余玉嬌

焦半徑是指圓錐曲線的焦點(diǎn)與曲線上一點(diǎn)的連線.橢圓的焦半徑問題側(cè)重于考查橢圓的定義、方程、幾何性質(zhì)，以及焦半徑公式、弦長(zhǎng)公式.解答這類問題，往往要用到數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想.下面以一道題為例，來探討一下如何求解橢圓的焦半徑問題.

例題：已知點(diǎn)[F]是橢圓[x2a2+y2b2=1]的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)[F]的直線交橢圓于[A，B]兩點(diǎn)，試判斷[1AF+1BF]是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

可根據(jù)題意畫出如圖所示的圖形，這樣便能快速明確各個(gè)點(diǎn)、曲線、直線之間的位置關(guān)系，結(jié)合圖形尋找到一些幾何關(guān)系，據(jù)此建立關(guān)系式.主要有以下幾種求解思路.

一、利用正余弦定理

在解答橢圓的焦半徑問題時(shí)，可將焦點(diǎn)看作幾何圖形中有特殊意義的點(diǎn)，將焦半徑看作三角形、梯形、平行四邊形的一條邊，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)建立幾何關(guān)系.然后構(gòu)造三角形，利用正余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義建立關(guān)于線段、角之間的關(guān)系式，從而求得線段、焦半徑的長(zhǎng).

以一條焦半徑AF為邊，構(gòu)造[ΔAFF]，就能將問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.然后根據(jù)橢圓的方程和第一定義，求得另一條焦半徑[AF]和焦距[FF]的長(zhǎng)，即可得到三角形三邊的長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理建立關(guān)系式，就能順利求得焦半徑AF、[AF]的表達(dá)式.

二、利用橢圓的第二定義

橢圓的第二定義，即為圓錐曲線的統(tǒng)一定義，是指平面內(nèi)到焦點(diǎn)的距離與準(zhǔn)線的距離之比為e的點(diǎn)的軌跡.其中平面內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，即為圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也就是焦半徑.在解答橢圓的焦半徑問題時(shí)，可先根據(jù)橢圓的方程求得準(zhǔn)線的方程[x=±a2c]；然后根據(jù)橢圓的第二定義建立關(guān)于焦半徑、準(zhǔn)線的關(guān)系式，即可求得焦半徑的值或者表達(dá)式.一般地，若橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，曲線上一點(diǎn)P（x0，y0），則焦半徑為|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.

先根據(jù)橢圓的第二定義建立焦半徑、離心率、準(zhǔn)線之間的關(guān)系式；然后用直線AB的傾斜角表示出A、B的橫坐標(biāo)，即可通過三角恒等變換消去角[θ]，得到[1AF+1BF]的值.根據(jù)橢圓的第二定義建立等量關(guān)系式，可大大減少運(yùn)算量.

三、利用參數(shù)方程

橢圓[x2a2+y2b2=1]的參數(shù)方程為：[x=acosθ，y=bsinθ，]其中[θ]為參數(shù)；過點(diǎn)M（x0，y0），傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為[x=x0+tcosx，y=y0+tsinx，]在求解橢圓的焦半徑問題時(shí)，可根據(jù)橢圓（直線）的參數(shù)方程設(shè)出橢圓（直線）上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式或參數(shù)的幾何意義求得焦半徑的表達(dá)式.最后通過三角恒等變換化簡(jiǎn)表達(dá)式，即可解題.

解答本題，需明確直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，并將AB所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t看作一元二次方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理解題.

解答橢圓的焦半徑問題，需注意：（1）明確焦半徑與橢圓的位置關(guān)系；（2）根據(jù)橢圓的方程和定義建立關(guān)于焦半徑的關(guān)系式，或用參數(shù)a、b、c表示出焦半徑；（3）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖形，建立關(guān)于焦半徑的幾何關(guān)系.