豆銀玲 ，韋 凱 ，曹 勇 ，王紹華 ，亓 偉 ，王 平

（1.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2.成都工業(yè)職業(yè)技術學院，四川 成都610031；3.西南交通大學土木工程學院，四川 成都 610031；4.奧克蘭大學機械學院，奧克蘭 1010）

隨著我國城市軌道交通規(guī)模的擴大以及運營速度的不斷增加，軌道交通所引發(fā)的環(huán)境振動污染問題也日益顯著.因此，不少學者通常采用數(shù)值仿真的方法對軌道系統(tǒng)的振動和噪聲進行預測[1-3].而建立合理的鋼軌-扣件耦合模型和選取符合實際運營條件的軌道結構動參數(shù)對準確地分析鋼軌振動問題極為重要.

在以往研究中，長直無限長鋼軌主要采用經(jīng)典Timoshenko 梁模擬.由于鋼軌橫截面的剪切中心與質(zhì)心不重合，在橫向荷載作用下，鋼軌橫截面質(zhì)心偏移將引起鋼軌橫向彎曲與扭轉(zhuǎn)的耦合變形，即彎扭耦合變形[4].而經(jīng)典的Timoshenko 梁不能考慮鋼軌彎曲和扭轉(zhuǎn)變形的耦合作用.此外，車輛在軌道上運行時，鋼軌會承受來自橫向、垂向與扭轉(zhuǎn)荷載的共同作用.Vincent 等[5]指出垂向和橫向?qū)壍老到y(tǒng)輻射噪聲的相對貢獻量主要取決于車輪與鋼軌的接觸位置以及各個波沿鋼軌的衰減特征.如果接觸點明顯偏移，由橫向振動引起的輻射噪聲可能會達到甚至超過垂向的貢獻.Kostovasilis 等[6]提出忽略扭轉(zhuǎn)與橫向的耦合作用將會低估鋼軌的橫向振動響應.通過引入經(jīng)驗系數(shù)能近似考慮垂橫向之間的交叉耦合作用，但該系數(shù)不具有普遍性.Timoshenko 等[7]首次提出了薄壁梁的彎扭耦合振動理論.隨后該理論得到廣泛應用，如航空航天、汽車和民用建筑行業(yè)等.Li 等[8]利用解析法分析軸向加載的復合薄壁Timoshenko 梁在各種集中和分布荷載作用下的彎曲與扭轉(zhuǎn)耦合動力響應.易強[9]采用考慮彎扭耦合的Timoshenko 梁模型描述高速鐵路無砟軌道結構，通過對比現(xiàn)場錘擊得到的鋼軌橫向一階pinnedpinned 共振頻率與理論計算的結果，發(fā)現(xiàn)兩者較為吻合.農(nóng)興中等[10]通過測試地鐵常用減振軌道鋼軌的橫向加速度導納，發(fā)現(xiàn)鋼軌的橫向振動特性比垂向振動更為復雜，且鋼軌的橫向振動包括橫向彎曲波和扭轉(zhuǎn)波.綜上可知，如果不考慮鋼軌橫向彎曲與扭轉(zhuǎn)的耦合作用，將可能影響實際橫向彈性波在鋼軌中的傳播特性.

另一方面，扣件膠墊動參數(shù)也是影響軌道動力特性的重要結構參數(shù).為了更準確地預測鋼軌的橫向振動響應，需考慮實際運行條件下列車附加的垂向預壓對扣件膠墊等高分子材料的動力性能的影響[11].Thompson 等[12]通過測試膠墊扭轉(zhuǎn)剛度發(fā)現(xiàn)，由于扭轉(zhuǎn)剛度測試頻率范圍有限，可根據(jù)均質(zhì)材料特性用膠墊垂向剛度估計扭轉(zhuǎn)剛度.因此，垂向預壓力變化將引起扭轉(zhuǎn)剛度產(chǎn)生相應的黏彈性動力性能，而采用本文提出的考慮彎扭耦合的Timoshenko可分析扣件膠墊垂向預壓特性對軌道橫向動力響應特性的影響.

鑒于此，為準確預測彈性波在鋼軌中的傳播特性，亟需建立合理的鋼軌-扣件耦合模型和考慮扣件膠墊垂向預壓特性的影響.為此，本文基于波譜-辛混合法建立了考慮梁彎扭耦合的整體道床無砟軌道空間無限長模型，通過對比分析未考慮鋼軌橫向質(zhì)心偏移與采用經(jīng)典Timoshenko 梁模型的計算結果，驗證本文建立模型的正確性.在此基礎上，探究了不同預壓下扣件膠墊動態(tài)黏彈性力學性能對鋼軌橫向速度導納的影響規(guī)律.最后，通過對比分析實測與理論計算的不同預壓下鋼軌橫向一階彎曲共振頻率，從而闡明考慮梁彎扭耦合和扣件膠墊動態(tài)黏彈性力學性能的必要性.

1 不同垂向預壓下鋼軌橫向錘擊試驗

為了獲取不同垂向預壓力下鋼軌橫向一階彎曲共振頻率，以地鐵常用的DZIII 型鋼軌-扣件系統(tǒng)為測試對象，通過千斤頂在垂向施加不同的預壓力，利用力錘橫向錘擊鋼軌軌頭得到不同預壓力下鋼軌橫向加速度導納.

1.1 試驗設備與測試工況

測試裝置主要采用東方所 INV3018CT 型采集儀、力錘（靈敏度為 0.197 mV/N）以及加速度傳感器，設置采樣頻率為2 000 Hz，傳感器布置及錘擊位置如圖1 所示.測試工況主要依據(jù)我國規(guī)范[13]中測試車輛準靜態(tài)荷載作用下鋼軌扣件彈性墊板動剛度的加載范圍選取，由于現(xiàn)有裝置的加載限制，本次試驗主要選取30、40 、50 kN 作為施加在鋼軌上的垂向預壓力.實際運行中列車作用在扣件膠墊上的預壓一般在0～50 kN 變化[14].在本次試驗中，將千斤頂?shù)念A壓力取為30～50 kN，使該預壓力對鋼軌橫向振動特性有較明顯的影響.

圖1 鋼軌橫向加速度導納測試裝置Fig.1 Schematic of testing device of lateral acceleration admittance of rail

試驗模型中采用安裝狀態(tài)下的單跨鋼軌，通過扣件系統(tǒng)安裝在混凝土基礎上，上部通過閉環(huán)鋼板頂住千斤頂.通過在理論模型中考慮梁的彎扭耦合特性和扣件膠墊采用空間模型的方法，模擬改變垂向預壓力對鋼軌橫向振動特性的影響.試驗中通過力錘橫向錘擊鋼軌軌頭，在上部千斤頂約束下，由于鋼軌橫截面質(zhì)心與剪切中心不重合使得鋼軌產(chǎn)生彎扭耦合作用.

1.2 不同垂向預壓下鋼軌橫向加速度導納

采用千斤頂給鋼軌施加垂向預壓力時，測試的軌道結構與周圍的鋼板框架形成整體振動，將使得測試結構的剛度增大.為了消除外圍鋼板結構的參振影響，采用本文裝置進行試驗時，在千斤頂與鋼軌中間放置軟橡膠墊等可提供良好彈性的結構，且保證結構具有一定厚度以達到較好的隔振效果.獲取加速度導納時，確保有5 次有效錘擊結果，最終結果取其平均值.試驗有效分析頻率的下限值由加速度導納的相干系數(shù)決定，本節(jié)分析段內(nèi)的相干系數(shù)均在0.8 以上.本次試驗中錘擊力為瞬時定點動荷載，通過傅里葉變換到頻域為簡諧荷載，與下文理論部分所用的頻域激勵荷載一致.圖2 給出了垂向30 kN預壓下鋼軌橫向加速度導納5 次錘擊結果.觀察圖2 可知，30 kN 預壓下鋼軌橫向一階彎曲共振頻率為132.8 Hz.由于在40、50 kN 預壓下鋼軌5 次力錘敲擊均具有良好的測試結果.因此，僅展示5 次測試結果的平均值.垂向預壓力分別為30、40、50 kN 時，錘擊得到的鋼軌橫向加速度導納平均值如圖3 所示.根據(jù)圖3 中多次力錘敲擊獲得的鋼軌橫向加速度導納平均值可知，在30、 40、50 kN垂向預壓下，鋼軌橫向一階彎曲共振頻率分別為132.8、140.6、146.5 Hz.

圖2 垂向30 kN 預壓下鋼軌橫向加速度導納Fig.2 Lateral acceleration admittance of rail under vertical preload of 30 kN

圖3 不同預壓下鋼軌橫向加速度導納測試結果平均值Fig.3 Average test results of lateral acceleration admittance of rail under different preloads

2 考慮梁彎扭耦合的整體道床無砟軌道空間無限長模型

為準確高效求解鋼軌振動特性，本節(jié)采用考慮彎扭耦合的Timoshenko 梁模型模擬鋼軌，采用波譜單元法（SEM）和辛數(shù)學方法[14]建立整體道床無砟軌道空間無限長模型.

2.1 考慮彎扭耦合的Timoshenko 梁的波譜單元動剛度矩陣

首先建立考慮彎扭耦合的Timoshenko 梁動力學運動方程：

式中： δ(?) 為狄拉克函數(shù)；m為單位長度質(zhì)量；Fy(x,t)、Fz(x,t)、T(x,t)分別為時刻t作用于軌梁上縱向x位置處的橫向力、垂向力和扭轉(zhuǎn)力矩；uy、uz分別為垂向和橫向位移；θx、θy、θz分別為扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角、橫向轉(zhuǎn)角和垂向轉(zhuǎn)角；Ky和Kz分別為橫向和垂向剪切修正因子；Iy、Iz和J分別為橫向、垂向截面慣性矩和截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)；A為橫截面面積；ρ為密度；I0為轉(zhuǎn)動慣量；y0為鋼軌質(zhì)心至剪心的垂向距離；E、G分別為曲線梁的彈性模量和剪切模量；Kyp、Kzp和Kxr分別為扣件膠墊橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)剛度；xrj為第j個扣件支點坐標；Nr為研究范圍內(nèi)扣件支點個數(shù).

為分析鋼軌的振動特性，首先將鋼軌運動方程進行傅里葉變換到頻域，不考慮外荷載作用，得到頻域內(nèi)鋼軌的振動方程.鋼軌自由波解存在以下形式：

式中：U(?) 為時域位移；U1(?) 為頻域內(nèi)位移；U2(?)為波數(shù)域位移；ω為角頻率；k為波數(shù).

由于鋼軌運動位移之間存在耦合關系，可令鋼軌頻域位移為

式中：b、c為未知量；R1、T1、T2均為波模態(tài)振幅特征系數(shù).

采用波數(shù)法求解自由梁的波數(shù)k，將式（6）、（7）代入式（1）～（5）可得鋼軌自由波動方程為

以梁的橫向運動為例，通過整理式（10）～（12）可得橫向彎曲波和扭轉(zhuǎn)波的6 個波數(shù)，其特征方程為

式中：X11=-mω2+GAKzk2；X12=-ikGAKz；X13=my0ω2；X21= -X12；X22=-ω2ρIy+EIyk2+GAKz；X23=0；X31=X13；X32=X23；X33=-ω2ρI0+GJk2.

式（13）可寫為

令X=0，可得自由梁的特征方程為

式中：e1～e4為系數(shù).

應用范盛金公式[14]對式（15）進行求解，可求解得到k的6 個取值k1～k6.根據(jù)波數(shù)ki可計算式（13）中對應的模態(tài)系數(shù)T1、T2.

將求得的波數(shù)和對應的模態(tài)系數(shù)代入式（7），便可得到自由梁頻域-波數(shù)域位移.同理，可得垂向位移和垂向轉(zhuǎn)角的表達式.結合Timoshenko 梁的位移邊界條件可消除位移中的系數(shù)b和c，得到頻域內(nèi)的位移.

求得自由梁波數(shù)后，便可根據(jù)鋼軌頻域運動方程求解梁波譜動剛度矩陣，進而可利用動剛度矩陣法求解梁的位移.為準確方便獲得波譜動剛度矩陣，采用變分法對梁頻域-波數(shù)域位移進行變分.對橫向和扭轉(zhuǎn)運動方程進行變分，可得其弱積分形式為

式中：l為扣件間距.

根據(jù)材料力學中梁內(nèi)部荷載與位移的關系，通過分步積分，可得降階后的變分方程，進而將消除系數(shù)的位移表達式代入式（16），可得結構橫向和扭轉(zhuǎn)位移的譜單元方程為

式中：Dc(ω)=GAKz(-KcEzKc+iKcEzT1)-EIyT1KcEz×KcT1+GAKz(T1EzT1+iT1EzKc)-GJT2KcEzKcT2-ω2m×Ez-ω2(ρIyT1EzT1-my0EzT2+ρI0T2EzT2-my0T2Ez)=,Kc=diag[k1k2···k6],Ez=(x,ω)ez(x,ω)×dz=,Eci j如式（18），ez(x,ω)=diag[e-ik1xe-ik2x···e-ik6x] ；Hc為根據(jù)位移邊界條件得到的用于消除未知系數(shù)c的矩陣.

式中：a,b=1,2,···6.

同理，可用同樣的方法得到縱向和垂向運動方程的譜動剛度矩陣Su.

2.2 整體道床軌道空間無限長模型的建立

本節(jié)基于上述推導的考慮梁彎扭耦合的波譜單元動剛度矩陣，建立考慮梁彎扭耦合的整體道床無砟軌道空間無限長模型.由于整體道床及其下部基礎剛度很大，整體道床無砟軌道可視為周期離散點支承的鋼軌-扣件系統(tǒng)，如圖4 所示，圖中：Cyp為扣件膠墊阻尼；I為截面慣性矩，因此，能夠應用辛數(shù)學方法[15]等求解該類軌道結構的動力響應.鋼軌-扣件周期子系統(tǒng)的動剛度矩陣Kt如式（19），由扣件系統(tǒng)動剛度矩陣Kp（式（20）與鋼軌波譜單元動剛度矩陣Kg（式（21））構成，其中，單個子結構的鋼軌動剛度矩陣是由單元1 和單元2 動剛度矩陣集成的，如圖4 中子結構所示.

圖4 鋼軌-扣件系統(tǒng)的整體結構與周期子結構示意Fig.4 Overall structure and periodic substructure of a rail-fastener system

式中：Crp和Krp分別為膠墊的阻尼矩陣和剛度矩陣；分別為結構單元1、2 的鋼軌剛度矩陣，=Su(ω)Pv+Sc(ω)Pl，Pv和Pl分別為使譜剛度矩陣Su和Sc擴展到整體矩陣的轉(zhuǎn)換矩陣，式同.

式（21）中不考慮扣件膠墊的質(zhì)量，扣件膠墊作用于鋼軌的物理模型如圖5.圖中：C為質(zhì)心；S為剪切中心；ωF為激勵圓頻率；Czp為橫向阻尼系數(shù)；hr2為軌底距離；Kzp為橫向剛度；br2為底寬的1/2.

圖5 鋼軌橫截面示意Fig.5 Schematic of rail cross section

由于采用辛數(shù)學理論[15]求解周期結構的方法是成熟的，這里將不再贅述.

2.3 模型正確性驗證

本節(jié)采用與現(xiàn)有文獻計算結果進行對比來驗證上述提出的模型和計算方法的正確性.根據(jù)文獻[3]中的參數(shù)，采用波譜-辛混合法計算有砟軌道結構的鋼軌速度導納.由于文獻[3]中采用的梁未考慮彎扭耦合，應用上述模型計算時，將y0取為無窮小，即10-7，再與文獻[3]計算結果進行對比.

本文與文獻[3]關于鋼軌跨中垂向速度導納的計算結果對比如圖6 所示.

圖6 鋼軌跨中垂向速度導納Fig.6 Vertical velocity admittance of a rail at the mid-span

由圖6 可知，本文采用的波譜-辛混合法計算的結果和文獻中采用解析法所得結果基本一致，驗證了本文采用的模型和方法的可靠性.

3 膠墊垂向預壓特性對鋼軌橫向振動特性的影響規(guī)律

分析考慮梁彎扭耦合與否對鋼軌橫向和扭轉(zhuǎn)固有頻率的影響規(guī)律，并與傳統(tǒng)有限單元法（FEM）的計算結果進行對比分析，進一步驗證本文建立模型的正確性；采用文獻[16]測得的不同預壓下扣件膠墊動參數(shù)，計算分析其對鋼軌橫向速度導納的影響規(guī)律，并對比分析仿真的與試驗獲得的不同預壓下鋼軌橫向一階彎曲共振頻率.

3.1 考慮梁彎扭耦合對Timoshenko 梁橫向和扭轉(zhuǎn)固有頻率的影響分析

為便于應用有限元軟件進行模態(tài)分析，將鋼軌視為一根兩端簡支支撐的Timoshenko 梁，選取總長為5.9 m 的梁進行計算分析，該長度已足夠有效計算鋼軌前20 階固有頻率.其幾何和材料屬性可參考文獻[2]給出的T60 軌的相關參數(shù)，軌道結構其他參數(shù)如表1 所示.

表1 軌道結構參數(shù)Tab.1 Structural parameters of rail

為了獲得簡支梁固有頻率，首先，對式（21）獲得的動剛度矩陣施加相應的簡支梁邊界條件使其行列式為0，然后，采用Wittrick-Williams 算法[17]搜索其根值，繼而得到準確的固有頻率，如表2 所示.采用FEM 進行計算時，Beam188 梁單元采用鋼軌實體截面，由于采用不同的單元數(shù)對計算結果有較大的影響，這里給出了單元數(shù)n分別取20、100、1 000 時簡支梁的固有頻率（表2）.

表2 Timoshenko 簡支梁橫向彎曲和扭轉(zhuǎn)固有頻率Tab.2 Lateral bending and torsional natural frequencies of a simply-supported Timoshenko beamHz

從表2 中可以看出：FEM 采用單元數(shù)為1 000時與SEM 采用一個單元計算得到的固有頻率相近.為了提高計算效率，有限單元數(shù)為100 時便可得到相對準確的結果.考慮梁的彎扭耦合振動主要使得鋼軌3 階以上模態(tài)的固有頻率增大，而其中一些偶數(shù)階模態(tài)的固有頻率減小.

3.2 考慮梁彎扭耦合對鋼軌橫向振動特性的影響分析

扣件膠墊采用分數(shù)階Zener 模型模擬[16].為分析考慮Timoshenko 梁彎扭耦合對鋼軌振動特性的影響，圖7 給出了橫向單位簡諧激勵荷載下考慮梁彎扭耦合與否的鋼軌橫向速度導納和扭轉(zhuǎn)速度交叉導納.圖中實線為梁彎扭解耦條件（情況1）下的橫向和扭轉(zhuǎn)速度導納，虛線為考慮梁彎扭耦合變形（情況2）的結果.

圖7 考慮梁彎扭耦合對鋼軌橫向和扭轉(zhuǎn)速度導納的影響Fig.7 Influence of vertical preload dependence of fastener pads on lateral velocity admittance of rail

考慮梁彎扭耦合對鋼軌橫向和扭轉(zhuǎn)速度導納有相似的影響，使其第1 個峰（圖中記為fl）的頻率從110.1 Hz 增加到139.6 Hz，增加了大約29.6 Hz，即鋼軌相對扣件子系統(tǒng)的橫向彎曲共振頻率，峰幅值略微增加.同時，從表2 中可以看出，當鋼軌固有頻率接近fl時，考慮梁彎扭耦合的鋼軌固有頻率大于梁彎扭解耦時對應的值.然而，對于橫向速度導納，其第2 個峰值（圖中記為flp1）的頻率減小了大約47.0 Hz，即鋼軌橫向一階pinned-pinned 共振頻率，且該pinned-pinned 模態(tài)出現(xiàn)在扭轉(zhuǎn)速度導納曲線上，這是由于考慮了梁的彎扭耦合作用.同時，從橫向速度導納曲線可以發(fā)現(xiàn)，考慮梁彎扭耦合，其具有扭轉(zhuǎn)一階和二階pinned-pinned 模態(tài)引起的峰值（圖中記為ftp1和ftp2）.考慮梁彎扭耦合對鋼軌橫向二階pinnedpinned 共振頻率（圖中記為flp2）影響較小.

下文通過結合實測與計算的不同垂向預壓下鋼軌橫向一階彎曲共振頻率，說明考慮梁彎扭耦合的必要性.

3.3 膠墊垂向預壓特性對鋼軌橫向彎曲振動特性的影響分析

不同垂向預壓下，在橫向單位簡諧荷載激勵時鋼軌跨中軌頭原點橫向速度導納如圖8 所示.由圖可知，考慮扣件膠墊預壓特性主要影響鋼軌橫向中低頻振動，即橫向一階pinned-pinned 共振頻率以下，而對其pinned-pinned 共振頻率幾乎沒有影響.隨著垂向預壓力的增大，鋼軌橫向彎曲共振頻率增大，而該頻率以下的振動幅值略微降低.

圖8 扣件膠墊垂向預壓特性對鋼軌橫向速度導納的影響Fig.8 Influence of the vertical preload dependence of rail pads on the lateral mobility of rail

與考慮梁彎扭耦合相比，不考慮梁彎扭耦合時鋼軌具有更高的橫向彎曲共振頻率，為詳細分析不同垂向預壓下考慮梁彎扭耦合與否仿真的和實測的鋼軌橫向一階彎曲共振頻率的關系，圖9 給出了三者隨預壓變化的取值.

圖9 不同預壓下鋼軌橫向彎曲共振頻率的實測與仿真值Fig.9 Measured and simulated results of lateral BRF of rail under different preloads

由圖9 可知，隨著預壓的增大，考慮梁彎扭耦合得到的鋼軌橫向共振頻率變化規(guī)律與實測的結果更為接近.由于鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率高于橫向彎曲共振頻率，考慮梁彎扭耦合特性使得鋼軌橫向彎曲共振頻率高于未考慮的.受扭轉(zhuǎn)振動的約束，隨著預壓的增大，考慮梁彎扭耦合使得鋼軌橫向彎曲共振頻率變化范圍較未考慮的減小.當預壓從30 kN 增加到50 kN時，實測的橫向彎曲共振頻率增加了13.7 Hz，考慮梁彎扭耦合時其增加了12.5 Hz，而未考慮時其增加了21.7 Hz.因此，考慮梁彎扭耦合能更準確地預測鋼軌的振動特性.

4 結 論

本文主要研究結論如下：

1） 本文提出的波譜-辛混合法具有較好的計算精度和效率.SEM 采用1 個單元計算得到的固有頻率值與傳統(tǒng)有限元采用單元數(shù)為1 000 時更相近.

2） 通過錘擊試驗發(fā)現(xiàn)，隨著垂向預壓力從30 kN增加到50 kN 時，測得的鋼軌橫向一階彎曲共振頻率從132.8 Hz 增加到146.5 Hz.

3） 考慮梁彎扭耦合使得鋼軌橫向彎曲共振頻率增加了大約29.6 Hz，而其一階pinned-pinned 共振頻率明顯減小了大約47.0 Hz.同時，鋼軌橫向彎曲和扭轉(zhuǎn)pinned-pinned 模態(tài)相互參與彼此的振動.因此，鋼軌橫向和扭轉(zhuǎn)振動頻譜更豐富.

4） 扣件膠墊垂向預壓特性主要影響鋼軌橫向中低頻振動，隨著預壓的增大鋼軌橫向彎曲共振頻率增大.當預壓從30 kN 增加到50 kN 時，實測的橫向彎曲共振頻率增加了13.7 Hz，考慮梁彎扭耦合時其增加了12.5 Hz，而未考慮時其增加了21.7 Hz.因此，為準確預測鋼軌的振動響應，對軌道結構進行數(shù)值仿真時需考慮梁的彎扭耦合作用.