■王紅芳

分段函數(shù)是一類特殊的函數(shù),在實際問題中,分段函數(shù)有著廣泛的應用,課本中沒有進行大篇幅的介紹,但它是高考的必考內(nèi)容之一。

一、分段函數(shù)的概念

在函數(shù)的定義域中,對于自變量不同的取值范圍,用含有自變量不同的式子(包括常數(shù))來表示對應法則的函數(shù),這類函數(shù)叫作分段函數(shù)。分段函數(shù)的四個注意點:分段函數(shù)在形式上,至少分成兩段,最多可以分成無數(shù)段,但它仍然表示一個函數(shù),不能理解成幾個函數(shù)的拼接或合并;分段函數(shù)在圖像上,一般由多于一段的線段、曲線段或孤立的點組成,應該把它們看作一個整體,而不是幾個圖像;分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集;求分段函數(shù)的函數(shù)值,先要確定自變量在函數(shù)的定義域中所在的區(qū)間,再根據(jù)該區(qū)間的函數(shù)表達式進行計算。

二、分段函數(shù)的應用

1.分段函數(shù)的求值問題

在分段函數(shù)的求值中,要先正確判斷給定的自變量在函數(shù)的定義域中所在的范圍,再結(jié)合該范圍的函數(shù)表達式進行求值。

2.分段函數(shù)的最值問題

分析:先利用分段函數(shù)的解析式,求出在不同區(qū)間內(nèi)的取值范圍,再結(jié)合整體情況確定對應的最大值。

解:當x≤0 時,y≤3;當01時,y<4。

綜上所述,y≤4。故所求函數(shù)的最大值為4。

求分段函數(shù)的值域,可以先分類求出各段內(nèi)的函數(shù)的值域,再求各段內(nèi)的函數(shù)值域的并集,最后即得最值。

3.分段函數(shù)中的不等式問題

分析:先利用分段函數(shù)確定相應的不等式,再利用一元二次不等式確定實數(shù)a的取值范圍。

根據(jù)不等式中變量的取值范圍,將對應的不等式加以合理轉(zhuǎn)化與變形,是解決涉及分段函數(shù)中的不等式問題的關鍵。如果無法確定變量的取值范圍,則需要進行分類討論。

4.分段函數(shù)的解析式問題

解題時,利用函數(shù)的遞推關系與給定區(qū)間的函數(shù)表達式,通過分類討論求解相應區(qū)間上分段函數(shù)的表達式。

5.分段函數(shù)的實際應用問題

例5 某移動公司采用分段計費的方法來計算話費,月通話時間x(min)與相應話費y(元)之間的函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1

(1)當月通話為50min 時,應繳話費多少元?

(2)求y與x之間的函數(shù)關系式。

分析:先確定當0≤x≤100時的函數(shù)解析式,再計算對應的函數(shù)值;通過分類討論,確定對應的函數(shù)解析式。

解:(1)當0≤x≤100時,結(jié)合題意,設函數(shù)的解析式為y=kx(k≠0)。

實際應用中的分段函數(shù)問題,要綜合實際問題與函數(shù)問題之間的關系進行分析與求解。