王泓元，胡亞輝，張現，張大衛(wèi)

(1.天津理工大學海運學院，天津 300384；2.天津大學機械工程學院，天津 300350)

0 前言

直線進給系統(tǒng)是數控機床的核心部件之一，是數控機床的主要傳動方式[1]。多軸聯動機床加工過程中，需要多軸進給系統(tǒng)共同完成三維空間的加工，而各個軸的進給系統(tǒng)的動態(tài)特性呈現復雜變化的特點[2]，因此多軸耦合過程中誤差增加。直線進給系統(tǒng)運行過程中，由于工況復雜，其參數的變化會使輸出信號的響應規(guī)律發(fā)生改變。因此，借助動力學模型仿真方法對進給系統(tǒng)參數變化進行建模仿真，求得進給系統(tǒng)相位特性變化規(guī)律，對進給系統(tǒng)的動態(tài)特性研究與機床的軸間耦合研究有著重要的意義。

近年來，對于進給系統(tǒng)的動態(tài)特性國內外學者開展了大量的研究。王磊等人[3]建立集中參數的動力學模型，驗證了軸間耦合作用對多軸聯動機床的動態(tài)特性有較大的影響，通過加速度的頻率響應曲線得出三軸機床不同刀尖點具有不同動態(tài)特性。HUNG等[4]基于Hertz接觸理論對滾動結合面的剛度進行分析，確定了滾動部件的動剛度與振動模態(tài)的關系，可用于評估不同滾動部件對機床系統(tǒng)整體動態(tài)性能的影響。VICENTE等[5]建立了進給系統(tǒng)的高頻動態(tài)模型，將滾珠絲杠建模為一個連續(xù)的子系統(tǒng)，從而為控制器的參數設計提供參考，降低軌跡的跟蹤精度。然而對進給系統(tǒng)的動態(tài)特性研究[6-10]，目前多以進給系統(tǒng)首階與次階固有頻率作為衡量指標，分析固有頻率變化規(guī)律，弱化工況變化對固有頻率的影響，使進給系統(tǒng)的動態(tài)特性更穩(wěn)定。若想對各個軸向進給系統(tǒng)的動態(tài)誤差進行量化，從結構與控制等方面對多軸耦合誤差進行補償，需對進給系統(tǒng)動態(tài)特性有著更詳細的衡量指標。

因此，本文作者針對進給系統(tǒng)的輸出信號與輸入信號之間的相位特性變化規(guī)律進行研究。建立進給系統(tǒng)的集中質量動力學模型，并結合進給系統(tǒng)運行過程中的不同工況，對動力學模型參數變化規(guī)律進行分析。通過動力學模型的仿真，分析參數變化對進給系統(tǒng)相位特性的影響。

1 直線進給系統(tǒng)動力學模型

將進給系統(tǒng)的伺服電機、絲杠、螺母與工作臺理想化為集中質量塊，建立進給系統(tǒng)的集中質量模型。簡化后的質量塊之間存在剛度特性與阻尼特性，因此將部件之間的結合面簡化為非線性的彈簧阻尼單元，其中絲杠自身的剛度與軸承剛度進行串聯。建模方法的精度與可靠性已在文獻[11]中得到驗證。

根據達朗貝爾原理可得直線進給系統(tǒng)的動力學模型為

(1)

其中：M10×10、C10×10、K10×10分別為系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣與剛度矩陣；F10×1為外部對進給系統(tǒng)的激勵；x為部件對應的位移。

2 直線進給系統(tǒng)參數分析

由于加工過程中工況復雜，進給系統(tǒng)工況不同，部分動力學模型參數會發(fā)生改變，對會發(fā)生變化的系統(tǒng)參數進行分析。

2.1 導軌滑塊副靜剛度分析

導軌滑塊副由滑塊、滾柱與導軌共同組成，其簡化模型如圖2所示。導軌直線度誤差是進給系統(tǒng)誤差重要來源之一。進給系統(tǒng)運行過程中，導軌誤差不同會使導軌滑塊副的靜剛度改變。

其中ei為導軌的直線度誤差，當導軌誤差變化，會使滑塊內滾柱、滑塊裙邊、工作臺甚至導軌表面產生彈性形變。但由于工作臺與導軌表面剛度遠大于其他部分剛度，因此可將二者理想化為剛體。導軌直線度誤差發(fā)生變化時，滾柱會因直線度誤差的變化發(fā)生彈性變形，而彈性力的作用在滑塊裙部因變形會釋放滾動體的壓縮變形量，二者達到平衡狀態(tài)。

基于赫茲接觸理論的經驗公式[12]，滾柱內部接觸力與變形量之間關系為

Q=Cδ10/9

(2)

(3)

其中：Q是滾柱軸向的法向載荷；δ為滾珠接觸變形；ν1、ν2分別為滾柱與滾道面泊松比；E1、E2分別為滾柱與滾道面的彈性模量；l0為滾柱長度。

將法向載荷Q分解到水平、垂直方向，且法向載荷Q與水平軸夾角均為45°。因此滾動體的等效剛度為

(4)

其中：kx1、ky1分別為滾動體水平與垂直方向的等效剛度。

其中：Q為滾柱作用于滑塊裙邊的彈性力。滑塊裙邊可簡化為懸臂梁結構，等效剛度為

(5)

其中：Fs為滾柱對滑塊裙邊的彈性力；Eh為滑塊裙部的彈性模量；I為裙部的截面慣性矩；lh為滑塊裙部懸臂梁長度的一半。因此導軌滑塊副等效剛度簡化模型如圖4所示。

將公式(4)、(5)剛度計算公式代入公式(6)、(7)中，計算出導軌滑塊副等效模型水平與垂直靜剛度

(6)

k1y=k2y=ky1

(7)

其中：k1x、k2x為導軌滑塊副水平剛度，由滾柱等效剛度與滑塊裙邊等效剛度串聯求得；k1y、k2y為導軌滑塊副垂直剛度。

2.2 工作臺摩擦力分析

摩擦力計算與正壓力相關，首先需對工作臺內部彈性力進行求解。工作臺與4個滑塊由螺栓進行固定連接，某一滑塊受力情況發(fā)生變化時，所有滑塊均發(fā)生改變，最終工作臺達到受力平衡，如圖5所示。

利用力學平衡可對4個導軌滑塊的4個方向等效結合面的變形量進行求解：

(8)

式中：δxi，1、δxi，2、δyi，1、δyi，2分別為X正方向、X負方向、Y正方向、Y負方向的滾柱變形量；exi，1、exi，2、eyi，1、eyi，2分別為對應方向的導軌直線度誤差；ξi，1、ξi，2為滑塊裙邊變形量；g為等效模型的預緊壓縮量；xi、yi分別為滑塊在X、Y方向的位移量；i=1，2，3，4對應工作臺的4個滑塊。

將式(2)—(7)代入式(8)可求得對應導軌滑塊副的剛度系數彈性力：

(9)

其中：Fx與Fy分別為導軌滑塊副水平與垂直方向等效彈性力；kx、ky為代入公式(6)、(7)求得的剛度系數。將彈性力作為結合面的正壓力FH，與摩擦因數μ相乘可得摩擦力，將4個滑塊摩擦力求和，可求得工作臺受到的總摩擦力：

(10)

其中：FxHi、FyHi分別為4個滑塊與導軌的等效正壓力；Ff為工作臺受到的總摩擦力。

2.3 絲杠軸向靜剛度變化分析

絲杠的軸向拉壓剛度反映了進給系統(tǒng)受到軸向作用力的抗變形性能。由于絲杠采用一端固定一端自由的支撐方式，因此由螺母傳遞的軸向力作用點與固定端之間的絲杠部分會發(fā)生改變。工作臺位置發(fā)生變化時，絲杠的軸向剛度會隨之改變，其計算公式為

(11)

式中：Ksa為絲杠軸向拉壓剛度；E為絲杠材料的彈性模量；A為絲杠螺紋部分最小截面積；d為絲杠的螺紋底徑；xs為載荷作用點到固定端軸承的軸向距離，會隨著工作臺位置變化而改變。

3 進給系統(tǒng)動力學模型參數確定

結合具體工況，確定進給系統(tǒng)動力學模型參數。

3.1 動力學模型參數規(guī)律分析

動力學模型包括進給系統(tǒng)的質量矩陣、剛度矩陣與阻尼矩陣，通過計算，不隨工況改變而變化的進給系統(tǒng)動力學模型參數如表1所示。

表1 動力學模型參數

機床制造過程中為補償導軌梁在重力作用下的彎曲變形，會對導軌進行反變形補償，因此導軌直線度誤差呈拱形[13]。實際測量結果驗證了這一現象[14]，如圖6所示。

因此本文作者將直線度誤差簡化為水平與垂直的拱形誤差，探究工作臺位置改變過程中，導軌直線度誤差變化對內部參數的影響。

(12)

(13)

其中：ex(z)、ey(z)分別為X、Y方向直線度誤差；Z為工作臺位置；L為工作臺總行程；e0為導軌誤差最大值，在導軌中點取得。

工作臺有效行程L為900 mm，以150 mm為步長，表2為導軌滑塊副參數，將數據代入公式(2)—(9)中可求得導軌誤差對導軌滑塊副剛度系數與彈性力的變化規(guī)律。

表2 導軌滑塊副參數

圖7(a)與圖7(b)分別為出現拱形誤差時，4個滑塊剛度系數變化規(guī)律。圖7(c)為導軌滑塊副平均彈性力，由于X方向為滾動體與裙邊共同作用，與Y方向相比彈性力較大。圖7(d)為位置改變絲杠軸向剛度的變化規(guī)律。綜合圖7可得：工作臺位置改變過程中，進給系統(tǒng)的部分動力學模型參數會發(fā)生改變。

3.2 工作臺摩擦力

工作臺位置變化彈性力發(fā)生變化，工作臺摩擦特性隨之改變，圖7(c)為導軌滑塊副水平垂直方向平均彈性力，查閱文獻[15]得7 000～10 000 N的載荷作用下摩擦因數μ=0.004 3，將剛度與變形代入公式(10)中，求得4個滑塊與導軌之間的摩擦力，工作臺總摩擦力變化規(guī)律如圖8所示。

工作臺受到的摩擦力改變，從而改變進給系統(tǒng)受力情況，進給系統(tǒng)相位特性隨之發(fā)生改變。

4 直線進給系統(tǒng)相位特性仿真分析

4.1 相位特性模型

基于Simulink，利用狀態(tài)空間方法對進給系統(tǒng)動力學進行仿真，仿真模型如圖9所示。

如圖10所示，由伺服電機輸入正弦激勵信號，輸入信號首次到達波峰時間為t0，輸出信號首次到達波峰的時間為t1，相位角φ計算公式為

圖1 進給系統(tǒng)簡化模型

圖2 導軌滑塊副示意

圖3 滑塊裙邊等效示意

圖4 導軌滑塊副等效模型

圖5 工作臺靜力平衡模型

圖6 導軌水平(a)與垂直(b)方向一側存在拱形誤差示意

圖7 不同工作臺位置時進給系統(tǒng)內部參數

圖8 工作臺總摩擦力與位置關系

圖9 Simulink仿真模型

圖10 輸入信號與輸出信號對比

(14)

4.2 頻率對相位特性影響

進給系統(tǒng)激振力頻率由伺服電機轉速決定，伺服電機的轉速范圍為0～1 800 r/min，因此保持其他參數不變，在轉速范圍對進給系統(tǒng)相位變化規(guī)律進行分析。具體工況為：X方向導軌誤差e=0.01 μm，摩擦力由公式(10)計算可得Fc=334.38 N；Y方向導軌誤差e=0.01 μm，摩擦力由公式(10)計算可得Fc=338.97 N。改變伺服電機轉速，結果如圖11所示。

圖11 不同轉速的相位特性曲線

由圖11可得：伺服電機轉速變化會改變進給系統(tǒng)相位特性，隨著伺服電機轉速增加，進給系統(tǒng)相位差逐漸增加。相位差小代表輸出信號與輸入信號之間延時小，進給系統(tǒng)有良好的跟隨特性；相位差較大則代表工作臺對輸入信號的響應有一定滯后性，跟隨特性較差。

當伺服電機轉速在0～1 200 r/min之間時，輸出信號與輸入信號之間的相位差較小，且在1 200 r/min轉速附近相位差趨近于零，輸出信號對輸如信號有著較好的跟蹤特性。由于文中將摩擦力簡化為固定值輸入至系統(tǒng)當中，使得輸出信號存在提前到達波峰的現象。而隨著伺服電機轉速的增加，1 200～1 800 r/min范圍內進給系統(tǒng)機械特性當中的阻尼、摩擦等特性對系統(tǒng)影響逐漸顯著，進給系統(tǒng)滯后的相位角有著較大的增加。1 800 r/min轉速時，輸出信號的相位差達到了28.12°，此時工作臺對輸入信號響應有著較大的滯后性。

綜上可得：較低的轉速時進給系統(tǒng)跟隨特性較好；在高轉速范圍內，工作臺輸出端對伺服電機輸入信號的響應存在一定的延時。因此，若使用軸間耦合技術對工作臺移動的滯后特性進行補償，可提高高速加工精度，需進一步進行相關研究。

4.3 摩擦力對相位特性影響

工作臺摩擦力對進給系統(tǒng)相位特性也有一定的影響。保持輸入信號頻率不變，探究導軌存在拱形誤差、工作臺不同位置摩擦力變化時相位特性規(guī)律情況。具體工況為：伺服電機轉速為1 800 r/min，保持其他參數不變，導軌X與Y方向分別存在拱形誤差，不同位置摩擦力由圖8可得。

由圖12可得：工作臺受到的摩擦力變化會對進給系統(tǒng)相位差產生影響。摩擦力越大，進給系統(tǒng)滯后的相位角增加。因此，高速高精度進給系統(tǒng)需對摩擦力進行相應的補償，能進一步提高進給系統(tǒng)跟隨特性。

圖12 不同位置摩擦力變化的相位特性曲線

4.4 結合面參數對相位特性影響

大尺寸零件加工過程中，伺服電機轉速不變，在此工況下進給系統(tǒng)輸入信號頻率保持不變，然而由于工作臺位置變化較大，若導軌誤差不同，不同位置下進給系統(tǒng)部分結合面參數會發(fā)生改變。具體工況為：伺服電機轉速為1 800 r/min，平均摩擦力Fc=314.22 N，結合面參數由圖7與表1可得。

由圖13可得：絲杠軸向剛度變化對進給系統(tǒng)相位特性影響較大，導軌滑塊副剛度變化對相位特性影響較小。由于絲杠剛度與工作臺進給方向相同，系統(tǒng)對絲杠軸向剛度變化更敏感；而導軌滑塊副剛度變化對相位特性影響較小，其彈性力的變化對進給系統(tǒng)影響體現在改變工作臺摩擦力中，如圖12所示。因此進給系統(tǒng)結合面參數變化會影響其相位特性，減小運動方向結合面參數的變化，能提高加工過程中動態(tài)特性的穩(wěn)定性。

圖13 不同位置剛度系數變化的相位特性曲線

5 結論

基于多軸耦合技術在多軸聯動過程中，不同進給軸之間無法進行有效補償的問題，對進給系統(tǒng)動態(tài)特性進行仿真分析，提出對工作臺的輸出端與伺服電機的輸入端之間的響應滯后性進行量化，為多軸耦合提供參考。通過對進給系統(tǒng)相位特性進行分析，得到不同工況下進給系統(tǒng)相位變化規(guī)律，得出以下結論：

(1)由于工況不同，進給系統(tǒng)運行過程中動力學模型參數會發(fā)生改變。

(2)工作臺受到的摩擦力增加，相位角越大，跟隨特性越差，因此可通過摩擦力補償提高動態(tài)特性。

(3)絲杠軸向剛度改變對相位特性影響較大，導軌滑塊副剛度改變對相位特性影響較小，加工過程中保持關鍵動力學參數穩(wěn)定，能有效提高動態(tài)特性。

(4)伺服電機轉速變化對相位特性有著較大的影響，輸入信號頻率較低時相位差較小，進給系統(tǒng)跟隨特性較好；轉速較高時相位差增大，進給系統(tǒng)跟隨特性較差。因此高速加工過程中進行軸間耦合時，可將相位差作為參數，補償加工過程中的動態(tài)誤差。