董新平, 閆潤(rùn)瑛

(許昌學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 許昌 461000)

為了更快地進(jìn)行可靠的量子操作,基于非厄密體系的“絕熱捷徑”(STA)技術(shù)[1,2]被用于量子信息處理以及波導(dǎo)光學(xué)等領(lǐng)域．STA方法主要包括基于不變量方法[3]、無(wú)摩擦驅(qū)動(dòng)[4-7]等方法.基于STA方法的量子系統(tǒng)的核心思想是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì),使量子系統(tǒng)可以在絕熱過(guò)程中從給定的初始態(tài)更快地演化到期望的終態(tài)．同時(shí)通過(guò)非絕熱消除可以在較短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)與絕熱情形相同的目標(biāo)．不僅加快了量子運(yùn)算的速度,同時(shí)大幅度減輕了系統(tǒng)受到的噪聲環(huán)境的退相干影響．

以上的快速絕熱方法通常需要增加不同能級(jí)之間的耦合強(qiáng)度才能實(shí)現(xiàn)更快的量子系統(tǒng)演化[8]．在有些量子系統(tǒng)中,受到量子體系特征參數(shù)以及實(shí)驗(yàn)條件的限制,能級(jí)之間的耦合強(qiáng)度并不能任意選取,并且過(guò)大的耦合還會(huì)降低系統(tǒng)的保真度．通過(guò)對(duì)厄密體系的研究和推廣提出了基于非厄密體系的STA方法[9-11].這種非厄米系統(tǒng)原則上可以在非常短的世間內(nèi)完成量子系統(tǒng)的演化,但需要根據(jù)系統(tǒng)的特征參數(shù)對(duì)體系的增益和損耗進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算．最近一個(gè)基于動(dòng)力學(xué)的絕熱捷徑方法(DASA)提出了一種熱力學(xué)成本較低、易于設(shè)計(jì)和調(diào)控的非厄米系統(tǒng)絕熱方案[12]．利用這個(gè)方案可以通過(guò)對(duì)體系增益和耗散的靈活控制,提供一個(gè)高效、可靠,同時(shí)能耗較低的量子態(tài)控制方案．我們將對(duì)此方法進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬研究,為進(jìn)一步利用非厄密絕熱捷徑方法快速操控量子態(tài)提供有效的幫助．

1 基于動(dòng)力學(xué)的絕熱捷徑方法

對(duì)于一個(gè)一般的兩能級(jí)體系,其不含時(shí)的2×2非厄密哈密頓量具有以下形式.

H=σx+(iΔγ+Δω)σz/2+(i∑γ+∑ω)1/2.

(1)

其中,Δγ=γ1-γ2,∑γ=γ1+γ2,∑ω=ω1+ω2,Δω=ω1-ω2,σx,z為泡利矩陣,1為單位矩陣.γ1,2分別對(duì)應(yīng)本征態(tài)|λ1,2〉的增益或損耗,ω1,2+iγ1,2表示歸一化的勢(shì)能.體系的本征值λ1,2一般可以取為復(fù)數(shù).隨著時(shí)間的變化,體系的本征值將發(fā)生相應(yīng)的演化,相應(yīng)的初始態(tài)將隨時(shí)間按以下方式演變.

|ψ(t)〉=e-iHt|ψ(0)〉=c1e-iλ1t|λ1〉+c2e-iλ2t|λ2〉.

(2)

如果期望在隨時(shí)間的演化過(guò)程中一個(gè)本征態(tài)產(chǎn)生增益或損耗,而同時(shí)另一個(gè)本征態(tài)保持不變,則要求哈密頓量的本征值分別為λ1=x1+iy,λ2=x2,x1和x2為實(shí)數(shù)．那么本征態(tài)|λ1>的振幅將將根據(jù)相應(yīng)本征值中虛部的符號(hào)分別產(chǎn)生增強(qiáng)或衰減,而本征態(tài)|λ2> 的振幅由于虛部為零,在演化過(guò)程中不會(huì)產(chǎn)生變化．

以下將通過(guò)對(duì)公式(1)和公式(2)中哈密頓量本征值進(jìn)行分析,從而求出滿(mǎn)足以上要求的參數(shù)．將公式(1)中的哈密頓量進(jìn)行對(duì)角化,H=R-1HdR.

(3)

求解相應(yīng)的本征值方程H=R-1HdR可以得到以下方程組.

d/c+(-x2+iγ1+ω1) = 0,c/d+(-x2+iγ2+ω2) = 0,
d/c+(x1-iγ1-ω1+iy) = 0,c/d+(x1-iγ2-ω2+iy) = 0.

(4)

(5)

(6)

詳細(xì)的表達(dá)式可參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[12]的補(bǔ)充材料．相關(guān)的兩組函數(shù)關(guān)系Γ2,3(γ2,Δω)如圖1所示,其中Δω和γ2的取值范圍分別為[0, 10]和[-1, 0]．從圖1可以看出,當(dāng)Γ2(γ2,Δω)的實(shí)部在區(qū)間(-1,0)之間正值時(shí),相應(yīng)的Γ3(γ2,Δω)的實(shí)部在同一區(qū)間保持為零.因此在設(shè)計(jì)系統(tǒng)的哈密頓量時(shí),可以在選定適當(dāng)?shù)膿p耗率γ2后,利用Γ2(γ2,Δω)和Γ3(γ2,Δω)的表達(dá)式準(zhǔn)確控制增益率γ1.當(dāng)要求系統(tǒng)的某一本征態(tài)快速衰減時(shí),可以利用Γ3(γ2,Δω)選取相應(yīng)的增益率(接近于零),從而使得另一個(gè)本征態(tài)保持基本不變;當(dāng)要求體系的某一個(gè)本征態(tài)緩慢衰減,同時(shí)另一個(gè)本征態(tài)快速增強(qiáng)以達(dá)到目標(biāo)態(tài)時(shí),利用Γ3(γ2,Δω)選取相應(yīng)比較大的增益率,從而使另一個(gè)本征態(tài)以指數(shù)形式快速增強(qiáng)以快速完成系統(tǒng)的演化.由式(2)還可以看出,系統(tǒng)的一個(gè)波函數(shù)將在 (γ1+γ2)>0時(shí)以指數(shù)形式增強(qiáng),反之當(dāng)(γ1+γ2)<0時(shí)呈指數(shù)衰減,同時(shí)另一個(gè)波函數(shù)基本保持不變．

圖1 增益率和損耗率實(shí)部之間的關(guān)系

2 數(shù)值模擬計(jì)算

以下我們將利用LZ模型以及以上的分析結(jié)果,對(duì)基于動(dòng)力學(xué)的非厄密絕熱捷徑方法進(jìn)行分析和討論．LZ模型的哈密頓量的一般形式為HLZ(ε,t)=σx-(ε2t)σz,對(duì)于一般形式的非厄密方法,當(dāng)常數(shù)耦合強(qiáng)度ε較小時(shí),完成體系的演化一般需要較長(zhǎng)時(shí)間;增大耦合強(qiáng)度ε又會(huì)導(dǎo)致所需增益過(guò)大而不易于在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)．

根據(jù)對(duì)系統(tǒng)哈密頓量本征值和本征態(tài)的分析以及式(6)的結(jié)果,可以依次使系統(tǒng)按照兩個(gè)不同性質(zhì)的哈密頓量進(jìn)行演化．在第一階段的演化過(guò)程中,使第一個(gè)本征態(tài)迅速衰減,另一本征態(tài)保持基本不變;而在第二階段的演化中,使第一個(gè)本征態(tài)緩慢衰減,而第二個(gè)本征態(tài)快速增強(qiáng)．從而可以使得體系快速完成預(yù)期的演化過(guò)程．對(duì)兩個(gè)相應(yīng)過(guò)程的增益和損耗的可以利用Γ2,3(γ2,Δω)的性質(zhì)進(jìn)行靈活、有效地設(shè)計(jì),以達(dá)到加快演化速度、降低能耗的目的． 按此方案系統(tǒng)的哈密頓量為

(7)

式中,ti為系統(tǒng)演化的初始時(shí)間,T1和T2分別為兩個(gè)哈密頓量開(kāi)始施加的時(shí)刻,θ(t)為階躍函數(shù)．

根據(jù)式(6)和式(7),利用非厄密絕熱捷徑方法進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算,以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)量子態(tài)的快速操控．首先按照按量子態(tài)演化的要求選取ti=12.3,T1=12.3,T2=-11.5,然后在H1和H2中分別選取相關(guān)的參數(shù).擬合結(jié)果為:ω1+iΓ3(γ2,Δω)=0+0.009i,ω2+iγ2=-10-0.95i,ω′1+iΓ3(γ′2,Δω′)=-0.01+2.857i,ω′2+iγ′2=0-0.35i．?dāng)M合得到的量子態(tài)占據(jù)概率隨時(shí)間的演化結(jié)果如圖2所示.從圖2中可以看出,體系可以在非常短的時(shí)間之內(nèi)完成演化過(guò)程．同時(shí)可以看出,由于該方案的增益率和損耗率可以取不同的數(shù)值,因此可以更好地適用于不同的實(shí)驗(yàn)條件,具有更廣泛的應(yīng)用范圍．

圖2 非厄密體系占據(jù)概率P隨時(shí)間的演化

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)基于動(dòng)力學(xué)的非厄密STA方法的分析和研究,實(shí)現(xiàn)了對(duì)量子態(tài)進(jìn)行快速操控．在具體的設(shè)計(jì)過(guò)程中,用兩個(gè)連續(xù)進(jìn)行的哈密頓量通過(guò)分別調(diào)控系統(tǒng)的增益和損耗率實(shí)現(xiàn)體系的快速演化． 由于該方法可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件的不同靈活設(shè)計(jì)不同的增益和損耗率,因此該方法不僅設(shè)計(jì)靈活、可靠,同時(shí)還具有適應(yīng)范圍廣、能耗低的優(yōu)點(diǎn)．因此這種方法在理論和實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方面都具有潛在的優(yōu)勢(shì)．對(duì)此方法的進(jìn)一步推廣和應(yīng)用將為更快操控量子態(tài)提供有效的幫助．