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        用高斯變分和Jourdain變分導(dǎo)出非完整約束系統(tǒng)的拉格朗日方程

        2023-11-02 13:08:58張九鑄
        大學(xué)物理 2023年10期
        關(guān)鍵詞:乘子拉格朗變分

        張九鑄

        (金昌市 龍門學(xué)校,甘肅 金昌 737104)

        目的是藉此導(dǎo)出系統(tǒng)的含有待定乘子的拉格朗日方程[2,3],但都沒(méi)有出現(xiàn)關(guān)于這個(gè)關(guān)系式的導(dǎo)出過(guò)程,也承認(rèn)是一個(gè)假設(shè).而筆者認(rèn)為,這個(gè)未經(jīng)證明且?guī)缀我饬x不明確的關(guān)系式其實(shí)沒(méi)必要引入,因?yàn)?只要將高斯變分代入動(dòng)力學(xué)普遍方程中,即可用拉格朗日待定乘子法導(dǎo)出一般性的一階非完整約束系統(tǒng)的拉格朗日方程,至于其中非完整約束都是一階線性非完整約束的系統(tǒng),就只是它的一種特殊情形.如果一定要從一階線性非完整約束方程組出發(fā)導(dǎo)出后者,則可用Jourdain變分.這樣得到的結(jié)果,都與文獻(xiàn)[5]從速度空間和加速度空間概念出發(fā)導(dǎo)出的結(jié)果相同.

        1 高斯變分和Jourdain變分

        設(shè)系統(tǒng)的非完整約束方程組可表示如下:

        (1)

        將以上二式相減,得

        (2)

        (3)

        (4)

        式(2)、(3)、(4)中的δri都是虛位移.

        2 用Gauss變分研究一般性一階非完整約束系統(tǒng)

        雙面的理想約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)普遍方程為

        (5)

        將式(3)代入式(5)得到理想約束系統(tǒng)高斯原理[7]

        (6)

        現(xiàn)令系統(tǒng)發(fā)生高斯意義下的虛變更.首先,由式(1)得到系統(tǒng)的2次可能微變更為

        (7)

        則得到

        (8)

        (9)

        將其代入式(6),得到

        可改寫為

        由此可得用廣義坐標(biāo)表示的高斯原理[2]:

        (10)

        于是,由式(8)、(10)和拉格朗日乘子法,可得系統(tǒng)的拉格朗日方程:

        再假設(shè)系統(tǒng)的前h個(gè)非完整約束是一階線性的,后k-h個(gè)是一階非線性的,則上式還可改寫為[9]

        α=1,2,…,n

        (11)

        3 研究一階線性非完整約束系統(tǒng)

        3.1 利用Jourdain變分求拉格朗日方程

        設(shè)雙面的理想約束的系統(tǒng)同時(shí)含有完整約束和一階線性非完整約束,后者可表示為

        (12)

        當(dāng)式(11)不涉及非線性非完整約束fr=0,r=h+1,…,k時(shí),式(11)就變成現(xiàn)在系統(tǒng)的拉格朗日方程.如果一定要從約束方程式(12)出發(fā)而導(dǎo)出它,則可利用Jourdain變分.

        (13)

        (14)

        這里已經(jīng)考慮:二方程中的Arα(t,q)、Ar(t,q)都對(duì)應(yīng)相等,因?yàn)樗鼈儧Q定于系統(tǒng)的同一組給定的初始可能值(t,q).接著,將以上二式相減,且記

        (15)

        這正是Jourdain變分,見式(4),得

        (16)

        將式(4)代入式(5),得到理想約束系統(tǒng)的Jourdain原理[7]

        (17)

        (18)

        (19)

        將式(19)、式(18)分別代入式(17)圓括號(hào)內(nèi)的第1、2項(xiàng),得

        由此得到以廣義坐標(biāo)表示的雙面、理想、一階線性非完整約束的系統(tǒng)的Jourdain原理[2]:

        于是,由式(16)和上式及拉格朗日乘子法,可得到這種系統(tǒng)的拉格朗日方程為

        (20)

        3.2 用哈密頓原理求拉格朗日方程

        文獻(xiàn)[10]就非完整約束組為式(12)所示的一階線性非完整約束組且所有主動(dòng)力均具勢(shì)的系統(tǒng),用哈密頓原理:

        導(dǎo)出了與式(20)等價(jià)的拉格朗日方程.但該文獻(xiàn)是從式(12)直接寫出系統(tǒng)虛位移δq所滿足的方程:

        (21)

        其實(shí),式(21)與通過(guò)求Jourdain變分而得到的的結(jié)果一致.為此,以下同樣從哈密頓原理出發(fā),但用Jourdain變分導(dǎo)出式(20).

        一般形式的理想約束系統(tǒng)的哈密頓原理[11]為

        (22)

        令系統(tǒng)發(fā)生Jourdain意義下的虛變更.先將式(14)與式(13)相減,且注意出現(xiàn)的Jourdain變分還可寫為

        (23)

        則立即得到

        (24)

        用h個(gè)拉格朗日待定乘子λr(r=1,2,…,h)分別乘式(24)中h個(gè)方程,再將它們相加,求積分,有

        再將上式與式(22)相加,得到

        (25)

        假設(shè)dδ滿足可交換性,則上式中的

        將其代入式(25),得到

        因積分端點(diǎn)固定,故δqα|t1=δqα|t2=0,即上式第1個(gè)積分為0,從而由上式得

        進(jìn)一步假設(shè)h個(gè)Lagrange待定乘子λr(r=1,2,…,h)恰好保證上式中所有虛位移δqα的系數(shù)均為零,則由上式可得式(20).

        4 總結(jié)

        上述推導(dǎo)過(guò)程中并未用到Четаев關(guān)系式這個(gè)“人為強(qiáng)加的”條件[12],同樣可得正確結(jié)果.總之,筆者認(rèn)為沒(méi)有必要引入這個(gè)關(guān)系式,而是始終利用了虛變更是2次可能微變更之差這一思想,無(wú)論是在引入虛位移時(shí)[見式(2)],還是對(duì)約束方程組作可能微變更時(shí)[見式(7)和式(15)].

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