董文峰 任宏章

?南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校

對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué),一般更多關(guān)注的是怎樣“習(xí)得”概念,課堂偏重于教師的教的設(shè)計(jì)和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的表述和理解.

筆者感覺(jué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)多關(guān)注學(xué)生怎樣“研得”概念.從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度出發(fā)進(jìn)行課堂問(wèn)題設(shè)計(jì),通過(guò)課堂對(duì)話開(kāi)展學(xué)習(xí),課堂聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng),課堂重心落在在怎樣“研得”概念上,落在數(shù)學(xué)概念的模型建構(gòu)上,落在數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)特征的感悟和發(fā)現(xiàn)上,自然生成數(shù)學(xué)概念,學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)概念的“研得”過(guò)程中得到提升.

下面筆者以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第六章“6.1二次函數(shù)”為例,闡述“研得”二次函數(shù)概念的過(guò)程.

1 學(xué)習(xí)目標(biāo)的素養(yǎng)定位

生成性教學(xué)觀點(diǎn)認(rèn)為:學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)有水平是有效建構(gòu)生成性教學(xué)的基礎(chǔ)和起點(diǎn),只有以學(xué)生的基礎(chǔ)為生成點(diǎn),才是有效進(jìn)行生成性教學(xué).教師通過(guò)與學(xué)生的平等對(duì)話,促使學(xué)生的知識(shí)理解和掌握水平在課堂上充分地展現(xiàn)出來(lái),這樣在課堂教學(xué)中,教師就可以較好地照顧到每個(gè)學(xué)生的發(fā)展,對(duì)預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行或升或降的調(diào)整和改變,以適合當(dāng)前學(xué)生發(fā)展水平的需要[1].學(xué)習(xí)過(guò)程以生成性教學(xué)理論為指導(dǎo),希望通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,設(shè)計(jì)串聯(lián)問(wèn)題驅(qū)動(dòng),實(shí)行課堂靈動(dòng)對(duì)話,促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的自然生成,實(shí)現(xiàn)學(xué)生抽象建模和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

鑒于此,確定學(xué)習(xí)目標(biāo)如下:

(1)以舊引新,依據(jù)課本圖片素材,預(yù)設(shè)生成變量關(guān)系,形成對(duì)二次函數(shù)變量關(guān)系的初步理解;

(2)建立模型,激活原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),通過(guò)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系式的本質(zhì)特征,概括、抽象二次函數(shù)的概念;

(3)鞏固理解,利用概念解決問(wèn)題,會(huì)確定二次函數(shù)自變量的取值范圍,形成運(yùn)用二次函數(shù)概念解決問(wèn)題的能力;

(4)總結(jié)建構(gòu),鞏固研究函數(shù)對(duì)象關(guān)系的基本方法,提高研究數(shù)學(xué)概念的思維能力,發(fā)展數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

學(xué)習(xí)重點(diǎn):從實(shí)際情境中抽象出二次函數(shù)模型,通過(guò)觀察、比較、概括,抽象生成二次函數(shù)概念.

2 學(xué)習(xí)過(guò)程的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)與教學(xué)分析

我們知道,課堂學(xué)習(xí)的溝通不僅包含信息發(fā)出的表達(dá)與信息接收的傾聽(tīng),還包括信息接收者對(duì)信息發(fā)出的反饋,師生高階的思維對(duì)話是思想的碰撞、共建,是思維互動(dòng)與智慧共生.

2.1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,感悟變量關(guān)系

教者呈現(xiàn)出兩幅圖片,如圖1、圖2所示.

圖1

圖2

圖1是初中七年級(jí)上冊(cè)第一章第一節(jié)“生活與數(shù)學(xué)”中的圖片,圖2是八年級(jí)上冊(cè)第六章第一節(jié)“函數(shù)”中的圖片.

圖1中,長(zhǎng)方形籬笆問(wèn)題涉及到哪些量?針對(duì)圖1,同學(xué)們想提出什么問(wèn)題?

圖2中,水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展的過(guò)程中涉及到哪些變量?針對(duì)圖2,同學(xué)們想提出什么問(wèn)題?

教學(xué)分析：此設(shè)計(jì)基于情境,從學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)出發(fā),著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),采用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的教材上的兩幅圖片,一下子調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系.再通過(guò)設(shè)問(wèn),激發(fā)學(xué)生想要探求實(shí)際問(wèn)題的欲望,引發(fā)學(xué)生的深層思考.學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題中的基本要素,進(jìn)而提出要研究的問(wèn)題,為深入研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中基本要素之間的關(guān)系做了良好鋪墊.在問(wèn)題的探討過(guò)程中學(xué)生有了系統(tǒng)思維的意識(shí),進(jìn)行了多元對(duì)象之間關(guān)系的梳理.

2.2 依據(jù)變量關(guān)系,建立函數(shù)模型

針對(duì)圖1、圖2,教者接著提出如下問(wèn)題:

問(wèn)題1蘇科版七年級(jí)上冊(cè)第7頁(yè)“試一試”第3題——學(xué)校打算用16 m長(zhǎng)的籬笆圍成長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔.怎樣圍可使小兔的活動(dòng)范圍較大?

若16 m長(zhǎng)的籬笆圍成的長(zhǎng)方形生物園長(zhǎng)為xm、寬為ym,則x,y有何關(guān)系?

若圍成的長(zhǎng)方形生物園面積為16 m2,其長(zhǎng)為xm、寬為ym,則x,y有何關(guān)系?

若16 m長(zhǎng)的籬笆圍成的長(zhǎng)方形生物園長(zhǎng)為xm、面積為Sm2,則x,S有何關(guān)系?

問(wèn)題2如圖2,若水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展的圓面積為S、圓周長(zhǎng)為C、圓的半徑為r,則S,C,r之間有何關(guān)系?

問(wèn)題3如圖3,一面長(zhǎng)與寬之比為2∶1的矩形鏡子,四周鑲有邊框.已知鏡面的價(jià)格是120元/m2,邊框的價(jià)格是30元/m,加工費(fèi)為45元.設(shè)鏡面寬為xm,求總費(fèi)用y(單位:元).

圖3

教學(xué)分析：教者設(shè)計(jì)的問(wèn)題1與問(wèn)題2,巧妙運(yùn)用課本情境,通過(guò)追問(wèn),自然得到了變量間的不同關(guān)系,生成學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、反比例函數(shù)模型,還有即將研究的新的函數(shù)模型(二次函數(shù)).這些變量關(guān)系放一起,通過(guò)比較,在原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的驅(qū)使下,學(xué)生很容易就會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)“S=πr2”“S=8x-x2”是什么函數(shù)?此時(shí)繼續(xù)拋出問(wèn)題3,問(wèn)題3的設(shè)計(jì)對(duì)變量間的關(guān)系提出了更高的要求,也為后面新函數(shù)的一般形式“y=ax2+bx+c(a≠0)”的出現(xiàn)作了鋪墊,彌補(bǔ)了前面沒(méi)能呈現(xiàn)出的含有a,b,c的函數(shù)模型.

2.3 類(lèi)比發(fā)現(xiàn)特征,抽象生成概念

師:觀察“S=8x-x2,S=πr2,y=240x2+180x+45”,這些函數(shù)有哪些共同特征?

生1:自變量的最高次數(shù)都是二次.

生2:等式兩邊的式子都是整式.

師:如果讓你給這些函數(shù)取個(gè)名字,會(huì)怎么取?

生3:二次函數(shù).

師:那什么是二次函數(shù)?你能給它下個(gè)定義嗎?

學(xué)生有些猶豫,教者等待30 s學(xué)生依然沒(méi)有反應(yīng).于是教者讓學(xué)生回顧一次函數(shù)的定義.

師:一次函數(shù)是怎么定義的?

生4:函數(shù)y=kx+b叫做一次函數(shù).

師:k和b有要求嗎?

生4:k和b為常數(shù),且k≠0.

師:你能完整敘述一次函數(shù)的定義嗎?

生5:形如y=kx+b,其中k和b為常數(shù),且k≠0的函數(shù)叫做一次函數(shù).

師:什么是二次函數(shù)?能下定義了嗎?

生6:形如y=ax2+bx+c的函數(shù)稱(chēng)為二次函數(shù).

生7:形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的函數(shù)稱(chēng)為二次函數(shù).

生8補(bǔ)充道:其中,x是自變量,y是x的函數(shù).

師:式子S=8x-x2,S=πr2好像不是這個(gè)形式?

生9:是這個(gè)形式,只不過(guò)前一個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)是0,后一個(gè)式子的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是0.

師:太棒了!為你點(diǎn)贊.像一次函數(shù)一樣,我們把函數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c中的a,b,c分別稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

師:a能不能等于0?

生10:a不能等于0,如果a等于0,ax2項(xiàng)就不存在了,它就不是二次函數(shù)了.

師:太棒了!你的認(rèn)識(shí)真到位,b,c有要求嗎?

生11:b,c可以等于0,沒(méi)有限制條件.上面兩個(gè)式子就是例證.

師:請(qǐng)分別說(shuō)出函數(shù)式S=8x-x2,S=πr2,y=240x2+180x+45中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

…………

教學(xué)分析：蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的情境問(wèn)題只有二次函數(shù)模型,教者挖掘課本素材,通過(guò)變量關(guān)系的感悟增加了一次函數(shù)、反比例函數(shù)模型,當(dāng)學(xué)生提到一次函數(shù)這個(gè)名詞時(shí),教者很敏銳地抓住契機(jī),得出二次函數(shù)名稱(chēng),并引導(dǎo)學(xué)生從呈現(xiàn)的關(guān)系式中抽象二次函數(shù)的特征.

課堂在師生的對(duì)話中推進(jìn),二次函數(shù)的特征、內(nèi)涵和關(guān)鍵點(diǎn)都由學(xué)生通過(guò)觀察、比較、發(fā)現(xiàn)得出.特別是當(dāng)學(xué)生不能歸納二次函數(shù)概念時(shí),教師不是急切地表達(dá),而是耐心地等待,通過(guò)類(lèi)比一次函數(shù)的概念,讓學(xué)生去細(xì)細(xì)地品位.學(xué)生思考后大膽發(fā)表自己的見(jiàn)解,概念在學(xué)生互相修正中完善,最終形成完整的二次函數(shù)概念的表述.

2.4 變式拓展問(wèn)題,活用概念解題

教者在概念形成后設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題,鞏固對(duì)二次函數(shù)概念的理解和運(yùn)用.

問(wèn)題4下列函數(shù)中,y是x的二次函數(shù)的是哪些?說(shuō)明理由.

(2)y=(x-3)2-x2;

(3)y=ax2+bx+c.

教學(xué)分析：?jiǎn)栴}4針對(duì)二次函數(shù)的概念進(jìn)行鞏固,其中包含了常見(jiàn)的典型錯(cuò)誤類(lèi)型.第(1)個(gè)表達(dá)式從形式上看存在二次,實(shí)際為負(fù)二次,所含式子是分式.第(2)個(gè)表達(dá)式直接判斷時(shí)很容易認(rèn)為是二次函數(shù),但化簡(jiǎn)來(lái)看二次項(xiàng)可以相減,最后結(jié)果只存在一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),是一次函數(shù).教者的提醒促進(jìn)了學(xué)生深入思考,函數(shù)的判斷不能只看表象,要通過(guò)簡(jiǎn)化看實(shí)質(zhì).第(3)個(gè)表達(dá)式教者引導(dǎo)學(xué)生觀察二次項(xiàng)系數(shù)沒(méi)有限制條件,不能作出判斷,學(xué)生的補(bǔ)充使判斷思路更加清晰.這樣的三個(gè)表達(dá)式加深了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)概念的理解,提高了學(xué)生的辨證思維能力.

問(wèn)題5已知函數(shù)y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

在學(xué)生提議之下進(jìn)行分類(lèi),如下:

(1)已知一次函數(shù)y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

(2)已知反比例函數(shù)y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

(3)已知二次函數(shù)y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

生12:對(duì)于問(wèn)題(3),根據(jù)題意得|m|-1=2,則m=±3.

生13:m≠-3,二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0.

教學(xué)分析：?jiǎn)栴}5中只給出了一個(gè)關(guān)鍵詞“函數(shù)”,在教師的意料之中,學(xué)生蒙了一下后,發(fā)現(xiàn)題目是開(kāi)放的,需要分類(lèi)討論.學(xué)生提出了函數(shù)分別為一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)三種情況.當(dāng)生12求出問(wèn)題(3)中m的值時(shí),生13馬上指出“m≠-3,二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0”,說(shuō)明學(xué)生對(duì)二次函數(shù)概念的理解已經(jīng)很深刻了.

問(wèn)題6如圖4,用16 m長(zhǎng)的籬笆圍成一邊靠墻(墻長(zhǎng)6 m)的長(zhǎng)方形生物園飼養(yǎng)小兔,設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x(單位:m),生物園的面積為y(單位:m2),求y與x之間的關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

圖4

教學(xué)分析：通過(guò)追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入分析,不斷激發(fā)學(xué)生思考,得出函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而歸納出自變量的取值范圍.自變量的取值除了使函數(shù)式有意義,還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)有了進(jìn)一步的理解,也為后期研究二次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題做了鋪墊.

2.5 整體總結(jié)建構(gòu),生成認(rèn)知體系

問(wèn)題7(1)本節(jié)課是怎樣引入二次函數(shù)概念的?

(2)二次函數(shù)的本質(zhì)特征是什么?什么是二次函數(shù)?

(3)本節(jié)課研究了二次函數(shù)概念在哪些方面的應(yīng)用?

(4)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你還有哪些疑問(wèn)?

師生對(duì)話后,最后學(xué)生提出:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們還想知道二次函數(shù)的圖象是怎樣的,有什么性質(zhì),還有哪些運(yùn)用.

教學(xué)分析：課堂小結(jié)教者沒(méi)有采取直白告知的方式,而是設(shè)計(jì)了四個(gè)問(wèn)題,讓學(xué)生回顧、梳理、表述,教者適時(shí)追問(wèn),學(xué)生自主總結(jié),自然形成二次函數(shù)概念的認(rèn)知體系、研究方法.通過(guò)第(4)個(gè)問(wèn)題的回答,甚至形成整個(gè)二次函數(shù)章節(jié)學(xué)習(xí)的體系框架.

3 教學(xué)反思

課堂從學(xué)生已有的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始,在知識(shí)、方法和思想不斷生成的過(guò)程中推進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成、課堂學(xué)習(xí)的深度開(kāi)展和靈性智慧的提升,課堂學(xué)習(xí)取得了良好的教學(xué)效果[2].

3.1 基于情境,系統(tǒng)思考,提出問(wèn)題

本節(jié)課以學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),深入挖掘已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖片問(wèn)題中數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系,把新知識(shí)的學(xué)習(xí)建立在舊知識(shí)基礎(chǔ)之上,沒(méi)有就題論題,而是突破教材情境問(wèn)題中只有二次函數(shù)模型的情況,更廣泛考慮了周長(zhǎng)一定長(zhǎng)與寬的關(guān)系、面積一定長(zhǎng)與寬的關(guān)系等內(nèi)容.通過(guò)教師引導(dǎo),學(xué)生在真實(shí)的情境中系統(tǒng)思考,發(fā)現(xiàn)關(guān)系和提出問(wèn)題,生成除即將研究的二次函數(shù)表達(dá)式外,還有一次函數(shù)表達(dá)式、反比例函數(shù)表達(dá)式,多元數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系更符合問(wèn)題的實(shí)際,更符合學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際.

3.2 問(wèn)題導(dǎo)向,類(lèi)比研究,揭示本質(zhì)

課堂學(xué)習(xí)是以教師創(chuàng)造性地設(shè)計(jì),學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué),最終獲得充分發(fā)展,而不是以記憶與理解來(lái)作為教學(xué)效果的最終特征[3].本節(jié)課通過(guò)“情境+問(wèn)題串”的方式組織學(xué)習(xí)活動(dòng),充分挖掘教材素材,七個(gè)問(wèn)題串聯(lián),逐步揭示二次函數(shù)概念及組成要素之間的關(guān)系,通過(guò)類(lèi)比一次函數(shù)發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的特征——兩個(gè)變量、自變量最高次數(shù)為二次、二次項(xiàng)系數(shù)不為0、整式形式,進(jìn)一步通過(guò)類(lèi)比抽象概括出二次函數(shù)的概念.

概念的運(yùn)用環(huán)節(jié)設(shè)置了三個(gè)問(wèn)題,第一層次是判斷,第二層次是確定字母系數(shù)的值,第三層次是關(guān)系式的建立和自變量取值范圍的確定,這樣的變式處理從不同角度由淺入深加強(qiáng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)概念本質(zhì)特征的理解.

3.3 靈動(dòng)對(duì)話,整體建構(gòu),生成發(fā)展

在課堂學(xué)習(xí)過(guò)程中,教師給予學(xué)生足夠的思考空間,激發(fā)興趣,開(kāi)拓思維,從而促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).對(duì)于二次函數(shù)的概念,課堂中沒(méi)有匆忙“給出”,而是引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較,激活學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).對(duì)于二次函數(shù)的概念,一個(gè)學(xué)生的表達(dá)不完善,被接著的學(xué)生補(bǔ)充,教師的等待和追問(wèn)推動(dòng)了概念的表達(dá),概念在不斷生成的過(guò)程中完美呈現(xiàn),從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)概念的深刻思考和再認(rèn)識(shí),推動(dòng)學(xué)生抽象概括、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.這一學(xué)習(xí)過(guò)程也充分體現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)概念的一般思考方法.

課堂最后的小結(jié)階段,設(shè)計(jì)了四個(gè)小問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,通過(guò)學(xué)生的交流對(duì)話、自主總結(jié),整體建構(gòu)形成認(rèn)知體系.問(wèn)題7(4)引導(dǎo)學(xué)生大膽預(yù)測(cè)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容,學(xué)生的展望準(zhǔn)確、到位,學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中得到培養(yǎng).這樣體現(xiàn)生成發(fā)展教學(xué)意義的課堂小結(jié),使學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)課堂,滿懷解決問(wèn)題后的喜悅走出課堂,抑或帶著新的疑問(wèn)進(jìn)行課后的深入研究[4].

本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生“研得”了函數(shù)的概念,更重要的是進(jìn)一步鞏固了研究函數(shù)的基本方法,即從生活情境中建立函數(shù)模型,發(fā)現(xiàn)新函數(shù)模型,思考新函數(shù)模型的特征,抽象新函數(shù)概念,利用新函數(shù)概念解決問(wèn)題.發(fā)展了數(shù)學(xué)模型意識(shí)和數(shù)學(xué)抽象能力.