寇 昊 ，何 川 ，陳子全 ，周子寒 ，蒙 偉 ，肖龍鴿

（1.西南交通大學(xué)交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；2.中國(guó)建設(shè)基礎(chǔ)設(shè)施有限公司，北京100029）

我國(guó)廣泛分布著不同層理產(chǎn)狀的巖體，如頁(yè)巖、板巖、千枚巖等.由于其層理弱面的存在，導(dǎo)致不同傾角巖體力學(xué)性質(zhì)之間的差異顯著，這種巖性的各向異性對(duì)工程穩(wěn)定與安全影響重大[1-2].

許多學(xué)者針對(duì)層狀巖體的各向異性特征和損傷演化過(guò)程進(jìn)行了理論與試驗(yàn)研究.劉運(yùn)思等[3]采用內(nèi)時(shí)理論并引入損傷變量，推導(dǎo)了層狀巖體的內(nèi)時(shí)損傷本構(gòu)方程；史越等[4]建立了考慮單軸荷載損傷的層狀千枚巖損傷本構(gòu)模型，分析了不同層理角度下千枚巖的損傷演化特征；Wang 等[5]基于Drucker-Prager準(zhǔn)則構(gòu)建橫觀(guān)各向同性巖體的彈塑性本構(gòu)模型；Saroglou 等[6]和Shi 等[7]分別采用各向異性指數(shù)kβ和αβ，修正Hoek-Brown 準(zhǔn)則以描述層狀巖體三軸強(qiáng)度的各向異性；Li 等[8]研究了橫觀(guān)各向同性板巖的尺寸效應(yīng)；Pouragha 等[9]將砂巖、板巖看作黏結(jié)顆粒的集合體，結(jié)合局部強(qiáng)度準(zhǔn)則和接觸變形的微觀(guān)力學(xué)公式，描述了層狀巖體的強(qiáng)度各向異性特性；Gholami等[10]采用單軸、三軸和巴西劈裂試驗(yàn)評(píng)估了不同層理方向板巖的彈性參數(shù)和強(qiáng)度特性，具有明顯U 形分布特征；衡帥等[11]、儲(chǔ)超群等[12]分別研究了層狀頁(yè)巖和層狀砂巖的力學(xué)行為、強(qiáng)度、破壞模式等的各向異性特性；鄧華鋒等[13-14]研究了層理弱面對(duì)砂巖的強(qiáng)度變形特征及縱波波速的影響機(jī)制；陳子全等[15]分析了千枚巖不同層理角度的能量損傷演化特征.上述研究多集中于層狀巖體的力學(xué)參數(shù)、強(qiáng)度特性、破壞模式等，而對(duì)于其損傷演化的全過(guò)程研究尚不完善.

為了更好地描述巖石的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^(guò)程變化曲線(xiàn)，劉冬橋等[16]基于花崗巖三軸壓縮試驗(yàn)的缺陷發(fā)展過(guò)程，建立了應(yīng)變軟化損傷本構(gòu)模型，反映出了巖石峰前和峰后的完整變形過(guò)程.溫韜等[17]通過(guò)巖石損傷與耗散能的關(guān)系，建立了考慮巖石初始損傷和殘余強(qiáng)度的本構(gòu)模型.曹文貴等[18]將巖石承載看作由未損傷和損傷2 部分承擔(dān)，提出了考慮殘余強(qiáng)度的巖石損傷本構(gòu)模型.李海潮等[19]從巖石損傷閾值角度，建立了反映低應(yīng)力水平和殘余強(qiáng)度變形特征的損傷模型.為更加真實(shí)準(zhǔn)確地描述層狀巖體的應(yīng)變軟化過(guò)程，本文基于橫觀(guān)各向同性材料的彈性本構(gòu)方程，采用修正的Lemaitre 應(yīng)變等價(jià)假設(shè)，推導(dǎo)了考慮殘余強(qiáng)度的層狀巖體損傷本構(gòu)方程，通過(guò)頁(yè)巖、千枚巖和板巖的三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的合理性，最后分析了不同層理角度巖體的全過(guò)程損傷演化規(guī)律.

1 層狀巖體損傷本構(gòu)模型

1.1 層狀巖體彈性本構(gòu)方程

層狀巖體往往存在明顯的層理弱面，具有顯著的強(qiáng)度各向異性，因此，可以將其視為橫觀(guān)各向同性材料[4]，如圖1 所示.圖中：σx、σy、σz分別為x、y、z向的應(yīng)力；θ為層理角度.在局部坐標(biāo)系O1-x1y1z1中，橫觀(guān)各向同性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

圖1 橫觀(guān)各向同性材料坐標(biāo)示意Fig.1 Diagram of coordinate system for the transversely isotropic materials

根據(jù)彈性力學(xué)局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得到整體坐標(biāo)系O-xyz中，橫觀(guān)各向同性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中：

ε、σ、S分別為整體坐標(biāo)系的應(yīng)變張量、應(yīng)力張量和柔度矩陣；A為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣.

在三軸壓縮條件下，切向應(yīng)力為0，則應(yīng)力（σx，σy，σz）與應(yīng)變（εx，εy，εz）之間的關(guān)系為

1.2 考慮殘余強(qiáng)度的層狀巖體損傷本構(gòu)方程

對(duì)于常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)的圓柱體試件（圖2），軸向應(yīng)力σy=σ1，軸向應(yīng)變?yōu)棣舮=ε1，圍壓σx=σz=σ3，則式（3）的第二式可以改寫(xiě)為

圖2 圓柱體試件示意Fig.2 Schematic diagram of cylinder rock

巖體在外荷載作用下會(huì)產(chǎn)生損傷，許多學(xué)者采用Lemaitre 應(yīng)變等價(jià)假設(shè)[20]，引入損傷變量D進(jìn)行損傷描述，可以得到

當(dāng)巖體破壞時(shí)D=1，殘余強(qiáng)度為0，往往與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果不符，不能體現(xiàn)出巖體破壞后的殘余強(qiáng)度σr.因此，采用殘余強(qiáng)度對(duì)Lemaitre 應(yīng)變等價(jià)假設(shè)進(jìn)行修正[19]，得到

由于巖體內(nèi)部損傷過(guò)程隨機(jī)發(fā)生，具有隨機(jī)分布的特征，因此，采用Weilbull 概率分布構(gòu)建統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型[19-20]，當(dāng)荷載加載到應(yīng)變?chǔ)?時(shí)，D可表示為

式中：m和ε0均為分布參數(shù).

將式（8）代入式（7）得

考慮到巖體受荷達(dá)到峰值強(qiáng)度時(shí)（ε1=εc），其應(yīng)力-應(yīng)變應(yīng)該滿(mǎn)足以下2 個(gè)條件[19-20]：1）σ1=σc；2） ? σ1/?ε1=0.其中，σc和εc分別為層狀巖體應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)在峰值強(qiáng)度處的應(yīng)力值和應(yīng)變值.

對(duì)式（9）求偏導(dǎo)可得

由條件 1） 可得

由條件 2）可得

聯(lián)立式（11）和式（12）得到損傷本構(gòu)模型的分布參數(shù)為

以E= 46.64 GPa，μ= 0.342，εc= 0.004 22，σc=147.29 MPa，σ3=10 MPa 的巖石為例，在考慮殘余強(qiáng)度σr=83.4 MPa 時(shí)，m=3.291，ε0=0.00513；σr=0 時(shí)，m=3.6976，ε0=0.00597.上述2 種情況的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)和損傷過(guò)程曲線(xiàn)如圖3 所示.可以看出，考慮殘余強(qiáng)度所得到的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)更加真實(shí)；此外，考慮殘余強(qiáng)度的巖石在加載過(guò)程中的損傷和損傷速率均提前，且考慮殘余強(qiáng)度的最大損傷速率增大，2 種情況的損傷演化過(guò)程存在明顯的差異.可見(jiàn)，采用考慮殘余強(qiáng)度的損傷本構(gòu)模型進(jìn)行損傷演化規(guī)律研究才更加合理.

圖3 考慮殘余強(qiáng)度與不考慮殘余強(qiáng)度對(duì)比Fig.3 Comparison between the considered and unconsidered residual strengths

2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上一節(jié)層狀巖體損傷本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性，以賈長(zhǎng)貴等[21-23]的層狀頁(yè)巖、千枚巖、板巖三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).將賈長(zhǎng)貴等[21]在不同圍壓條件下考慮層理角度分別為0°、30°、60°、90° 的頁(yè)巖壓縮試驗(yàn)結(jié)果代入式（13）、（14），可以得到該頁(yè)巖損傷本構(gòu)模型的m和ε0，如表1 所示.根據(jù)唐克東等[22-23]的千枚巖、板巖三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果，得到損傷本構(gòu)模型參數(shù)如表2 所示，受篇幅限制，僅列出圍壓為10 MPa 的主要參數(shù).

表1 頁(yè)巖三軸壓縮試驗(yàn)的主要參數(shù)[21]Tab.1 Main parameters of triaxial compression test for shale [21]

表2 千枚巖、板巖三軸壓縮試驗(yàn)的主要參數(shù)[22-23] （σ3=10 MPa）Tab.2 Main parameters of triaxial compression test for phyllite and slate [22-23] （σ3 = 10 MPa）

由式（4）中的Eθ可以計(jì)算得到彈性模量的理論值，其中，由試驗(yàn)得到的頁(yè)巖μ、μ1分別為0.37 和0.34，千枚巖μ、μ1分別為0.30 和0.28，板巖μ、μ1均為0.20，G1可由任意層理角度的試驗(yàn)值計(jì)算，即

彈性模量理論值與試驗(yàn)值的對(duì)比如圖4 所示.由圖可知：不同層理角度的彈性模量理論值與試驗(yàn)值較為接近，層理角度小于45° 時(shí)彈性模量基本不變，大于45° 后表現(xiàn)為隨著層理角度的增加而增大；當(dāng)θ=0° 時(shí)，巖體整體剛度由層理弱面控制，壓縮變形相對(duì)較大，彈性模量?。划?dāng)θ=90° 時(shí)，巖體整體剛度則由基質(zhì)起主導(dǎo)作用，抵抗變形能力增強(qiáng)，因而彈性模量變大[12].可見(jiàn)該理論解能夠反映層狀巖體彈性模量受層理角度的影響.

圖4 彈性模量的理論值與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.4 Comparison between theoretical and experimental values of elastic modulus

通過(guò)考慮殘余強(qiáng)度的層狀巖體損傷本構(gòu)模型得到不同層理角度的頁(yè)巖、千枚巖和板巖三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理論值，將其與試驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比（圖5和圖6），可見(jiàn)理論計(jì)算的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)與試驗(yàn)曲線(xiàn)形態(tài)基本一致，可以很好地描述巖體的彈性變形階段，還可以較好地體現(xiàn)出巖體峰后的應(yīng)變軟化過(guò)程，整體上能夠反映層狀巖體的力學(xué)行為.

圖5 頁(yè)巖應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的理論值與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.5 Comparison between theoretical and experimental values of stress-strain curves for shale

圖6 千枚巖、板巖應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的理論值與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.6 Comparison between theoretical and experimental values of stress-strain curves for phyllite and slate

3 層狀巖體損傷演化規(guī)律研究

根據(jù)表1 和表2 的試驗(yàn)參數(shù)，由式（8）計(jì)算可得層狀頁(yè)巖、千枚巖和板巖的損傷變量D在整個(gè)加載過(guò)程中的變化規(guī)律，如圖7 和圖8 所示.不同于文獻(xiàn)[4, 20]，由于其未考慮殘余強(qiáng)度，損傷演化曲線(xiàn)整體向右發(fā)生偏移，與實(shí)際對(duì)應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)有所偏差.本文的損傷演化曲線(xiàn)更符合試驗(yàn)結(jié)果，整體表現(xiàn)為：在前期加載過(guò)程中巖體處于壓密階段，損傷基本為0 （未發(fā)生損傷）；隨著應(yīng)力的增加，巖體內(nèi)部裂隙開(kāi)始萌生、發(fā)展，直至貫通破壞，損傷也相應(yīng)呈現(xiàn)出緩慢增長(zhǎng)、加速增長(zhǎng)、減速增長(zhǎng)以及達(dá)到殘余強(qiáng)度后穩(wěn)定于1.

圖7 頁(yè)巖的損傷演化曲線(xiàn)Fig.7 Damage evolution curves of shale

圖8 千枚巖、板巖的損傷演化曲線(xiàn)Fig.8 Damage evolution curves of phyllite and slate

從圖7 還可以清晰看到，頁(yè)巖層理角度為60°的巖體損傷演化曲線(xiàn)最陡，損傷發(fā)展速度最快，最先破壞；對(duì)比相同圍壓（10 MPa）的頁(yè)巖、千枚巖和板巖損傷演化曲線(xiàn)，千枚巖相較頁(yè)巖、板巖的層厚更薄，強(qiáng)度更低，層理角度為90° 時(shí)最先破壞，而板巖相對(duì)較厚，強(qiáng)度更高，層理角度為45° 時(shí)最先破壞.在單軸壓縮條件下，層理角度為60° 的頁(yè)巖最先發(fā)生損傷；在三軸壓縮條件下，層理角度為90° 的頁(yè)巖最先發(fā)生損傷，并且圍壓越大，損傷開(kāi)始位置越靠前.在10 MPa 圍壓作用下的千枚巖、板巖也是層理角度為90° 時(shí)最先發(fā)生損傷.當(dāng)巖體層理角度為90° 時(shí)，單軸壓縮下巖體發(fā)生劈裂張拉破壞，三軸壓縮下巖體發(fā)生張剪破壞[13].由于圍壓的作用約束了環(huán)向變形，因而偏應(yīng)力作用下使得作為巖體主要?jiǎng)偠蓉暙I(xiàn)者的基質(zhì)首先發(fā)生損傷，但損傷增速小于層理角度為45°/60° 的巖體.當(dāng)層理角度為0° 時(shí)，不論單軸還是三軸壓縮，巖體的變形均由層理弱面控制，總體表現(xiàn)為穿越基質(zhì)和層理面的張剪破壞[14]，損傷相對(duì)滯后.

從上述層狀巖體損傷演化過(guò)程分析可以看出，由于巖體層理弱面的存在，導(dǎo)致其力學(xué)性能和破壞模式的各向異性，損傷演化規(guī)律也表現(xiàn)出了顯著的差異性.

4 結(jié) 論

1） 建立了考慮殘余強(qiáng)度的層狀巖體損傷本構(gòu)模型，采用層狀頁(yè)巖、千枚巖和板巖的三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證.該模型不僅能夠很好地描述層狀巖體的彈性變形階段，還可以較好地體現(xiàn)出巖體峰后的應(yīng)變軟化過(guò)程，整體上能夠反映層狀巖體的力學(xué)行為.

2） 該模型得到的損傷演化曲線(xiàn)更加符合實(shí)際.初期加載過(guò)程中損傷基本為0 （未發(fā)生損傷），隨著應(yīng)力的增加，損傷值呈現(xiàn)出緩慢增長(zhǎng)、加速增長(zhǎng)、減速增長(zhǎng)以及達(dá)到殘余強(qiáng)度后穩(wěn)定于1.

3） 頁(yè)巖層理角度為60° 時(shí)，損傷演化曲線(xiàn)最陡，損傷發(fā)展速度最快，最先破壞；千枚巖相較頁(yè)巖、板巖的層厚更薄，強(qiáng)度更低，層理角度為90° 時(shí)最先破壞，而板巖相對(duì)較厚，強(qiáng)度更高，層理角度為45° 時(shí)最先破壞.

4） 三軸壓縮條件下，圍壓越大，層理角度為90° 的巖體損傷起始位置越靠前，表明圍壓的作用使得其主要?jiǎng)偠蓉暙I(xiàn)的基質(zhì)體損傷提前.層理角度為0° 的巖體損傷位置相對(duì)靠后，表明層理弱面提供了變形使得損傷滯后.