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        “平行四邊形的面積”教學(xué)中的問題分析

        2023-11-04 10:45:18郜舒竹
        教學(xué)月刊(小學(xué)版) 2023年29期
        關(guān)鍵詞:學(xué)生

        □江 燕 郜舒竹

        一、以“拉一拉”活動(dòng)作為導(dǎo)入方式的不合理性

        在現(xiàn)有“平行四邊形的面積”的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂教學(xué)中,有教師會(huì)在導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用“拉一拉”的操作活動(dòng)[1],讓學(xué)生通過拉動(dòng)長方形模型,感知長方形被拉動(dòng)后變成了平行四邊形,并將拉成的平行四邊形與原有的長方形作對(duì)比,發(fā)現(xiàn)圖形周長相等,面積卻在變小。將“拉一拉”這一操作活動(dòng)作為本課的導(dǎo)入方式是否合適,值得深度思考。

        首先,北師大版教材將面積定義為“物體的表面或封閉圖形的大小”。面積是對(duì)“面”的大小的度量,“面”的存在是計(jì)量面積的前提。在“拉一拉”的操作活動(dòng)中,從視覺角度看,學(xué)生能觀察到圖形相鄰兩條邊之間的相對(duì)位置在改變,卻不能直觀地觀察到“面”這一屬性。沒有“面”作為前提,也就無從感知圖形面積(“面”的大?。┰谥饾u變小。

        其次,如圖1所示,捏住長方形模型ABCD的一組對(duì)角向外拉,當(dāng)長方形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛'B'C'D'時(shí),多數(shù)學(xué)生會(huì)認(rèn)為長方形ABCD的面積與平行四邊形A'B'C'D'的面積相等,理由是向斜角凸出的部分(增加的量)和向下減少的部分(減少的量)相等,根據(jù)“量1加上量2,又減去量2,結(jié)果仍為量1”的事實(shí),可以得出長方形ABCD與平行四邊形A'B'C'D'具有“形異量等”的等價(jià)關(guān)系,二者面積相等。

        圖1 長方形被拉動(dòng)后變成平行四邊形示意圖

        此外,學(xué)生在三年級(jí)時(shí)已獲得“長方形的面積=長×寬”的認(rèn)知。從視覺上看,長與寬是長方形相鄰兩邊的長度,因此學(xué)生容易形成“長方形面積等于相鄰兩邊長度乘積”的錯(cuò)誤圖式。在“拉一拉”的操作活動(dòng)中,拉動(dòng)的過程改變的是相鄰兩邊之間的相對(duì)位置,邊的長度并未改變,所以長方形ABCD相鄰兩邊的長度與平行四邊形A'B'C'D'相鄰兩邊的長度相等。利用有關(guān)長方形面積的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),學(xué)生自然而然就形成了“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯(cuò)誤。只有當(dāng)長方形ABCD被拉成比較扁的平行四邊形A''B''C''D''時(shí),學(xué)生才能直觀地發(fā)現(xiàn)圖形的周長沒有變化,面積卻在變小。

        要解決學(xué)生在“拉一拉”操作活動(dòng)中無法直觀感知到“面”這一問題,以及形成“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯(cuò)誤,就必須了解“面”這一屬性,同時(shí)澄清長方形ABCD與平行四邊形A'B'C'D'面積不相等。為此可以采用幾何動(dòng)畫的形式,如圖2所示,以動(dòng)態(tài)的眼光去看,拉動(dòng)的過程實(shí)際就是長方形旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致形變(變?yōu)槠叫兴倪呅危┑倪^程,直觀來看就是長方形的寬沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,此時(shí)邊長保持不變,但面積變小了,而且隨著旋轉(zhuǎn)的繼續(xù),面積會(huì)越來越小。

        圖2 長方形旋轉(zhuǎn)為平行四邊形示意圖

        最后,通過“拉一拉”操作活動(dòng),學(xué)生得出結(jié)論:長方形被拉成平行四邊形后,其面積在變小,即此時(shí)的長方形和平行四邊形之間存在“形異量不等”的關(guān)系。然而,在推導(dǎo)平行四邊形的面積時(shí),學(xué)生是通過“分、移、補(bǔ)”的活動(dòng)將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形,再借助已知長方形的面積計(jì)算公式去推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式的。此時(shí)學(xué)生得出的結(jié)論為平行四邊形與長方形的面積相等(如圖3),即此時(shí)的長方形和平行四邊形之間存在“形異量等”的關(guān)系。可見,學(xué)生在兩個(gè)活動(dòng)中所得出的結(jié)論并不一致,這會(huì)導(dǎo)致他們思維混亂,無法真正理解平行四邊形的面積與長方形的面積之間的內(nèi)在關(guān)系。

        圖3 平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形示意圖

        對(duì)于“拉一拉”這一操作活動(dòng),人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”將其以課后習(xí)題的形式放置于練習(xí)十九中(如圖4)。此前,學(xué)生通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí),已經(jīng)明晰平行四邊形的面積受到底和高的制約,是底和高的乘積;同時(shí)“分、移、補(bǔ)”活動(dòng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到,平行四邊形的面積與長方形的面積相等的原因在于圖形間的內(nèi)部因素具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,即原有的平行四邊形的底與高分別轉(zhuǎn)化成了長方形的長和寬?;谝陨险J(rèn)知經(jīng)驗(yàn)去解釋和說明為什么在拉動(dòng)過程中圖形的面積在變小,就能避免“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯(cuò)誤以及結(jié)論不一致導(dǎo)致的思維混亂。

        圖4 教材中與“拉一拉”操作活動(dòng)相關(guān)的練習(xí)題

        綜上所述,將“拉一拉”操作活動(dòng)作為“平行四邊形的面積”教學(xué)的導(dǎo)入方式,有如下弊端:一是無法保證度量面積的前提——“面”這一屬性的存在;二是當(dāng)捏住長方形的一組對(duì)角輕輕拉動(dòng)時(shí),學(xué)生通過直接觀察模型,無法直觀地感知面積的變化(變?。蚨鴷?huì)認(rèn)為此時(shí)圖形的周長和面積都沒有發(fā)生變化,再結(jié)合對(duì)長方形面積的認(rèn)知,產(chǎn)生“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯(cuò)誤;三是“拉一拉”操作活動(dòng)中平行四邊形與長方形之間呈現(xiàn)的“形異量不等”關(guān)系,與后續(xù)“分、移、補(bǔ)”活動(dòng)中平行四邊形與長方形之間呈現(xiàn)的“形異量等”關(guān)系相互沖突,知識(shí)內(nèi)容的不一致會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維混亂。

        二、“數(shù)方格”法的片面化看待和不科學(xué)規(guī)定

        面積計(jì)量的一個(gè)基本方法是單位面積度量法,在小學(xué)數(shù)學(xué)中通常也叫作“數(shù)方格”法。該方法是將一張方格紙當(dāng)作一把“面積尺”(其中每個(gè)方格代表一個(gè)面積單位),通過將平面圖形平鋪于方格紙上,數(shù)出圖形含有多少個(gè)方格(面積單位的個(gè)數(shù)),以此計(jì)算圖形的面積。[2]在有關(guān)面積內(nèi)容(包括平行四邊形的面積)的教學(xué)中,初始時(shí)一般都會(huì)采用“數(shù)方格”的方法來進(jìn)行。但在部分“平行四邊形的面積”的教學(xué)設(shè)計(jì)中,教師認(rèn)為“數(shù)方格”的方法既不好操作,又很煩瑣,與之相比,剪拼的方法易于操作且方便,因此直接摒棄“數(shù)方格”的方法,強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形通過剪拼的活動(dòng)轉(zhuǎn)化為長方形來計(jì)算面積。[3]

        那么,“數(shù)方格”法在面積教學(xué)中是否重要呢?“圖形與幾何”領(lǐng)域中涉及許多有關(guān)圖形面積計(jì)量(平面圖形的面積以及立體圖形的表面積)的內(nèi)容。史寧中教授認(rèn)為,面積度量實(shí)質(zhì)就是計(jì)算該圖形包含多少個(gè)面積單位。[4]“數(shù)方格”是以方格紙作為度量面積的直觀模型,其實(shí)質(zhì)就是“數(shù)”面積單位的個(gè)數(shù),所以借助“數(shù)方格”的方法可以幫助學(xué)生理解面積是面積單位的累加,計(jì)量面積就是計(jì)量面積單位的個(gè)數(shù)。

        人教版教材中仍然沿用“數(shù)方格”這一方法。在數(shù)格子的過程中,學(xué)生會(huì)遇到所數(shù)“方格”不是“整格”的情況。對(duì)此,教材的解決辦法是:不滿一格的都按半格計(jì)算(如圖5)。

        圖5 教材中“數(shù)方格”的規(guī)定示意圖

        然而,在實(shí)際應(yīng)用中,那些不滿一格的“方格”,有些與一格十分接近,有些非常?。ㄉ踔量梢院雎裕?,全都把它們按半格計(jì)算的做法具有合理性嗎?

        如圖6 所示,圖中兩個(gè)平行四邊形的形狀不同,但底邊長度和高度分別相等。已知決定平行四邊形的面積的因素是底和高,所以底和高分別相等的平行四邊形的面積相等,即圖6中兩個(gè)平行四邊形的面積相等。再根據(jù)平行四邊形面積=底×高,可以計(jì)算出兩個(gè)平行四邊形的面積都為2×2.5=5(平方厘米)。

        圖6 方格紙中底與高相等的兩個(gè)平行四邊形示意圖

        如果采用“數(shù)方格”的方法,可以數(shù)出圖6左邊的平行四邊形有2個(gè)“整格”,“不滿一格”的有7個(gè);右邊的平行四邊形有2個(gè)“整格”,“不滿一格”的有10 個(gè)。按照“不滿一格的都按半格計(jì)算”的規(guī)定,左邊的平行四邊形包含2 個(gè)“整格”和7 個(gè)“半格”,右邊的平行四邊形包含2個(gè)“整格”和10個(gè)“半格”。1 個(gè)方格代表1 平方厘米,半格就代表0.5 平方厘米,從而數(shù)出左邊平行四邊形的面積為5.5 平方厘米,右邊平行四邊形的面積為7平方厘米。

        顯而易見,按照“不滿一格的都按半格計(jì)算”的規(guī)定,“數(shù)”出來的面積數(shù)與實(shí)際面積數(shù)之間存在不一致性,而且還是一個(gè)具有不確定性的估計(jì)值,形狀不同,數(shù)值也不同。因此,將“不滿一格的都按半格計(jì)算”的做法不科學(xué)、不嚴(yán)謹(jǐn)、不具合理性,學(xué)生難以接受。如果換個(gè)角度去引導(dǎo)學(xué)生思考:不采用“不滿一格的都按半格計(jì)算”的做法,那“整格”以外的方格(接近一格與不足半格或兩個(gè)半格)應(yīng)該怎么計(jì)量?學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn),可能會(huì)想出通過剪拼的方式,將不足一格的方格拼在一起變成“整格”來計(jì)量,在此基礎(chǔ)上自然而然地引出轉(zhuǎn)化思想以及實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法——剪拼法,從而建立“數(shù)方格”法與“轉(zhuǎn)化”之間的深度聯(lián)系。

        除此之外,借助方格紙的直觀性進(jìn)行“平行四邊形的面積”的教學(xué),能幫助學(xué)生明確底和高是決定平行四邊形的面積的關(guān)鍵因素,并根據(jù)直觀得到的平行四邊形面積、底和高之間的關(guān)系,推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。如圖7所示,將三個(gè)不同形狀的平行四邊形復(fù)刻于方格紙上,利用方格紙的直觀性,比較它們的底、高、面積之間的關(guān)系。比較圖①和圖②,可知平行四邊形的高相同,底越長,面積越大;比較圖②和圖③,可知平行四邊形的底相同,高越長,面積越大。因此得到?jīng)Q定平行四邊形面積的關(guān)鍵因素為底和高。

        圖7 方格紙上三個(gè)不同形狀的平行四邊形示意圖

        同樣,在圖5提及的方格紙中,一個(gè)方格代表1平方米,邊長為1米的正方形的面積為1平方米,即每個(gè)方格的邊長為1 米。學(xué)生結(jié)合方格圖可以直接數(shù)出三個(gè)平行四邊形的面積、底和高,并通過將三個(gè)不同形狀的平行四邊形的面積與其對(duì)應(yīng)的底和高的乘積進(jìn)行比較,在數(shù)形結(jié)合中發(fā)現(xiàn)規(guī)律:平行四邊形的面積受制于底和高,是底和高的乘積。

        三、“分、移、補(bǔ)”活動(dòng)中結(jié)論和剪拼方式的不完備

        對(duì)于“平行四邊形的面積”的推導(dǎo),教材中多是引導(dǎo)學(xué)生通過“分、移、補(bǔ)”的活動(dòng),沿著高從平行四邊形中分出一個(gè)直角三角形,將其平移到另一側(cè),然后補(bǔ)齊變成長方形(如圖3),此時(shí)平行四邊形的底轉(zhuǎn)化為長方形的長,高轉(zhuǎn)化為長方形的寬,結(jié)合“長方形的面積=長×寬”,推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”。但教材中這樣的設(shè)計(jì)指向的只是一個(gè)特殊的平行四邊形的面積,其高位于平行四邊形內(nèi)部(以下簡(jiǎn)稱“形內(nèi)高”),而對(duì)于高位于形外(以下簡(jiǎn)稱“形外高”)的情況卻并未涉及[5]。

        “形內(nèi)高”平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的方式是將左邊的直角三角形剪下來平移到右邊對(duì)應(yīng)的位置。然而這種剪拼轉(zhuǎn)化的方法,對(duì)于“形外高”平行四邊形來說并不適用(如圖8)。

        圖8 “形內(nèi)高”“形外高”的平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形示意圖

        對(duì)此,學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“是否平面上每一個(gè)平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長方形?”“同一個(gè)平行四邊形具有不同的底邊和對(duì)應(yīng)的高,其面積是否都可以用底與高的乘積來表示?”“所有的平行四邊形都是沿著高分割出一個(gè)直角三角形,平移到另一側(cè),補(bǔ)齊成長方形嗎?”等疑惑。

        因此,只針對(duì)“形內(nèi)高”平行四邊形得出“平行四邊形的面積=底×高”的結(jié)論,在一定程度上會(huì)缺乏說服力。且將其轉(zhuǎn)化為長方形的過程中只涉及“將左邊的直角三角形平移到右邊對(duì)應(yīng)的位置”的剪拼方式,可能會(huì)忽視學(xué)生自主構(gòu)建多樣化的轉(zhuǎn)化方法的可能性。所以,教師應(yīng)該盡可能提供多角度的材料,讓學(xué)生觀察、操作、思考,發(fā)現(xiàn)不同角度、不同形狀、不同大小的平行四邊形(包括“形內(nèi)高”和“形外高”)都可以通過剪拼的方式轉(zhuǎn)化為長方形,剪拼的方式可以是多樣化的。在此基礎(chǔ)上根據(jù)平行四邊形的面積(底乘高)與轉(zhuǎn)化后的長方形的面積(長乘寬)之間建立等價(jià)關(guān)系,結(jié)合“長方形的面積=長×寬”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),得到“平行四邊形的面積=底×高”。這種讓學(xué)生對(duì)不同類型的平行四邊形進(jìn)行剪拼,并由一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)得出的結(jié)論,才能讓學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化方法的多樣性及結(jié)論的科學(xué)性、合理性。因此,我們要對(duì)“平行四邊形的面積”的教學(xué)進(jìn)行重新認(rèn)識(shí),設(shè)計(jì)出科學(xué)、合理并有益于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

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