陳宏旭，于江龍，陳 揚，董希旺，3，李清東，任 章

(1. 北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院·北京·100191；2. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109；3. 北京航空航天大學(xué) 人工智能研究院·北京·100191)

0 引 言

近年來，隨著來襲目標(biāo)的速度不斷增大，機動性不斷增強，作戰(zhàn)樣式逐漸多樣化，對這類空中威脅目標(biāo)的攔截造成極大挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的攔截方案是單枚導(dǎo)彈攔截目標(biāo)，但由于目標(biāo)機動性不斷增強，“一對一”的攔截成功率不斷降低，因此，采用協(xié)同制導(dǎo)的方式，多枚導(dǎo)彈攔截一個機動目標(biāo)成為當(dāng)前的研究熱點[1-4]。

目前，國內(nèi)外學(xué)者在協(xié)同制導(dǎo)領(lǐng)域已經(jīng)提出了很多解決方案。文獻(xiàn)[5]提出了一種二回路(決策回路和控制回路)的時間協(xié)同制導(dǎo)律，根據(jù)剩余飛行時間設(shè)計期望的一致量，設(shè)計反饋控制器，實現(xiàn)打擊時間的一致性。文獻(xiàn)[6]提出了領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者模式的時間協(xié)同制導(dǎo)律，選取一枚導(dǎo)彈作為領(lǐng)彈，為領(lǐng)彈設(shè)計相應(yīng)的導(dǎo)引方法，為其余導(dǎo)彈設(shè)計跟蹤控制器跟蹤領(lǐng)彈，實現(xiàn)時間協(xié)同。文獻(xiàn)[7]根據(jù)變結(jié)構(gòu)控制理論，設(shè)計了有限時間收斂的帶有攻擊角約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[8]基于模型預(yù)測，采用優(yōu)化方法實現(xiàn)了帶有攻擊角約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[9]設(shè)計了帶有角度約束的協(xié)同制導(dǎo)律，多彈采用一定的編隊隊形增大攔截域，有效攔截大機動目標(biāo)。文獻(xiàn)[10-11]基于改進(jìn)比例導(dǎo)引法以攻擊角度約束作為偏置項，進(jìn)而設(shè)計了時間角度協(xié)同制導(dǎo)律。針對攔截問題，文獻(xiàn)[12]提出了以動能攔截器為對象的攔截末制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[13]提出了二維場景下基于覆蓋策略的多枚弱機動能力攔截彈協(xié)同攔截大機動目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[14]研究了三維場景下導(dǎo)彈逆軌攔擊機動目標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[4]提出了一種新型的協(xié)同末制導(dǎo)架構(gòu)，并且在末制導(dǎo)段實現(xiàn)了對目標(biāo)的有效攔截。文獻(xiàn)[15]研究了多領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者模式下的多飛行器協(xié)同攔截機動目標(biāo)的分布式協(xié)同圍捕制導(dǎo)問題。文獻(xiàn)[16]研究了多對多的協(xié)同博弈制導(dǎo)問題。

綜上所述，現(xiàn)有的多數(shù)攔截機動目標(biāo)的制導(dǎo)律是在二維場景下，只考慮末制導(dǎo)，隨著來襲目標(biāo)的機動能力提升和機動策略變化，較難滿足作戰(zhàn)精度要求。因此，研究三維場景下，結(jié)合中末制導(dǎo)的協(xié)同攔截制導(dǎo)律具有重要意義。

本文針對上述問題，基于二回路的協(xié)同制導(dǎo)架構(gòu)，提出攔截機動目標(biāo)的三維協(xié)同中末制導(dǎo)律。首先，針對末端目標(biāo)機動能力較大的情況，使得我方攔截彈的可達(dá)區(qū)域之和完全覆蓋目標(biāo)的機動逃逸區(qū)域，同時解算出中末交班的陣位約束。其次，為了保證末制導(dǎo)良好的交班陣位，研究基于預(yù)測命中點的協(xié)同中制導(dǎo)律，降低中段導(dǎo)彈過載，保證中末交班。最后，設(shè)計三維仿真實驗，驗證協(xié)同中末制導(dǎo)律的有效性。

1 三維協(xié)同制導(dǎo)建模

在導(dǎo)彈和目標(biāo)的運動空間內(nèi)，其多彈協(xié)同三維非線性運動模型如圖1所示。其中Mi代表第i枚導(dǎo)彈，T代表目標(biāo)；VM和VT分別為導(dǎo)彈速度和目標(biāo)速度，假設(shè)每枚導(dǎo)彈的速度大小都是一樣的，即均為同構(gòu)導(dǎo)彈；ri為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的距離；θM，i和φM，i分別為導(dǎo)彈的彈道偏角和彈道傾角；θT和φT分別為目標(biāo)的彈道偏角及彈道傾角。

圖1 多彈協(xié)同三維非線性運動模型Fig.1 Multi-projectile cooperative three-dimensional nonlinear motion model

假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度方向都近似在導(dǎo)彈和目標(biāo)的連線附近。那么，在縱向平面上的彈目相對運動方程可以寫為

(1)

其中，aM，lon，i為導(dǎo)彈i的縱向加速度，aT，lon，i為目標(biāo)相對于導(dǎo)彈i的縱向加速度；ηM，i和ηT，i分別為導(dǎo)彈i和目標(biāo)在縱向平面上的速度前置角；VM，lon，i和VT，lon，i分別為導(dǎo)彈i和目標(biāo)在縱向平面上的速度分量，即

(2)

其中，σM，i和σT，i分別為導(dǎo)彈i和目標(biāo)在側(cè)向平面的速度前置角。

同理，在側(cè)向平面上的彈目相對運動方程可以表示為

(3)

其中，aM，lat，i為導(dǎo)彈i的側(cè)向加速度，aT，lat，i為目標(biāo)相對于導(dǎo)彈i的側(cè)向加速度；VM，lat，i和VT，lat，i分別為導(dǎo)彈i和目標(biāo)在側(cè)向平面上的速度分量，rlat，i為導(dǎo)彈i與目標(biāo)之間的距離在側(cè)向平面上的投影，即

(4)

2 末制導(dǎo)協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 末制導(dǎo)協(xié)同打擊策略

在多導(dǎo)彈協(xié)同打擊目標(biāo)的過程中，在導(dǎo)彈自身存在過載約束的情況下，每枚導(dǎo)彈都存在一個可攻擊區(qū)域，記為AF。此外，對于機動目標(biāo)來說也存在一個最大逃逸區(qū)域，這里定義為當(dāng)目標(biāo)以不同的加速度方向，始終按照最大加速度大小飛行時可到達(dá)的區(qū)域，可記為AE。將三維的目標(biāo)最大逃逸區(qū)域及導(dǎo)彈可攻擊區(qū)域用上一節(jié)所定義的側(cè)向加速度與縱向加速度在二維坐標(biāo)系下表示，如圖2所示。

圖2 覆蓋策略描述示意圖Fig.2 Overlay policy description diagram

(a)π/arcsinμ為整數(shù)

(b)π/arcsinμ為小數(shù)圖3 情況1下的協(xié)同覆蓋策略示意圖Fig.3 Cooperative coverage diagram in case 1

若π/arcsinμ為小數(shù)，則覆蓋不均勻，那么所需小圓數(shù)量應(yīng)為向上取整后的結(jié)果，即n=[π/arcsinμ]，如圖3(b)所示。

圖4 情況2下的協(xié)同覆蓋示意圖Fig.4 Cooperative coverage diagram in case 2

單個小圓所覆蓋的大圓弧長為

(5)

情況 3：當(dāng)小圓半徑為0.5時，用情況 1 和情況 2 中的方法都不能實現(xiàn)對大圓的完全覆蓋，此時需要在大圓圓心處增加一個小圓，然后讓其余小圓覆蓋大圓圓周以及中心小圓圓周，如圖5所示。

圖5 情況3下的協(xié)同覆蓋策略示意圖Fig.5 Cooperative coverage diagram in case 3

因為大圓中心必有一個小圓，在外圈的小圓除了要覆蓋大圓圓周外，還應(yīng)該保證內(nèi)圈小圓的圓周被完全覆蓋，才能保證整個大圓被完全覆蓋。由幾何關(guān)系可得

(6)

此時，

∠DOMnF=π-

(7)

(8)

則外圈小圓的圓心位置為

(9)

2.2 協(xié)同末制導(dǎo)律設(shè)計

三維協(xié)同制導(dǎo)律在三維協(xié)同制導(dǎo)模型的基礎(chǔ)上，為了滿足上述標(biāo)準(zhǔn)彈道的特點，分別設(shè)計了第i枚導(dǎo)彈在縱向平面上的縱向加速度aM，lon，i和側(cè)向平面上的側(cè)向加速度aM，lat，i。其制導(dǎo)律的形式如下所示

(10)

其中，N為比例導(dǎo)引律中的導(dǎo)航比，Blat，i和Blon，i分別為導(dǎo)彈在側(cè)向平面和縱向平面上的協(xié)同偏置項。

將上式中的aM，lon，i和aM，lat，i代入式(1)和式(3)可得

(11)

在命中點處(t=tf)，ri，tf=0，從而ri，lat，tf=0，因此式在命中點處時，兩個等式的左邊為零，這就要求等式右邊也為零，即

(12)

通過最小化初始時刻和命中點的過載，從而降低整個打擊過程中的過載。即

(13)

式中0表示初始時刻t=t0，f表示命中時刻t=tf。當(dāng)導(dǎo)彈i以標(biāo)準(zhǔn)彈道攔截過載為aT，i，s的機動目標(biāo)時，同樣根據(jù)三維建?？蓪⒛繕?biāo)過載aT，i，s分解到水平面上的過載aT，i，s，lat和垂直平面上的過載aT，i，s，lon，再結(jié)合式(10)～(13)可得制導(dǎo)律中的偏置項為

(14)

導(dǎo)彈i在初始時刻應(yīng)滿足

{(VT,lon,i,0cosηT,i,0-VM,lon,i,0cosηM,i,0)(VM,lon,i,0sinηM,i,0-VT,lon,i,0sinηT,i,0)+Blon,iri,0=0
(VT,lat,i,0cosσT,i,0-VM,lat,i,0cosσM,i,0)(VM,lat,i,0sinσM,i,0-VT,lat,i,0sinσT,i,0)+Blat,irlat,i,0=0

(15)

導(dǎo)彈在命中點處應(yīng)滿足

(16)

導(dǎo)彈i的剩余飛行時間可近似為

(17)

再對式(1)的第一個方程求導(dǎo)，并結(jié)合式(1)第五個方程可得

(18)

對式(3)的第一個方程求導(dǎo)，并結(jié)合式(3)第六個方程可得

(19)

結(jié)合式(10)和式(18)得

(20)

(21)

對上式進(jìn)行積分，可得

(22)

同理，水平面上初始時刻和命中時刻的前置角關(guān)系可表示為

(23)

綜上，根據(jù)導(dǎo)彈和目標(biāo)在初始時刻和命中點的前置角關(guān)系以及制導(dǎo)律設(shè)計項，整理為方程組

(24)

3 中制導(dǎo)協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

3.1 預(yù)測命中點求解

預(yù)測命中點的求解[17]可以采用以下步驟進(jìn)行。

步驟一：確定初始制導(dǎo)彈與目標(biāo)的初始位置(xm，ym，zm)，(xt0，yt0，zt0)，經(jīng)過Δt時間后，目標(biāo)的位置變?yōu)?xt1，yt1，zt1)，假設(shè)該點即預(yù)測命中點，預(yù)測命中點的顯式求解

(25)

步驟二：將上一步驟中求得的(xt1，yt1，zt1)作為攔截彈的目標(biāo)點，采取經(jīng)典的比例導(dǎo)引律飛向目標(biāo)，可以大致估計攔截彈需要的剩余飛行時間tgo，則攔截彈的飛行時間為tm=t0+tgo，目標(biāo)的飛行時間tt=t0+Δt。

步驟三：令ΔT=tt-tm，若|ΔT0|<Δt(Δt為所取的時間步長)，則(xt1，yt1，zt1)就可以認(rèn)為是預(yù)測命中點；若|ΔT0|>Δt，則重復(fù)步驟一和步驟二的內(nèi)容，計算下一時刻點tt+1=tt+Δt時刻目標(biāo)的位置(xt2，yt2，zt2)，并將該點看作預(yù)測命中點。重復(fù)計算攔截彈導(dǎo)引至這一時刻虛擬目標(biāo)點所需要的剩余飛行時間tgo。

步驟四：繼續(xù)判斷目標(biāo)與攔截彈的飛行時間差ΔT的絕對值是否大于時間步長Δt，若大于，則重復(fù)上述步驟。直到上述關(guān)系式變成小于就得到了預(yù)測命中點。

3.2 協(xié)同中制導(dǎo)律設(shè)計

基于預(yù)測命中點的修正比例導(dǎo)引律可設(shè)計為

(26)

其中，θ為攔截彈航向角，qp為期望的視線角，v為導(dǎo)彈速度。

預(yù)測命中點比例導(dǎo)引修正項的具體形式

Δac=k1(θ-qp)

(27)

時間協(xié)同偏置項[18]可以表示為

aξ,i=Kiriξi

(28)

其中，

帶有攻擊角限制的末制導(dǎo)律[19]設(shè)計如下

(29)

其中，αi=θi-Nqi+(N-1)θd，i，θd，i為導(dǎo)彈i期望的角度約束，N≥3，Kζ，i≥1。

綜上，基于預(yù)測命中點設(shè)計和中末交班陣位設(shè)計時間角度協(xié)同中制導(dǎo)律

(30)

4 仿真結(jié)果及結(jié)果分析

4.1 仿真結(jié)果

以多彈齊射的作戰(zhàn)方式為例來對上述的研究成果進(jìn)行數(shù)字仿真與驗證，采用4枚攔截彈攔截，導(dǎo)彈最大過載38g(g為重力加速度)，目標(biāo)最大過載15g，末制導(dǎo)開機距離為15km，導(dǎo)航比為3。目標(biāo)在4～5s縱向以最大過載15g機動，5～6s側(cè)向以過載15g機動，10～11s縱向以過載15g機動。4枚導(dǎo)彈的覆蓋策略示意圖如圖6所示，*為解算出的導(dǎo)彈在末制導(dǎo)初始時刻的陣位。

圖6 覆蓋策略示意圖Fig.6 Cooperative coverage diagram

中末制導(dǎo)彈道如圖7所示。

(a)中末制導(dǎo)彈道圖

(b)末制導(dǎo)彈道圖圖7 中末制導(dǎo)彈道圖Fig.7 Mid-terminal guidance trajectory diagram

縱向、側(cè)向平面角度誤差如圖8所示。

(a)縱向平面誤差圖

(b)側(cè)向平面誤差圖圖8 縱向側(cè)向平面角度誤差圖Fig.8 Longitudinal - lateral plane angle error diagram

導(dǎo)彈過載如圖9所示。

圖9 導(dǎo)彈過載圖Fig.9 Missile overload diagram

4.2 結(jié)果分析

由圖6～圖9所示，基于圓域覆蓋算法的協(xié)同末制導(dǎo)實現(xiàn)了對目標(biāo)逃逸域的有效覆蓋，協(xié)同中制導(dǎo)在中制導(dǎo)段實現(xiàn)了時間和角度協(xié)同，同時，導(dǎo)彈的中末制導(dǎo)需要過載均小于目標(biāo)機動過載，小于導(dǎo)彈可用過載。在中制導(dǎo)結(jié)束時，導(dǎo)彈以設(shè)計的交班角度到達(dá)，平均角度誤差為0.8606°，時間一致性誤差為0.1291s，交班位置誤差為2.69%，在末制導(dǎo)階段，協(xié)同打擊策略分配了4枚攔截彈的攔截陣位，導(dǎo)彈的最小脫靶量為0.3693，在命中點附近最大過載為9.32g，小于機動目標(biāo)的最大過載15g，通過協(xié)同中末制導(dǎo)實現(xiàn)了有效攔截。

5 結(jié) 論

本文研究了攔截空中大機動目標(biāo)的協(xié)同中末一體化制導(dǎo)問題。在所提出的基于圓域覆蓋算法的協(xié)同打擊策略的基礎(chǔ)上定義了導(dǎo)彈的標(biāo)準(zhǔn)彈道，即代表導(dǎo)彈的小圓圓心所在的位置即為該陣位下導(dǎo)彈按標(biāo)準(zhǔn)彈道飛行時目標(biāo)的機動大小。然后給出了基于改進(jìn)比例導(dǎo)引律的協(xié)同制導(dǎo)律形式，推導(dǎo)了在滿足該協(xié)同打擊策略下的末制導(dǎo)初始陣位要求，以及該協(xié)同制導(dǎo)律各導(dǎo)彈所需要的偏置量大小。根據(jù)末制導(dǎo)對交班陣位的要求，為了實現(xiàn)精準(zhǔn)中末交接班，采用預(yù)測命中點的方法，將導(dǎo)彈導(dǎo)引向交班陣位，設(shè)計時間角度協(xié)同中制導(dǎo)律，最終實現(xiàn)有效攔截。但是本文未考慮目標(biāo)在中制導(dǎo)段的機動情況，因此后續(xù)將研究中制導(dǎo)段目標(biāo)機動后基于預(yù)測命中點修正的制導(dǎo)律設(shè)計問題。