范啟蒙,呂 寧,過惠平,張全虎

(火箭軍工程大學(xué),西安 710025)

在航空航天[1-3]、核能工程[4]及加速器物理[5-6]等諸多領(lǐng)域,都需知中子數(shù)隨能量的分布,即中子能譜。根據(jù)實際應(yīng)用場景的不同,中子能量可覆蓋從熱中子到GeV量級的極寬能量范圍,一般探測器難以滿足要求。20世紀(jì)60年代,Bramblett等[7]設(shè)計出了多球中子譜儀,由一系列大小不同的慢化球體包裹著熱中子探測器組成,慢化球的體積大小與材料性質(zhì)影響其慢化能力,對應(yīng)不同的能量敏感區(qū)域,因此,多球中子譜儀適用于寬能量段能譜測量。基于探測器的響應(yīng)計數(shù)求解中子能譜就是中子解譜問題,一般情況下,響應(yīng)計數(shù)的數(shù)目等于探測器的數(shù)目,遠(yuǎn)小于寬能量段范圍內(nèi)待求解未知量的數(shù)量,所以中子解譜問題又叫作“少道解譜”。

如一個問題的解滿足存在性、唯一性和穩(wěn)定性,則稱為適定問題,否則稱為非適定問題[8]。少道解譜是一個典型的非適定問題?？紤]到中子能譜的客觀實在性,少道解譜問題的解是必然存在的;考慮到能譜分布的多樣性,不同的中子能譜可能會引起探測器相同的響應(yīng),在解譜過程中需盡可能多地掌握實際中子能譜的信息,以得到與實際相符的能譜;考慮到核反應(yīng)過程的隨機性及測量環(huán)境,探測器數(shù)據(jù)必會被噪聲污染,在解譜過程中需采用合適方法消除噪聲影響,保證求解能譜的穩(wěn)定性。前期已有相關(guān)文獻(xiàn)對中子解譜算法進(jìn)行了綜述[9-10],但只是介紹了不同算法的具體原理,未能在統(tǒng)一框架下研究不同解譜算法的實質(zhì)。實際上,求解非適定問題最大的困難來自于先驗信息的缺失,因此,要準(zhǔn)確求解中子能譜,必須加入能譜先驗信息。本文主要從利用先驗信息的方面介紹不同的解譜方法。

1 多球中子譜儀的工作原理

多球中子譜儀是由多個熱中子探測器組成的探測系統(tǒng),每個探測器的靈敏區(qū)域位于慢化球的中心,慢化體的材料純度要高且密度均勻,以保證對中子能量響應(yīng)的各向同性。早期多球中子譜儀采用6LiI(Eu)閃爍體探測器,慢化體材料是聚乙烯,慢化后的中子在探測器中發(fā)生6Li(n,α)3H反應(yīng),產(chǎn)生的α粒子與3H在晶體內(nèi)損失能量產(chǎn)生閃光,經(jīng)光電倍增管放大后轉(zhuǎn)化為電信號,送入后續(xù)電子學(xué)電路進(jìn)行處理。圖1為早期多球中子譜儀示意圖[7]。

圖1 早期多球中子譜儀結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of early multisphere neutron spectrometer

對于僅由聚乙烯組成的慢化球,體積較小的球慢化能力較弱,更易捕獲熱中子,同時低能中子經(jīng)過一定程度的慢化后變?yōu)闊嶂凶?也易被探測,但由于對快中子的慢化程度不夠,大部分快中子都將逃逸,因此體積較小的慢化球僅對低能區(qū)中子的探測效率較高。體積較大的球慢化能力強,大部分低能中子被慢化材料吸收,高能中子經(jīng)過較大程度的慢化,抵達(dá)球中心時變成了易被捕獲的熱中子,因此體積較大的球?qū)Ω吣軈^(qū)中子探測效率更高。為擴展探測能量上限,可在聚乙烯慢化球中加入慢化能力更強的金屬材料。德國聯(lián)邦物理技術(shù)研究院(Physikalisch-Technische Bundesanstalt,PTB)研發(fā)了一套基于3He正比計數(shù)器的多球譜儀系統(tǒng),在聚乙烯球的基礎(chǔ)上,增加了鉛、銅等材料制成的球殼,可與聚乙烯球組合改善譜儀在高能端的響應(yīng)[11-12]。在實際探測中,可靈活選用慢化球尺寸組合和慢化球材料。圖2為PTB設(shè)計的多球中子譜儀結(jié)構(gòu)示意圖。

圖2 PTB設(shè)計的多球中子譜儀結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of multisphere neutron spectrometer designed by PTB

通常用響應(yīng)函數(shù)R(E)描述不同尺寸譜儀的性質(zhì),R(E)是入射中子能量E的函數(shù),表示該譜儀對不同能量中子的響應(yīng)計數(shù),每個譜儀對應(yīng)一條能量響應(yīng)曲線,因此,多球中子譜儀的性質(zhì)用一簇響應(yīng)函數(shù)曲線來表示。圖3為PTB設(shè)計的多球中子譜儀部分尺寸慢化球的響應(yīng)函數(shù)。

圖3 PTB設(shè)計的多球中子譜儀部分尺寸慢化球的響應(yīng)函數(shù)Fig.3 Response function of multisphere neutron spectrometer designed by PTB

設(shè)中子能譜為Φ(E),第k個探測器的響應(yīng)函數(shù)為Rk(E),那么響應(yīng)計數(shù)Nk可表示為

(1)

式(1)為第一類Fredholm方程的形式。為便于數(shù)值計算,將式(1)寫成離散形式,設(shè)共有m個球探測器,能量范圍被分為n段,每段長度為ΔEi(i=1,2,3,…n),通常m?n。對應(yīng)地將能譜Φ(E)和響應(yīng)函數(shù)Rk(E)寫成離散形式,考慮到實際測量中要不可避免地引入測量偏差,式(1)離散化得到

Nk+εk=∑Rkiφi,k=1,2,3,…m

(2)

其中,εk為測量偏差。式(2)即為測量方程,寫成矩陣形式,表示為

N+ε=R·Φ

(3)

其中:N∈m×1為響應(yīng)計數(shù)向量;ε∈m×1為測量偏差向量;R∈m×n為探測器響應(yīng)矩陣,每一行表示一個探測器的響應(yīng)函數(shù);Φ∈n×1為中子能譜向量。

中子解譜就是基于式(3)的測量方程重建能譜Φ,解譜過程中主要面臨2個困難:一是測量數(shù)據(jù)有限,實際獲取的探測器讀數(shù)的數(shù)量只與球的個數(shù)相同,基于有限個計數(shù)來重建連續(xù)分布的能譜Φ顯然是不可能的;二是探測器的分辨率不高,反映到響應(yīng)函數(shù)形狀上,峰值可跨多個能量級,以致探測器最終獲得的計數(shù)是寬能量范圍內(nèi)中子共同作用的結(jié)果,進(jìn)一步增加了求解能譜的困難。

2 中子解譜方法

由式(3)可知,中子解譜在數(shù)學(xué)形式上是求解欠定線性方程組,由于方程個數(shù)遠(yuǎn)小于未知數(shù)個數(shù),無法直接準(zhǔn)確求解能譜。為準(zhǔn)確求得能譜,必須考慮加入先驗信息,對于先驗信息的具體內(nèi)容,既可是關(guān)于觀測模型的,如每次觀測值受噪聲影響程度的大小,也可是關(guān)于能譜本身的,如能譜的平滑性、稀疏性等;對于先驗信息的獲取形式,既可通過隨機性嘗試來獲得,也可通過基于已知樣本的訓(xùn)練學(xué)習(xí)獲得。本文重點從先驗信息的利用角度介紹中子解譜方法。

2.1 最小二乘法

PLS=(N-R·Φ)T·(N-R·Φ)

(4)

為使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu),PLS關(guān)于Φ求導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)等于0,通過矩陣運算可得到中子能譜的最小二乘解,表示為

Φ=(RT·R)-1·RT·N

(5)

最小二乘法一般更適合觀測數(shù)據(jù)量多于待求未知量的超定問題,應(yīng)用于欠定問題時,由于矩陣RT·R的奇異性,得到的解可能無法給出合理的物理解釋。

加權(quán)最小二乘法是最小二乘法的改進(jìn),認(rèn)為每次觀測對應(yīng)的噪聲大小不同,即觀測量的精度不同,在利用觀測數(shù)據(jù)重建能譜時,對噪聲較小的觀測量賦予較大的權(quán)重,而對噪聲較大的觀測量賦予較小的權(quán)重,構(gòu)造新的性能指標(biāo)為

(6)

其中:CN為觀測量的協(xié)方差矩陣,即偏差向量ε的協(xié)方差矩陣。PWLS關(guān)于Φ求導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)等于0,通過矩陣運算得到加權(quán)最小二乘解,表示為

(7)

2.2 奇異值截斷法

(8)

(9)

其中,Σ-1=diag(1/γ1,1/γ2,…,1/γn)。顯然,對于值很小的對角線元素γi,其倒數(shù)1/γi將很大,意味著數(shù)據(jù)向量N中元素值的微小變化將會經(jīng)放大后反映到能譜Φ中,造成解的不穩(wěn)定。為此,強制將Σ-1對角線上大于1/γt的元素置0,即令Σ-1=diag(1/γ1,1/γ2,…,1/γt,0…,0),如此,解的穩(wěn)定性得到極大改善。這種方法被稱為奇異值截斷法。如忽略測量偏差的影響,矩陣方程可表示為

N≈R·Φ

(10)

對式(10)中響應(yīng)矩陣R直接進(jìn)行奇異值分解,然后再采用相同的截斷方法。兩種方法相比,解的準(zhǔn)確程度主要由奇異值的截斷位置決定,而在加權(quán)最小二乘法中增加關(guān)于觀測噪聲先驗信息的作用無法明顯體現(xiàn)。

根據(jù)矩陣分析理論,Σ中較小的元素值對應(yīng)信號的高頻分量,這些分量更能反映信號的細(xì)節(jié)信息,但同時會造成解的不穩(wěn)定,而Σ中較大的元素值對應(yīng)信號的低頻分量,或稱主成分。從先驗信息的角度,奇異值截斷法認(rèn)為能譜的慢變部分為主要成分,而忽略了快變部分,最終通過犧牲解的準(zhǔn)確性來換取穩(wěn)定性,因此采用奇異值截斷法求得的能譜結(jié)果精度一般不高。

2.3 正則化方法

正則化方法是在第2.2節(jié)問題的基礎(chǔ)上增加約束條件,約束條件的選擇則體現(xiàn)了對先驗信息的掌握程度,如將解的光滑性作為約束條件,則相當(dāng)于已知解不是平滑變化的,因此更傾向于得到含有更多振蕩成分的解。根據(jù)正則化項與待求未知量關(guān)系的不同,可將正則化方法分為線性正則化和非線性正則化方法兩種。本文主要介紹線性正則化方法。

線性正則化方法中最常用的是Tikhonov正則化,可看成是最小二乘法的改進(jìn)。少道解譜問題中觀測數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)小于未知數(shù)的數(shù)量,因此式(5)解中,矩陣RT·R是奇異的,無法得到具有物理意義的解。此外,由于R是由第一類Fredholm方程離散化得到的,逆算子是不連續(xù)的,這個特性會進(jìn)一步惡化利用最小二乘法求得的結(jié)果,造成解的不穩(wěn)定。為此,將解的平滑性(即Φ的導(dǎo)數(shù))作為先驗信息加入到目標(biāo)函數(shù)中,得到的目標(biāo)函數(shù)可表示為

L=(N-R·Φ)T·(N-R·Φ)+λΦT·H·Φ

(11)

其中:H為與求導(dǎo)階數(shù)有關(guān)的系數(shù)矩陣[13],又叫做平滑矩陣;λ為正則化參數(shù)。求L關(guān)于Φ的偏導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)為0,得到

Φ=(RT·R+λH)-1·RT·N

(12)

式(12)中,通過引入平滑矩陣H消除了RT·R的奇異性,從而得到穩(wěn)定的解。通常H可選為單位陣,對應(yīng)Φ的0階導(dǎo)數(shù)。在線性正則化方法中,正則化參數(shù)λ的選取十分重要,直接決定了先驗信息在求解中的權(quán)重,如λ很小,則對問題的非適定性改善有限,得到的結(jié)果仍有可能不穩(wěn)定;如λ很大,那么平滑矩陣將起主要作用,在極端情況下得到

(13)

顯然,式(13)結(jié)果精度很低,對應(yīng)的是信號處理領(lǐng)域的匹配濾波解[14]。非線性正則化方法在目標(biāo)函數(shù)中增加了關(guān)于Φ的非線性信息,具有代表性的是Fisher信息[15-16],本質(zhì)上仍是增加了關(guān)于解的平滑性的先驗信息,只不過是關(guān)于Φ的非線性關(guān)系。

無論是線性正則化還是非線性正則化,正則化參數(shù)的選擇都是正則化方法中十分棘手的問題。由理論本質(zhì)可知,因涉及解的穩(wěn)定性與精度的矛盾,所以并不存在最優(yōu)的正則化參數(shù),如最后的結(jié)果在可接受的范圍,則認(rèn)為對應(yīng)的正則化參數(shù)是合理的?？傊?正則化是處理非適定問題的一種重要方法,本質(zhì)是通過增加某一種類的先驗信息來改善解的穩(wěn)定性,但需合理選取正則化參數(shù),調(diào)整先驗信息在求解過程中的權(quán)重。

2.4智能算法

智能算法主要分為智能優(yōu)化算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法兩類。

智能優(yōu)化算法主要是通過模仿自然界中生物之間的信息交互方式來求解優(yōu)化問題,如基于基因遺傳現(xiàn)象,鳥類、螞蟻及蜜蜂等生物的覓食活動等,分別開發(fā)出遺傳算法和粒子群算法等智能優(yōu)化算法[17-18],已在中子解譜問題中得到了廣泛應(yīng)用[19-21]。智能優(yōu)化算法都屬于隨機優(yōu)化方法,利用隨機優(yōu)化方法求解中子解譜類的非適定問題,本質(zhì)上是利用數(shù)據(jù)的隨機性克服解的不穩(wěn)定性,但對此類啟發(fā)式自學(xué)習(xí)算法,不加約束的隨機嘗試將帶來無法忍受的計算代價。因此,為利用大量可能的隨機解來克服問題復(fù)雜性,必須合理設(shè)置算法的搜索空間。搜索空間的設(shè)置體現(xiàn)了對先驗信息的掌握程度,一方面體現(xiàn)在建立的問題模型上,即優(yōu)化問題中設(shè)置的目標(biāo)函數(shù),文獻(xiàn)[22]將遺傳算法和差分進(jìn)化算法應(yīng)用于中子解譜問題,指出不同目標(biāo)函數(shù)會對解譜結(jié)果產(chǎn)生極大的影響;另一方面體現(xiàn)在優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置上,對于一個特定問題適用的算法參數(shù),不一定適合另一個問題。綜上所述,對于智能優(yōu)化算法,需基于已掌握解的先驗信息設(shè)置合理搜索空間,而后在迭代進(jìn)化過程中通過隨機嘗試進(jìn)一步挖掘解的先驗信息,并通過智能算法自身的信息交互機制進(jìn)一步強化。

與近年來興起的人工智能方法相似,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的準(zhǔn)確性依賴于大量數(shù)據(jù)訓(xùn)練集,已應(yīng)用于中子解譜[23-26]。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解未知中子能譜之前,已通過特定訓(xùn)練機制掌握了數(shù)百對乃至更多對真實能譜Φ與探測器響應(yīng)計數(shù)N之間的對應(yīng)關(guān)系。衡量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)性能的重要指標(biāo)是其泛化能力,即對于訓(xùn)練集中不存在的Φ與N,將N輸入網(wǎng)絡(luò)后成功重建Φ的概率。顯然,與訓(xùn)練集中的Φ相似度更高的能譜,正確重建的成功率更高,這說明網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的過程就是一個學(xué)習(xí)先驗信息的過程。對于泛化能力強的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),通過設(shè)計合理的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),能在已有先驗知識基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)演化出更多的先驗信息,適應(yīng)更多更復(fù)雜的情形。

2.5 壓縮感知算法

壓縮感知(compressive sensing,CS)是近年來信號處理領(lǐng)域出現(xiàn)的一個極具潛力的研究方向,該理論指出待重建信號在滿足稀疏性的前提下,可利用少量采樣數(shù)據(jù)實現(xiàn)對信號的精確恢復(fù)[27-28],而中子解譜是利用少量的探測器響應(yīng)計數(shù)重建極寬能段的能譜,因此中子解譜問題與壓縮感知模型天然契合。以式(3)所示中子解譜模型為例,在CS框架下描述為(P0)問題,表示為

(14)

(15)

式(15)即中子解譜的壓縮感知模型。為求解中子能譜,首先需構(gòu)造合適的變換矩陣Ψ,即待求未知量的稀疏表示問題;其次要建立合適的重建算法求解(P0)問題。這兩方面的問題也是壓縮感知理論研究的核心問題。

關(guān)于稀疏表示問題,在CS理論出現(xiàn)之前就已有廣泛深入的研究,實際上稀疏性是客觀世界中廣泛存在的一種事物屬性,自然界的許多信號及大部分人工信號都可通過變換實現(xiàn)稀疏表示,如許多自然圖像能通過離散余弦變換(discrete cosine transform, DCT)或小波變換(wavelet transform)實現(xiàn)壓縮,而音頻信號和通信信號通過傅里葉變換實現(xiàn)壓縮,只是這類信號并不適合中子能譜的稀疏表示。為構(gòu)建合適的變換矩陣,可采用字典學(xué)習(xí)的方法來構(gòu)造[30-31],該方法本質(zhì)上是通過基于大量樣本的訓(xùn)練學(xué)習(xí),構(gòu)建出合適的稀疏表示矩陣。

關(guān)于重建算法,主要分為直接求解(P0)問題的貪婪算法[32]和用凸問題等價(P0)的凸松弛方法[30,33]兩類。如已知待求未知量的稀疏度,可采用貪婪算法得到可行解。貪婪算法通過一系列局部優(yōu)化來避免費時的全局搜索,但不能保證是全局最優(yōu)解。凸松弛方法是利用連續(xù)或相對光滑的函數(shù)來替換高度不連續(xù)的l0范數(shù),從而將非凸問題轉(zhuǎn)化為凸問題,然后采用凸優(yōu)化方法得到全局最優(yōu)解。

從正則化的觀點來看,壓縮感知也是一種正則化策略,本質(zhì)上是利用了解的稀疏性先驗信息,考慮到稀疏性的廣泛存在,且即使待求未知量不是自然稀疏的情況下,也可采用合適的方法構(gòu)造變換矩陣進(jìn)行稀疏表示,壓縮感知理論在中子解譜領(lǐng)域具有很大的應(yīng)用潛力。

3 結(jié)論

本文介紹了基于多球中子譜儀的中子解譜算法,從利用不同種類先驗信息和先驗信息的不同利用形式分析了各種解譜算法的特點。綜上所述,中子解譜問題在數(shù)學(xué)形式上表現(xiàn)為求解欠定線性方程組,在物理本質(zhì)上是先驗信息的缺失,研究中子解譜算法須從充分挖掘利用先驗信息的角度來考慮。此外,中子解譜問題與壓縮感知理論模型天然契合,將壓縮感知理論應(yīng)用于中子解譜問題具有巨大潛力。采用壓縮感知理論求解中子能譜時,關(guān)鍵是能譜的稀疏表示。由于信號處理領(lǐng)域中常用的稀疏變換矩陣不再適用于中子能譜,因此,字典學(xué)習(xí)方法更適合構(gòu)造中子能譜的稀疏變換矩陣,在實際應(yīng)用中可通過仿真模擬或?qū)嶒灉y量先構(gòu)建樣本數(shù)據(jù)庫,而后采用字典學(xué)習(xí)方法構(gòu)建稀疏變換矩陣。在后續(xù)研究中,可考慮在先驗信息的統(tǒng)一框架下,通過挖掘不同種類的先驗信息來開發(fā)新的解譜算法。