(4)可看出，軸承間隙的改變會對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生直接影響，因此對軸承間隙進行離散取值。針對若干軸承間隙c的取值，計算出不同c值時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅值分岔、最大碰摩力和占空比隨轉(zhuǎn)速改變的分布。圖6、圖7給出了基準參數(shù)μ=0.018 Pa·s下2組c值對應(yīng)的響應(yīng)，同時結(jié)合圖4中c=0.005 mm進行對比分析。當c值由小變大時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔特性趨于復(fù)雜化，并且振動幅值逐漸增大，對應(yīng)的混沌運動窗口逐漸增大，說明軸承間隙的增大直接影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期運動分布和分岔特性。同時碰摩力和占空比幅值明顯增大，并出現(xiàn)αDC=1的全周期碰摩區(qū)域，因此在軸承設(shè)計過程中應(yīng)盡量選用較小的軸承間隙。

圖6 c=0.11 mm周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

圖7 c=0.22 mm周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

進一步研究軸承間隙對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，選取轉(zhuǎn)速ω=900 rad/s時對軸承間隙進行離散取值，軸承間隙分別為c=0.055 mm、c=0.11 mm和c=0.22 mm得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻譜，如圖8所示。當軸承間隙由小變大時，由油膜渦動產(chǎn)生的1/2×次諧波幅值發(fā)生明顯變化，并且出現(xiàn)了連續(xù)的次諧波頻率幅值，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低。同時系統(tǒng)轉(zhuǎn)頻幅值和由不對中產(chǎn)生的2×倍頻幅值未產(chǎn)生改變。因此，可以通過分析故障轉(zhuǎn)子的振動信號組分來對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在的故障類型進行有效的診斷。

圖8 ω=900 rad/s時不同軸承間隙對應(yīng)的頻譜圖

2.5 不同潤滑油黏度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學響應(yīng)的影響

圖9和圖10代表性地給出了2組不同潤滑油黏度值對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)，并通過與圖4所示結(jié)果進行對比分析，發(fā)現(xiàn)潤滑油黏度μ的變化對系統(tǒng)的運動類型、存在區(qū)域和分岔特性有較大影響。系統(tǒng)的一、二階臨界轉(zhuǎn)速與潤滑油黏度的改變正相關(guān)，潤滑油黏度的增大使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔特性和周期運動類型簡單化，同時系統(tǒng)的幅值隨潤滑油黏度的增大顯著減小，進而對應(yīng)的最大碰摩力和占空比幅值明顯變小。當μ=0.036 Pa·s時，系統(tǒng)的振動幅值較小，其中0/1無碰撞運動占據(jù)了較大分布域，對應(yīng)的最大碰摩力和占空比幅值為0的區(qū)域較大，說明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)能在較廣的轉(zhuǎn)速分布范圍內(nèi)平穩(wěn)運行。

圖9 μ=0.009 Pa·s周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

圖10 μ=0.036 Pa·s周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

進一步研究潤滑油黏度改變對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，選取轉(zhuǎn)速ω=900 rad/s時對潤滑油黏度進行離散取值，潤滑油黏度分別取0.009、0.018、0.036 Pa·s，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻譜，如圖11所示。當潤滑油黏度發(fā)生變化時，油膜渦動產(chǎn)生的1/2×次諧波幅值發(fā)生明顯變化，主要表現(xiàn)為1/2×頻率幅值隨著潤滑油黏度的增大而減小，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性持續(xù)提高。同時系統(tǒng)轉(zhuǎn)頻幅值和由不對中產(chǎn)生的2×倍頻幅值未產(chǎn)生改變。

圖11 ω=900 rad/s時不同潤滑油黏度對應(yīng)的頻譜

3 結(jié)論

以不對中-碰摩耦合的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，基于多參數(shù)協(xié)同仿真方法，研究系統(tǒng)參數(shù)改變對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的影響，得出以下結(jié)論：

(1)不對中故障導(dǎo)致碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生了2×、4×等偶數(shù)倍頻率，并且2×頻率幅值不隨轉(zhuǎn)速的改變發(fā)生變化。

(2)由油膜渦動產(chǎn)生1/2×半頻渦動隨著系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的提高發(fā)生變化，當轉(zhuǎn)速超過二階臨界轉(zhuǎn)速后該頻率保持不變，并且幅值超過系統(tǒng)轉(zhuǎn)頻而成為影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要因素。

(3)當軸承間隙由小變大時，1/2×半頻幅值減小的同時周圍出現(xiàn)連續(xù)的次諧波，導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨著軸承間隙的增大而降低，不對中故障2×頻率幅值未發(fā)生改變。

(4)當潤滑油黏度由小變大時，1/2×半頻幅值顯著減小，不對中故障2×頻率幅值未發(fā)生明顯改變，同時導(dǎo)致系統(tǒng)的一、二階臨界轉(zhuǎn)速大幅增大，表現(xiàn)為系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨著潤滑油黏度的增大而提高。