王梓欣，成 煒，辛 穎，楊子安，黃子豪

(1. 北京動(dòng)力機(jī)械研究所·北京·100074；2. 中國人民解放軍93145部隊(duì)·上?！?01109；3. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109)

0 引 言

近年來，受到魚群、鳥群、昆蟲集群的啟發(fā)，研究人員提出了多智能體系統(tǒng)(Multi-Agent Systems，MAS)[1]的概念，由每個(gè)獨(dú)立個(gè)體組成群體，可以完成單個(gè)個(gè)體不能完成的任務(wù)。目前，多智能體系統(tǒng)已經(jīng)滲透到自然和社會(huì)科學(xué)的眾多領(lǐng)域，取得了較多成果，例如空間探索、安防巡演、軍事偵察[2]等。在多智能體的研究中，無人機(jī)由于體積小、質(zhì)量小、靈活性好，同時(shí)單架成本較低的優(yōu)勢受到重點(diǎn)研究[3]。無人機(jī)根據(jù)結(jié)構(gòu)分為固定翼無人機(jī)和旋翼無人機(jī)，其中固定翼無人機(jī)飛行速度快，飛行時(shí)間長，負(fù)載更大，但是其控制難度和要求更高[4]，而旋翼無人機(jī)體積小、成本低、操作簡單，并且可以實(shí)現(xiàn)垂直起降和懸停，成為多智能體系統(tǒng)領(lǐng)域研究的重點(diǎn)[5-6]。在旋翼無人機(jī)中，四旋翼無人機(jī)作為最常見的一種受到廣泛研究。

在多智能體系統(tǒng)的研究中，編隊(duì)控制受到學(xué)者的廣泛研究和關(guān)注。編隊(duì)控制要求預(yù)先設(shè)計(jì)一個(gè)可靠的隊(duì)形，整個(gè)系統(tǒng)通過個(gè)體之間的通信在一定時(shí)間內(nèi)形成并保持預(yù)先設(shè)計(jì)的隊(duì)形，可以根據(jù)任務(wù)要求保持和調(diào)整隊(duì)形。近十幾年來，無人機(jī)編隊(duì)控制理論和實(shí)物飛行領(lǐng)域取得了大量研究成果[7-11]，常用的編隊(duì)控制方法主要包含領(lǐng)航跟隨法、基于一致性方法、人工勢場法、虛擬結(jié)構(gòu)法和基于行為法。領(lǐng)航跟隨法[12]是編隊(duì)控制問題研究中最基本且最常用的方法，其將編隊(duì)控制問題轉(zhuǎn)化為誤差跟蹤問題，實(shí)現(xiàn)跟隨者無人機(jī)對領(lǐng)航者無人機(jī)的跟隨，但是編隊(duì)控制的穩(wěn)定性十分依賴于領(lǐng)航者無人機(jī)，跟隨者之間沒有通信和交互，整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性較差，賓西法尼亞大學(xué)的Desai團(tuán)隊(duì)[13]針對該法做了大量的研究工作。同時(shí)，該法也是研究編隊(duì)問題比較成熟的方法，在編隊(duì)控制方面有著廣泛的應(yīng)用?；谝恢滦苑椒╗14]的基礎(chǔ)是一致性理論，相比于前者增加了個(gè)體無人機(jī)之間的通信和交互，根據(jù)自身信息和鄰居信息進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，增加了系統(tǒng)的靈活性和魯棒性，但是其控制算法更加復(fù)雜，對系統(tǒng)彼此通信的速度和準(zhǔn)確性提出了更高的要求。人工勢場法通過設(shè)計(jì)勢場來實(shí)現(xiàn)編隊(duì)隊(duì)形，該法在解決避障問題中有很好的應(yīng)用，但是其存在局部極小值的情況，同時(shí)缺乏穩(wěn)定性證明[15]。虛擬結(jié)構(gòu)法[16]常與領(lǐng)航跟隨法相結(jié)合，彌補(bǔ)了領(lǐng)航跟隨法過度依賴領(lǐng)航者的不足，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[17]采用虛擬結(jié)構(gòu)法研究無人機(jī)的編隊(duì)控制問題，并用仿真實(shí)例驗(yàn)證了算法的有效性。基于行為法采用簡單行為集合來形成控制器，其方法本身無法保證編隊(duì)控制的精度，因而很難將其應(yīng)用到無人機(jī)集群編隊(duì)控制上。本文研究的四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)采用“領(lǐng)航-跟隨”結(jié)構(gòu)，同時(shí)跟隨者無人機(jī)之間存在通信，既能增強(qiáng)整個(gè)系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性，又能根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者的位置信息進(jìn)行編隊(duì)分配，形成期望的編隊(duì)隊(duì)形。在控制方法的選擇上，滑?？刂瓶梢栽O(shè)計(jì)滑動(dòng)模態(tài)，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)較少，同時(shí)可以克服系統(tǒng)的不確定性，對于干擾和建模誤差具有很強(qiáng)的魯棒性，其在工業(yè)控制、航空航天等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)普通滑?？刂圃谙到y(tǒng)達(dá)到滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，無法在有限時(shí)間內(nèi)誤差收斂至0，終端滑?？刂苿t可以使誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，在編隊(duì)控制上即可實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間編隊(duì)控制?；诖吮疚膶⒁运男頍o人機(jī)為研究對象，采用“領(lǐng)航-跟隨”結(jié)構(gòu)，同時(shí)保證網(wǎng)絡(luò)中相鄰個(gè)體的通信，根據(jù)每架四旋翼無人機(jī)本身和鄰居信息設(shè)計(jì)終端滑模編隊(duì)控制器，實(shí)現(xiàn)四旋翼無人機(jī)的編隊(duì)控制，并且給出編隊(duì)控制有限時(shí)間穩(wěn)定性證明。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 四旋翼無人機(jī)數(shù)學(xué)模型

本文以四旋翼無人機(jī)為研究對象，考慮“領(lǐng)航-跟隨”結(jié)構(gòu)的同構(gòu)四旋翼無人機(jī)的編隊(duì)控制問題。其數(shù)學(xué)模型如下所示

(1)

假定每架四旋翼無人機(jī)期望偏航角ψdi已知，則通過上述加速度信號(hào)和期望偏航角可以得到如下公式

(2)

1.2 編隊(duì)控制目標(biāo)

本文研究具有“領(lǐng)航-跟隨”結(jié)構(gòu)的同構(gòu)四旋翼無人機(jī)的編隊(duì)控制問題，四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)用有向圖Gf=(V，E)表示，其中V={v1，…，vN}表示四旋翼無人機(jī)的集合，E=V×V表示兩架四旋翼無人機(jī)之間的通信，定義通信拓?fù)鋱D中第i架四旋翼無人機(jī)的鄰居集合Ωi={vj∈V：(i，j)∈E}，其中vj表示第j架四旋翼無人機(jī)，|Ωi|表示第i架四旋翼無人機(jī)鄰居的個(gè)數(shù)。

假設(shè)本文研究的四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱DGf為連通圖，共有N+1架四旋翼無人機(jī)，其中包含一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者(i=L)和N個(gè)跟隨者(i=1，…，N)。定義通信拓?fù)鋱DGf的歸一化拉式矩陣Υ，如下所示

(3)

式中，γij表示歸一化拉式矩陣中第i行第j列的元素，其值如下所示

(4)

(5)

編隊(duì)控制目標(biāo)即所有跟隨者四旋翼無人機(jī)的廣義誤差狀態(tài)ei(t)收斂到0[18]。

2 四旋翼無人機(jī)編隊(duì)控制

2.1 基于終端滑模的編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)

首先對第i架四旋翼無人機(jī)的廣義誤差狀態(tài)ei(t)沿時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)，得到如下公式

(6)

式中，

(7)

式中，ui(t)表示第i架四旋翼無人機(jī)編隊(duì)控制器產(chǎn)生的控制信號(hào)。下面基于終端滑模控制方法設(shè)計(jì)四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)飛行控制算法。

第i架四旋翼無人機(jī)的終端滑模函數(shù)定義如下

(8)

式中，Hi=diag{hi1，hi2，hi3}，him>0，m=1，2，3，Di(ei)=diag{sign(ei1)，sign(ei2)，sign(ei3)}，

第i架四旋翼無人機(jī)的終端滑模面如下所示

(9)

基于等速趨近律，得到第i架四旋翼無人機(jī)的終端滑模控制律如下所示

(10)

(11)

公式(10)即四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)飛行控制律，當(dāng)每架四旋翼無人機(jī)廣義誤差狀態(tài)ei(t)收斂至0的時(shí)候?qū)崿F(xiàn)期望的編隊(duì)隊(duì)形。

2.2 穩(wěn)定性證明

下面基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論結(jié)合有限時(shí)間穩(wěn)定性理論給出上述編隊(duì)控制器的有限時(shí)間穩(wěn)定性證明。

(12)

(13)

(14)

此時(shí)，考慮如下所示的Lyapunov函數(shù)

(15)

當(dāng)ei=0時(shí)，Vi(ei)=0；當(dāng)ei≠0時(shí)，Vi(ei)>0，因此公式(15)中的Lyapunov函數(shù)是正定的。對上述Lyapunov函數(shù)(15)求導(dǎo)

(16)

結(jié)合有限時(shí)間穩(wěn)定性理論[18]可知，上述設(shè)計(jì)的編隊(duì)控制器(公式(10))能保證第i架四旋翼無人機(jī)的廣義誤差狀態(tài)ei在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，實(shí)現(xiàn)四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間編隊(duì)控制。

3 仿真實(shí)例及結(jié)果分析

3.1 通信拓?fù)鋱D

本文研究的四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)有向圖中包含一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者(i=L)和三個(gè)跟隨者(i=1，2，3)，通信拓?fù)鋱D如圖1所示，其對應(yīng)的矩陣見公式(17)

圖1 四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱DFig.1 Communication topology of quadrotor UAV system

(17)

3.2 初始狀態(tài)和預(yù)期編隊(duì)

首先給出四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)跟隨者的初始狀態(tài)：

領(lǐng)導(dǎo)者四旋翼無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程如下所示

四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)的期望編隊(duì)設(shè)置如下

3.3 編隊(duì)控制器參數(shù)

1)終端滑模面參數(shù)Hi=diag(3，3，3)，i=1，2，3；

2)編隊(duì)控制器增益矩陣Ki=diag(2，2，2)，i=1，2，3；

3)有界集合σi上界ψi=3.5，i=1，2，3。

3.4 仿真結(jié)果

對上述基于終端滑模的編隊(duì)控制器效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證，同時(shí)與線性滑?？刂破鬟M(jìn)行對比，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的編隊(duì)控制器的效果。圖2表示基于終端滑模編隊(duì)控制器控制的四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)三維運(yùn)動(dòng)圖，圖3表示基于終端滑模編隊(duì)控制器控制的四旋翼無人機(jī)平面二維運(yùn)動(dòng)圖，最終三架跟隨者四旋翼無人機(jī)做螺旋上升的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

圖2 基于終端滑模的三維運(yùn)動(dòng)圖Fig.2 Three dimensional motion diagram based on terminal sliding mode control

圖4表示基于終端滑模編隊(duì)控制器控制的四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)位置坐標(biāo)x，y，z隨時(shí)間變化曲線，從圖中可以看出，三架跟隨者四旋翼無人機(jī)都可以跟隨領(lǐng)導(dǎo)者四旋翼無人機(jī)在平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，高度上保持著編隊(duì)隊(duì)形設(shè)計(jì)的高度差。

(b)位置坐標(biāo)y

(c)位置坐標(biāo)z圖4 基于終端滑模的位置坐標(biāo)變化曲線Fig.4 Position coordinate curve based on terminal sliding mode control

圖5表示基于終端滑模編隊(duì)控制器控制的四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)廣義誤差狀態(tài)收斂曲線，由圖可以看出三個(gè)跟隨者無人機(jī)廣義誤差狀態(tài)在4s的時(shí)間內(nèi)能收斂到0，實(shí)現(xiàn)了期望的編隊(duì)隊(duì)形。

圖5 基于終端滑模的廣義誤差狀態(tài)曲線Fig.5 Generalized error state curve based on terminal sliding mode control

為了驗(yàn)證所提出控制器的效果，設(shè)計(jì)了線性滑?？刂破鞯膶Ρ葘?shí)驗(yàn)，線性滑模函數(shù)設(shè)計(jì)如下

(18)

對應(yīng)的線性滑模面如下

(19)

圖6～圖9表示四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)在線性滑?？刂破飨碌捻憫?yīng)曲線。由曲線可知，基于線性滑?？刂频乃男頍o人機(jī)系統(tǒng)的廣義誤差狀態(tài)在9 s的時(shí)間內(nèi)能收斂到0，也可以實(shí)現(xiàn)期望的編隊(duì)隊(duì)形，但與終端滑?？刂葡啾?，收斂的速度更慢，因而所設(shè)計(jì)的基于終端滑模的四旋翼編隊(duì)控制具有更快的響應(yīng)速度，控制效果更好。且由前文穩(wěn)定性證明可知，結(jié)合有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，基于終端滑?？刂频乃男砭庩?duì)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)四旋翼無人機(jī)的有限時(shí)間編隊(duì)控制。

圖6 基于線性滑模的三維運(yùn)動(dòng)圖Fig.6 Three dimensional motion diagram based on linear sliding mode control

圖7 基于線性滑模的平面二維運(yùn)動(dòng)圖Fig.7 Two-dimensional motion diagram based on linear sliding mode control

(a)位置坐標(biāo)x

(b)位置坐標(biāo)y

(c)位置坐標(biāo)z圖8 基于線性滑模的位置坐標(biāo)變化曲線Fig.8 Position coordinate curve based on linear sliding mode control

圖9 基于線性滑模的廣義誤差狀態(tài)曲線Fig.9 Generalized error state curve based on linear sliding mode control

4 結(jié) 論

研究了基于終端滑?？刂频乃男頍o人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)飛行控制問題。以四旋翼無人機(jī)為研究對象，提出了編隊(duì)控制目標(biāo)，為每架四旋翼無人機(jī)設(shè)計(jì)了終端滑模編隊(duì)控制器，并且實(shí)現(xiàn)了多四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間編隊(duì)飛行。但是考慮到四旋翼無人機(jī)實(shí)際飛行時(shí)的干擾問題，并且滑模控制器本身存在一定的抖振問題，因此后續(xù)將針對文中未解決的問題進(jìn)行進(jìn)一步探索和研究。