馬子寅,陳文瓊,梅中磊

(蘭州大學 信息科學與工程學院 光電子與電磁信息研究所,甘肅 蘭州 730000)

亥姆霍茲方程是用于表述電磁波傳播規(guī)律的橢圓偏微分方程,在分析理想各向同性介質(zhì)的邊值問題時,通過對麥克斯韋方程組進行變換,可以得到介質(zhì)中的電場、磁場以及它們的各個分量均滿足亥姆霍茲方程[1]．對亥姆霍茲方程進行求解可以定量地計算出場分布的解析解．對應不同的坐標系,亥姆霍茲方程具有不同的顯示形式,根據(jù)待求解問題邊界條件的不同,應當選擇適合的正交坐標系,對方程進行分析求解．柱坐標系是常用的正交坐標系之一,在柱坐標系下對亥姆霍茲方程求解可計算出圓波導、圓諧振腔、同軸線等結構的場分布[2]．目前,許多教材中對圓柱坐標系下的分離變量法進行了介紹[3,4],但并沒有從根本上分析亥姆霍茲方程通解形式與電磁學問題之間的深層關聯(lián)．本文從柱坐標系下亥姆霍茲方程分離變量法求解出發(fā),分析了通解的不同形式與電磁波狀態(tài)的對應關系,并通過數(shù)值計算和電磁仿真的方式驗證了不同形式的通解對應的典型電磁問題．本文的內(nèi)容對“電磁場與電磁波”“微波技術”等課程的教學及科研具有一定的指導意義．

1 亥姆霍茲方程在柱坐標系下的分離變量法

1.1 柱坐標系下的亥姆霍茲方程的導出

在直角坐標系下,亥姆霍茲方程可表示為

(1)

已知直角坐標系與圓柱坐標系間變量代換關系:

(2)

對式(2)分別求x和y的一階偏導可得

(3)

根據(jù)鏈式求導方程可知

(4)

對式(4)再次求導可得

(5)

(6)

將式(5)、(6)代入到式(1),得到柱坐標系下的亥姆霍茲方程:

(7)

式(7)即為柱坐標系的亥姆霍茲方程,k為波數(shù):

(8)

根據(jù)其物理意義可知,在無耗介質(zhì)中,k的值恒大于0．

采用上述推證方式,形式上看似復雜,但其避免了一般情況下的正交曲線坐標系的問題,更加有利于初學者的理解．

1.2 分離變量法求解

分離變量法的作用是將一個偏微分方程分解為多個只含有一個變量的常微分方程,它是求解亥姆霍茲方程邊值問題的一種常用方法．

根據(jù)上一小節(jié)得到的柱坐標系下的亥姆霍茲方程,設待求解函數(shù)為

u(r,φ,z)=R(r)Φ(φ)Z(z)

(9)

將式(9)代入到式(7)中并化簡可得

(10)

移項可得下式

(11)

等式左邊為關于變量r和z的函數(shù),等式右邊為關于φ的函數(shù)．若要等式成立,則等式兩邊必須等于一個常數(shù),設這個常數(shù)為n2．則可得到

Φ″+n2Φ=0

(12)

由于已知關于φ的函數(shù)必須滿足周期性邊界條件,即

Φ(φ)=Φ(φ+2π)

(13)

因此,關于φ的函數(shù)的通解為

Φ(φ)=Acosnφ+Bsinnφ, (n=0,1,2,3,…)

(14)

當n=0時,式(14)為常數(shù),對應于電磁問題中的軸對稱形式．

將式(11)等式左側部分再次應用分離變量法:

(15)

(16)

(17)

圖1 柱坐標系下亥姆霍茲方程分離變量的5種取值情況

1.3 解的形式的討論

當kz2>0時,方程(16)的通解為三角函數(shù)的線性組合或復指數(shù)函數(shù)的線性組合:

(18)

一般情況下,數(shù)學上不同表達形式對應的解是等價的．但對于電磁場問題,則需要分析解的形式是否適用于當前問題的求解．上式中三角函數(shù)表示的是z方向的駐波,而復指數(shù)形式表示的是行波．

Z(z)=C+Dz

(19)

當系數(shù)D=0時,函數(shù)與z無關．對應于電磁問題中的二維場情形．

Z(z)=C′eδz+D′e-δz=Cshδz+Dchδz

(20)

一般情況下,當z方向為有界時,選擇雙曲函數(shù)更方便計算;反之,當z方向無界時,一般選擇指數(shù)衰減的函數(shù)形式．

(21)

與z方向函數(shù)類似,當徑向傳播的波為行波時,徑向函數(shù)的解應為第一類和第二類漢克爾函數(shù)的線性組合,且分別對應了沿徑向發(fā)散的波和匯聚的波;而當徑向傳播的波為駐波時,則徑向函數(shù)的解為貝塞爾函數(shù)和諾伊曼函數(shù)的線性組合．值得注意的是,由于諾伊曼函數(shù)在r→0時,函數(shù)值趨近于無窮,因此,若求解區(qū)域包含柱軸,則解不應包含諾伊曼函數(shù)．

R(r)=EIn(γr)+FKn(γr)

(22)

(23)

根據(jù)上述討論,并結合圖1中的5種情況,很容易得到相應條件下亥姆霍茲方程的通解形式．下面結合數(shù)值計算和電磁仿真的方法,給出這5種不同的通解形式所對應的典型的電磁應用情景,便于初學者學習和理解．

2 在電磁學中的應用案例

現(xiàn)結合圖1中的5種情況以及1.3節(jié)中的解的具體形式,對各種解所對應的物理場景進行介紹．

2.1 當且時的典型應用

情況1的典型應用就是圓柱型諧振腔．當前情況下場沿z向均勻分布,即諧振腔內(nèi)部的場強不隨z的取值而發(fā)生變化．對于TM模式,有

u(r,φ)=Ez=Jn(kcr)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)

(24)

圖2給出了TM010模式的電場分布,可以看出,該電場的分布不隨z變化;由于n=0,場滿足軸對稱的性質(zhì)．

圖2 TM010模圓諧振腔電場分布

圖3給出了TM110模式的電場分布,電場的分布不隨z變化．但由于n≠0,所以場不滿足軸對稱的性質(zhì).

圖3 TM110模圓諧振腔電場分布

圖4 TEM模同軸線橫截面電場分布

2.2 當且時的典型應用

u(r,φ,z)=Er=(Ern+Fr-n)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)e-ikzz

(25)

u(r,φ,z)=Er=(Ern+Fr-n)·

(B1ncosnφ+B2nsinnφ)(C1coskzz+C2sinkzz)

(26)

同軸諧振腔的剖面場分布如圖5所示．

圖5 TEM模同軸線諧振腔縱剖面電場分布

2.3 當且時的典型應用

情形3經(jīng)常用于描述邊界表面處的倏逝波,比如光纖中包層內(nèi)的場分布．光纖是由纖芯和包層組成的同心柱狀玻璃體,光纖纖芯折射率高于包層中的折射率,以特定角度傳輸?shù)墓獠ㄔ诠饫w纖芯及包層之間發(fā)生全反射,實現(xiàn)光波低損耗傳播[5,6]．傳播常數(shù)β=kz是描述光纖傳輸特性的重要參數(shù),光纖中傳輸模式的傳播常數(shù)被限制在一定范圍內(nèi),即

k0n2

(27)

其中,n1為纖芯的折射率,n2為包層的折射率．階躍折射率光纖的縱向分量滿足亥姆霍茲方程,對應的徑向函數(shù)滿足

(28)

根據(jù)傳播常數(shù)β的取值范圍可知,當i=2時,即對包層的縱向分量進行求解時,徑向函數(shù)滿足虛宗量貝塞爾方程,徑向函數(shù)的解為虛宗量貝塞爾函數(shù)和虛宗量漢克爾函數(shù)的線性疊加．由于求解的區(qū)域包含r→∞,因此通解不應包括虛宗量貝塞爾函數(shù)．包層中的場函數(shù)(縱向電場或者磁場)為

(B1ncosnφ+B2nsinnφ)e-ikzz

(29)

n=0時,可繪制光纖橫截面上的場強分布如圖6所示,其中黑色圓圈之外的區(qū)域表示的就是包層．可以看出,遠離分界面的地方,場強逐漸減小,從而使得光場主要被束縛在纖芯內(nèi)部．

圖6 光纖包層橫截面電場分布

2.4 當且時的典型應用

圓波導是指截面為圓形的空心金屬波導管,是微波系統(tǒng)中的基本傳輸線之一．圓波導中沿軸向傳播電磁波,因此關于z的函數(shù)應為行波形式,且只需要考慮沿一個方向傳播．對于圓波導問題,顯然求解區(qū)域包含柱軸,因此解不包含諾伊曼函數(shù)．根據(jù)上述分析和線性疊加原理可以列出圓波導中TE模式的場函數(shù):

u(r,φ,z)=Hz=Jn(kcr)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)e-ikzz

(30)

利用式(30)繪制TE21模場強分布如圖7(a)所示.

如果將圓形波導的兩端用金屬封閉起來,就可以得到圓柱形諧振腔,一般情況下,其在軸向形成駐波,因而有

u(r,φ,z)=Hz=Jn(kcr)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)·

(C1coskzz+C2sinkzz)

(31)

2.5 當且時的典型應用

情況5描述的也是分界面上的倏逝波,當分界面處的表面阻抗為感抗或者容抗形式時,可以分別支持TM或者TE形式的表面波[7]．近年來,對于二維電磁超表面的研究如火如荼,利用其中的阻抗超表面,就可以激勵和支持這種類型的表面波,且在全息天線的設計中得到了廣泛的應用[8,9]．這類倏逝波可分為倏逝駐波和倏逝行波,兩者之間的區(qū)別在于徑向波的形式為駐波還是行波．比如,TM模式的電場函數(shù)可分別表示為

u(r,φ,z)=Ez=Jn(kcr)(B1ncosnφ+B2nsinnφ)e-δz

(32)

(33)

在一個底部覆蓋介質(zhì)的圓柱諧振腔中,可以激勵和支持這種形式的倏逝駐波．其電場分布如圖8所示．其中,圖8(e)給出了縱截面上的磁場分布矢量圖,從中可以看出,遠離介質(zhì)和空氣表面的地方,場逐漸衰減,因此是一種非常典型的表面波．

3 結語