劉 陽

（吉林通用航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 吉林 132211）

機床切削顫振是一種常見的機械加工問題，會導(dǎo)致切削過程中的振動和不穩(wěn)定性，嚴(yán)重影響加工質(zhì)量和效率。同時，機床切削顫振系統(tǒng)是一個復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)，涉及切削力、切削過程、刀具和工件的相互作用等多個因素[1]。了解和分析機床切削顫振系統(tǒng)的動力學(xué)特性，可以揭示顫振產(chǎn)生的機理、預(yù)測和識別顫振的發(fā)生并制定有效的抑制和控制策略。據(jù)此，該文在了解機床切削顫振機理的基礎(chǔ)上，結(jié)合機床切削顫振系統(tǒng)動力學(xué)模型構(gòu)建近似方程，通過計算、分析得出機床切削顫振系統(tǒng)動的力學(xué)特性，旨在為優(yōu)化切削過程、提高加工效率提供理論依據(jù)和技術(shù)支持。

1 機床切削顫振機理

機床切削顫振是指在機床切削過程中刀具和工件之間發(fā)生的不穩(wěn)定振動現(xiàn)象[2]。該現(xiàn)象由切削力和剛性之間的相互作用引起，會導(dǎo)致出現(xiàn)切削質(zhì)量下降、刀具磨損加劇甚至刀具折斷等問題，嚴(yán)重影響機床切削加工效率和加工質(zhì)量。機床切削顫振的形成機理較多，如切削參數(shù)選擇不當(dāng)、刀具與工件不平衡等，具體如下。

第一，切削力與剛性之間的相互作用。在切削過程中，刀具對工件施加切削力，切削力通過刀具和工件傳遞到機床結(jié)構(gòu)上[3]。機床結(jié)構(gòu)的剛性決定了其對切削力的抵抗能力。當(dāng)切削力超過機床結(jié)構(gòu)的剛性限制時，機床結(jié)構(gòu)會發(fā)生彎曲、撓曲和扭曲等變形情況，導(dǎo)致機床結(jié)構(gòu)出現(xiàn)振動，甚至出現(xiàn)顫振。

第二，切削過程中的共振現(xiàn)象。當(dāng)切削頻率與機床結(jié)構(gòu)的固有頻率相接近時，能量會被傳遞到機床結(jié)構(gòu)上，引發(fā)共振振動。而共振振動會增加機床結(jié)構(gòu)的撓度和變形，使切削力增大，導(dǎo)致切削力不穩(wěn)定，并引起顫振[4]。

第三，切削參數(shù)。切削參數(shù)的選擇對機床切削顫振的發(fā)生具有重要作用。不恰當(dāng)?shù)那邢鲄?shù)，包括切削速度、進給量和切削深度等，極有可能導(dǎo)致切削力的不穩(wěn)定變化，進而引起機床顫振。

第四，刀具與工件不平衡。當(dāng)?shù)毒呋蚬ぜ嬖诓黄胶鈺r，切削力在刀具或工件上的分布就會不均勻，導(dǎo)致機床產(chǎn)生振動，進而影響加工質(zhì)量和機床的壽命[5]。

2 機床切削顫振系統(tǒng)動力學(xué)模型

2.1 主振型的正交性

在連續(xù)系統(tǒng)振動中，不同的振動模態(tài)之間存在主振型的正交性特征，即每個主振型都是相互獨立的，但它們在時間和空間上存在正交。在振動分析中，通過求解振動模態(tài)和頻率，可以得到一系列主振型，每個主振型對應(yīng)一個特定的頻率和振動形態(tài)。在彈性體振動（對象為刀具等）中，需要應(yīng)用積分方式進行表達。

主振型的正交性特征應(yīng)滿足公式（1）和公式（2）。

式中：Yi（x）為第i個主振型在位置x處的振幅；Yj（x）為第j個主振型在位置x處的振幅；wi為Yi（X）的固有頻率；wj為Yj（X）的固有頻率。

對公式（1）、公式（2）進行積分處理，可得公式（3）。

同理，工件子系統(tǒng)縱向振動時，主振型公式如公式（4）所示。

2.2 切削顫振系統(tǒng)振動方程

高次諧波的振幅通常較小，不足以引起系統(tǒng)的顫振振蕩。因此在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，通常會將高次諧波的作用視為小幅度的擾動，并對其進行線性化處理。通過線性化處理可以簡化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，使其更易于分析和計算。進行線性化處理后，可以將系統(tǒng)的動態(tài)行為描述為基波的振蕩和響應(yīng)。由此，在系統(tǒng)抗顫振穩(wěn)定性的分析中，可以忽略高次諧波的作用，轉(zhuǎn)而關(guān)注基波的穩(wěn)定性。根據(jù)上述分析，該文對切削顫振系統(tǒng)采取的假設(shè)如下：基波是系統(tǒng)抗顫振穩(wěn)定性的重要因素，高次諧波的作用可忽略[6]。

基于該假設(shè)，結(jié)合工件與刀具彈性子系統(tǒng)，根據(jù)非線性動態(tài)切削力耦合分析（考慮材料非線性特性、動態(tài)響應(yīng)分析等）來確定工件與刀具彈性子系統(tǒng)的動力學(xué)方程，如公式（5）所示。

式中：V0為工件上與刀具接觸點的理論切向線速度；Fy為吃刀力；X11為工件與刀具相互接觸點固有頻率w11所對應(yīng)的第一階正則模態(tài)值；Y11為工件與刀具相互接觸點固有頻率w22所對應(yīng)的第一階正則模態(tài)值；asgn（V）-bV-cV3為刀具與工件在進刀方向上的摩擦系數(shù)與相對速度的非線性關(guān)系；x1為工件彈性子系統(tǒng)的縱向正則坐標(biāo)；y1為工件彈性子系統(tǒng)的橫向正則坐標(biāo)。

3 機床切削顫振系統(tǒng)動力學(xué)特性分析

3.1 Range-Kutta 分析法

Range-Kutta 法是一種常用的數(shù)值求解常微分方程的方法[7]。該方法的基本思想是將微分方程轉(zhuǎn)化為一系列差分方程，并通過迭代計算來逼近解。首先，根據(jù)微分方程的形式，將其離散化為一系列差分方程，并給定初始條件，即方程在某一初始點上的解[8]。其次，根據(jù)差分方程和初始條件，使用迭代計算的方法來逼近方程的解。需要指出的是，該方法下的每步計算均需要進行4 次計算，以求得更新解的逼近值[9]。最后，根據(jù)需要的精度和步長，重復(fù)進行迭代計算，直到達到所需的精度或滿足停止條件。Range-Kutta 法的計算如公式（6）～公式（10）所示。

式中：H為步長；K1、K2、K3、K4為迭代計算次數(shù)；yn為更新前數(shù)值；yn+1為更新后的數(shù)值。

3.2 主共振時系統(tǒng)動力學(xué)特性

在主共振頻率附近會出現(xiàn)系統(tǒng)增益較高的情況，即系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)變得更敏感，并放大輸入信號的幅度。同時，系統(tǒng)的輸出信號會滯后于輸入信號，并且滯后的程度隨著頻率接近主共振頻率而增加。另外，主共振時，系統(tǒng)會將輸入信號的能量聚集到主共振頻率附近的頻率分量上，并且系統(tǒng)對主共振頻率附近的頻率分量具有選擇性放大的特點。如果系統(tǒng)在主共振頻率附近存在過高的增益和相位延遲，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，進而產(chǎn)生劇烈振蕩或失控行為。

基于上述分析，結(jié)合Range-Kutta 法與公式（5），在公式（5）中引入新變量τ=w0t，將其轉(zhuǎn)化為無量綱形式。在該基礎(chǔ)上，考慮分段函數(shù)具有復(fù)雜性特征，需要替換原有符號函數(shù)，并對替換前、替換后的曲線情況進行對比和分析。通過替換得到近似方程，如公式（11）所示。

將V0設(shè)置為0.1，通過公式計算得到x方向上的位移時間歷程、相軌圖，具體如圖1所示。

圖1 V0 為0.1 時x 方向上的位移時間歷程、相軌圖

將V0設(shè)置為0.1，通過公式計算得到y(tǒng)方向上的位移時間歷程、相軌圖，具體如圖2所示。

圖2 V0 為0.1 時y 方向上的位移時間歷程、相軌圖

通過觀察圖1、圖2 可以得出如下結(jié)論：工件子系統(tǒng)、刀具子系統(tǒng)在1∶1 內(nèi)共振情況下，振幅增加不明顯，其原因是振動能量得到了有效吸收與分散。在切削速度不斷增加的情況下，振幅會不斷增加，其原因是切削速度增加導(dǎo)致了切削力和切削過程的非線性特性增加，進而引起了振動的不穩(wěn)定性。切削方向的相軌跡為圓形，其原因是切削過程中的切力和切削過程的非線性特性導(dǎo)致其出現(xiàn)周期性振動。在機床切削過程中，工件切削方向上的周期振動始終穩(wěn)定，其原因是切削方向上的剛度和阻尼等因素的影響使振動得到了有效抑制和控制。

4 結(jié)語

綜上所述，機床切削顫振系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析需要充分考慮切削過程中的切削力、切削過程的非線性特性和機床結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼等因素。該文在分析機床切削顫振機理的基礎(chǔ)上，結(jié)合主振型的正交性、切削顫振系統(tǒng)振動方程和Range-Kutta 分析法，建立了近似方程，對機床切削顫振系統(tǒng)進行了計算和分析。研究結(jié)果顯示，工件子系統(tǒng)、刀具子系統(tǒng)在1∶1 內(nèi)共振情況下，振幅增加不明顯，但在切削速度不斷增加的情況下，振幅會不斷增加。切削方向的相軌跡為圓形，并且在機床切削過程中，工件切削方向上的周期振動始終穩(wěn)定。