陳培鋒,王銘海

(華中科技大學(xué) 光學(xué)與電子信息學(xué)院,湖北 武漢 430074)

黑體輻射理論是理解光源特性、光電探測系統(tǒng)、發(fā)光和激光等技術(shù)的理論基礎(chǔ),所以在光電專業(yè)教學(xué)中具有重要意義. 但是關(guān)于黑體輻射的教學(xué)卻分散在大學(xué)物理[1]、光電探測[2]、激光原理[3]等多門課程中. 在這些課程中的教學(xué)主要是直接給出黑體輻射的普朗克公式,一般不加推導(dǎo). 隨著固體發(fā)光材料的發(fā)展,關(guān)于固體物理的教學(xué)逐漸顯得重要,因此近年來在光電專業(yè)逐漸開始開設(shè)“熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理”和“固體物理”課程. 在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課程中,黑體輻射主要是通過平衡熱輻射的光子氣體理論[7]進(jìn)行介紹. 通過多年的實(shí)踐,筆者認(rèn)為在光子氣體理論教學(xué)中,將光電專業(yè)相關(guān)理論加以系統(tǒng)介紹,對于光電專業(yè)學(xué)生系統(tǒng)理解本專業(yè)關(guān)于物質(zhì)相互作用的基礎(chǔ)是很重要的. 本文的介紹圍繞光子氣體理論的教學(xué)程序和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),其中的一些實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與論文[4]可以相互印證.

1 黑體輻射與基爾霍夫定律

熱輻射、黑體輻射的基本概念在大學(xué)物理[1]中已經(jīng)系統(tǒng)介紹,這里只需要簡單回顧. 對于光電專業(yè)學(xué)生進(jìn)一步從光源的發(fā)光概念引出黑體輻射是有必要的. 實(shí)踐表明,通過介紹基爾霍夫定律引出黑體輻射的重要性,是光電專業(yè)教學(xué)比較好的切入點(diǎn)[4]. 而基爾霍夫定律分析的是物體熱輻射的能力,所以也是光電專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)光電探測技術(shù)的基礎(chǔ),這樣切入可以很好體現(xiàn)光電專業(yè)基礎(chǔ)課的特點(diǎn).

首先物體的輻出度和單色輻出度[2]可表示為[5]

R(T)=ε(T)Rb(T),Rλ(T)=ελ(T)Rλb(T)

(1)

其中ε(T)和ελ(T)為物體的發(fā)射率和單色發(fā)射率,而Rb(T)和Rλb(T)是黑體的輻出度和單色輻出度.由此可見,實(shí)際物體的輻射能力是通過與黑體比較表征的,由此可見黑體輻射理論對光電專業(yè)的基礎(chǔ)作用.

其次,基爾霍夫在1859年總結(jié)出了一個普遍的規(guī)律(基爾霍夫定律):任何物體在同一溫度T下輻出度R(T)和吸收率α(T)成正比,比值等于同溫度下黑體的輻出度Rb(T);任何物體在同一溫度T下單色輻出度Rλ(T)和吸收率αλ(T)成正比,比值等于同溫度下黑體的單色輻出度Rλb(T),只和頻率ν、溫度T有關(guān),與物質(zhì)本身性質(zhì)無關(guān).

(2)

比較式(1)、(2),可見

ελ(T)=αλ(T)

(3)

這表明,物體的發(fā)射率等于同溫度下物體的吸收率.對于光電探測領(lǐng)域的學(xué)生,建立起一個物體“具有高的吸收率同時必然具有高的發(fā)射率”這個基本觀念很重要的.因?yàn)榛鶢柣舴蚨烧菬崃W(xué)平衡態(tài)的理論結(jié)果,所以在講解光子氣體統(tǒng)計(jì)課程時進(jìn)行介紹是非常合適的.

2 普朗克關(guān)于空腔中平衡輻射的最初探索以及瑞利-金斯公式的引出

一般介紹瑞利-金斯公式時,會直接給出空腔中電磁模式數(shù)的結(jié)果[6],然后類比能量均分原理假設(shè)每個電磁模式的平均能量為kT,最后給出瑞利-金斯公式.

實(shí)際上根據(jù)歷史發(fā)展進(jìn)程,先介紹普朗克關(guān)于平衡熱輻射的諧振子理論,更有利于學(xué)生理解,并且更容易使學(xué)生建立起輻射與腔壁物質(zhì)輻射的關(guān)系.因?yàn)榍槐谥械闹C振子的能量本身就是統(tǒng)計(jì)物理已經(jīng)解決的問題,這比硬性地引入電磁輻射的平均能量更合理.

(4)

其中ρ為空腔中輻射能量密度,U為腔壁諧振子平均能量,ν為振子頻率,c為光速.普朗克認(rèn)為既然空腔平衡輻射與腔壁的物質(zhì)無關(guān),那么假設(shè)空腔是由諧振子組成的是成立的.在這個基礎(chǔ)上由運(yùn)動方程出發(fā),根據(jù)諧振子的電磁輻射和吸收的規(guī)律,當(dāng)諧振子與空腔輻射達(dá)到熱平衡時推出了上式.

式(4)的重要性在于,實(shí)際考慮到了腔壁與熱輻射之間的熱平衡,并且只要確定了腔壁諧振子在溫度T時的平均能量U, 就可以得到空腔平衡輻射的能量分布規(guī)律.正如文獻(xiàn)中指出[8,9],如果普朗克采用當(dāng)時已為人們熟知的、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中的能量均分定理, 即U=kT,那他就于1899年5月得到了一年之后由瑞利得到的瑞利公式.

教學(xué)實(shí)踐中表明,如果不介紹普朗克的這個工作,那么講到瑞利公式的時候,只能如文獻(xiàn)[10]認(rèn)為的那樣,將腔壁的諧振子模糊處理為空腔輻射中的模式.由于8πν2/c3確實(shí)等于單位體積空腔中的諧振模式數(shù),所以作這樣的模糊處理學(xué)生一般不會提出疑問.但這是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?因?yàn)闊o法體現(xiàn)出空腔中平衡熱輻射的來源,也無法表現(xiàn)出空腔輻射與腔壁的熱平衡條件,同時后續(xù)的諧振腔量子化也非常勉強(qiáng).同時如果模糊腔壁諧振子與空腔輻射之間的區(qū)別,那就意味著普朗克最先提出了輻射場的量子化假設(shè),這與愛因斯坦在1905年提出輻射量子化相矛盾.正是因?yàn)檫@種種原因,以腔壁諧振子為基礎(chǔ),通過式(4)講解瑞利公式和普朗克量子化是應(yīng)該被提倡的.

在式(4)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步講解瑞利公式就很簡單了.根據(jù)經(jīng)典物理的能量均分原理,處于溫度T平衡態(tài)的諧振子的平均能量為kT,代入式(4)即得單位體積空腔中能量密度為

(5)

這就是大家都熟悉的瑞利-金斯公式[7].由此引出經(jīng)典物理的困難.由于上述從式(4)引入的過程建立在嚴(yán)格的經(jīng)典物理基礎(chǔ)上,所以這種困難存在是不可克服的,如果在推導(dǎo)過程中引入了模糊的處理,學(xué)生就會感到疑惑.

3 關(guān)于普朗克公式和量子化

關(guān)于普朗克采用數(shù)學(xué)上的內(nèi)插法獲得普朗克公式的過程,以及隨后的分立能級的提出,這在目前的教學(xué)體系中是比較成熟的,很多文獻(xiàn)都專門討論了教學(xué)的方法[4,6].

筆者認(rèn)為,引入普朗克之前的工作式(4),教學(xué)中會更加嚴(yán)謹(jǐn).因?yàn)槿绻鞔_普朗克考慮的是腔壁諧振子的平均能量,則根據(jù)定域子的統(tǒng)計(jì)特性,腔壁諧振子自然應(yīng)該滿足玻耳茲曼統(tǒng)計(jì).這樣普朗克通過量子化能級的玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)分布獲得的諧振子平均能量就有了嚴(yán)格的依據(jù).如果不引入腔壁諧振子的概念,將其模糊處理為輻射諧振模式,學(xué)生會對其應(yīng)滿足的統(tǒng)計(jì)規(guī)律產(chǎn)生疑問.因?yàn)槲覀兒竺媸峭ㄟ^光子的玻色統(tǒng)計(jì)引入了諧振模式的能量,學(xué)生會對為什么兩種統(tǒng)計(jì)獲得相同的結(jié)果產(chǎn)生懷疑.

關(guān)于普朗克公式及其量子化過程的教學(xué)雖然成熟,但正確地引入腔壁諧振子的概念,仍然會極大地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn),對于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度的養(yǎng)成是非常有益的.

4 光子氣體理論

關(guān)于空腔中平衡熱輻射的理論核心,采用光子氣體理論是最為簡潔的,特別適合于學(xué)生長期的記憶和推導(dǎo).同時光子氣體作為玻色子的概念引入,對于學(xué)生后續(xù)課程中認(rèn)識激光器中大量光子占據(jù)相同的光子態(tài),以及這些具有相同光子態(tài)的光子的“具有相同的特性”會有更深刻的認(rèn)識,對具有相同光子態(tài)的光子組成的激光的特性也具有更深刻的認(rèn)識.關(guān)于其講授,筆者實(shí)踐中認(rèn)為采用《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理》[7]的講授方法學(xué)生是很容易接受的.

筆者實(shí)踐中認(rèn)識到,在教學(xué)過程中應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)空腔熱輻射實(shí)際上仍然與黑體輻射是有區(qū)別的.按照黑體的定義,空腔小孔輻射才是黑體輻射的模型,因此黑體輻射與空腔熱平衡輻射之間的區(qū)別需要明確.

光子的自旋態(tài)數(shù)為2,則在體積為V的空腔中,在p→p+dp動量范圍內(nèi)的光子態(tài)數(shù)為

(6)

考慮到ε=cp=?ω可得在圓頻率ω→ω+dω范圍內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)為

(7)

光子滿足光子數(shù)不守恒的玻色分布,在圓頻率ω→ω+dω范圍內(nèi)的平均光子數(shù)為

(8)

在圓頻率ω→ω+dω范圍內(nèi)每個光子具有?ω的能量,因此可得平衡熱輻射場能量為

(9)

這就是空腔中平衡熱輻射場的普朗克公式[7].

而黑體輻射則可以用光子碰壁的概念直接根據(jù)碰壁數(shù)[7]或?yàn)a流[5]的概念引出.單位時間內(nèi)打到單位面積壁上圓頻率在ω～ω+dω區(qū)間的光子數(shù)為

(10)

單位時間穿出器壁上單位面積圓頻率在ω～ω+dω區(qū)間內(nèi)的能量為

(11)

這對應(yīng)著正確的黑體輻出度公式[1]：

(12)

許多教材混淆了式(11)、(12)與(9),雖不至于引起大的誤解,但對專業(yè)的學(xué)生還是需要嚴(yán)格求證的.

5 愛因斯坦的輻射理論[3]

光子氣體理論雖然直接可以推出空腔平衡熱輻射的公式,過程簡潔易掌握.但是嚴(yán)格意義上說,由于光子間不存在相互作用,所以這個理論無法解釋平衡熱輻射的平衡過程.只有引入腔壁的輻射和吸收,光子氣體通過與腔壁達(dá)到熱平衡,才能夠解釋光子氣體的平衡過程.這樣似乎又回到了本文最開始普朗克考慮的問題.但是現(xiàn)代的原子理論已經(jīng)不再是普朗克當(dāng)時的狀態(tài),因此愛因斯坦在1916年提出了受激輻射的概念.只有提供愛因斯坦的受激輻射理論的教學(xué)才能夠真正將關(guān)于空腔熱平衡輻射的理論比較完整地講授.而受激輻射理論對于光電專業(yè)的學(xué)生是非常重要的,借這個教學(xué)機(jī)會將其介紹給學(xué)生也具有重要的意義.

要彌補(bǔ)上述光子氣體理論推導(dǎo)過程中的缺陷,需要將空腔的壁同時考慮進(jìn)去.光子氣體是通過與空腔壁的相互作用達(dá)到熱平衡的.即使是達(dá)到熱平衡,空腔中的光子不斷被壁吸收,但同時壁也會不斷地輻射光子,當(dāng)單位時間里壁吸收的光子與輻射的光子達(dá)到平衡時,空腔中的輻射場就是平衡熱輻射場.最早考慮這個問題的是愛因斯坦,愛因斯坦通過這樣的模型在1917年提出原子受激輻射概念.

考慮諧振頻率為ν的平衡輻射場ρν與空腔壁原子的相互作用.為簡化起見,只考慮原子的2個諧振能級E2和E1,并有E2-E1=hν

(13)

單位體積內(nèi)處于2能級原子數(shù)分別用n2和n1表示.

波爾提出了原子的自發(fā)輻射躍遷和受激吸收躍遷過程.考慮到腔壁原子為定域子,應(yīng)滿足玻耳茲曼分布,而空腔中的平衡熱輻射分布式(9)與玻耳茲曼分布存在明顯不同,愛因斯坦提出,輻射場ρν與物質(zhì)原子的相互作用還應(yīng)包含受激輻射躍遷過程,據(jù)此可以進(jìn)一步定義3個躍遷過程的速率[3].

處于高能級E2的一個原子自發(fā)地向El躍遷,并發(fā)射一個能量為hν的光子,稱為自發(fā)躍遷過程.自發(fā)躍遷過程用自發(fā)躍遷概率A21描述.Δt時間內(nèi)自發(fā)輻射躍遷的原子數(shù)正比于n2：

(Δn21)sp=A21n2Δt

(14)

A21定義為單位時間內(nèi)n2個高能態(tài)原子中發(fā)生自發(fā)躍遷的原子數(shù)與n2的比值.如果空腔壁原子和輻射場相互作用只包含上述自發(fā)躍遷過程,是不能維持空腔內(nèi)輻射場的穩(wěn)定的.因此,必然還存在—種原子在輻射場作用下的受激躍遷過程.

處于低能態(tài)E1的一個原子,在頻率為ν的輻射場作用(激勵)下,受激地向E2能態(tài)躍遷并吸收一個能量為hν的光子,這種過程稱為受激吸收躍遷.最樸素的想法顯然是假設(shè)受激吸收躍遷幾率W12與腔內(nèi)輻射密度ρν成正比,因此Δt時間內(nèi)受激吸收輻射躍遷的原子數(shù)正比于n1：

(Δn12)st=B12ρνn1Δt

(15)

比例系數(shù)B12稱為受激吸收躍遷愛因斯坦系數(shù),它只與原子性質(zhì)有關(guān).

愛因斯坦提出存在受激吸收躍遷的反過程——受激輻射躍遷.Δt時間內(nèi)受激輻射躍遷的原子數(shù)正比于n2：

(Δn21)st=B21ρνn2Δt

(16)

比例系數(shù)B21稱為受激輻射躍遷愛因斯坦系數(shù),它只與原子性質(zhì)有關(guān).

根據(jù)上述相互作用物理模型分析空腔黑體的熱平衡過程,可以導(dǎo)出愛因斯坦3系數(shù)A21、B12、B21之間的關(guān)系.

首先,在平衡態(tài)下,腔內(nèi)的輻射場ρν遵守Planck的熱平衡黑體輻射分布:

(17)

其次,空腔壁原子數(shù)按能級分布應(yīng)服從熱平衡狀態(tài)下定域子的玻耳茲曼分布:

(18)

式中g(shù)2和g1分別是能級E2和E1的簡并度.

最后,在腔內(nèi)的輻射場ρν與腔壁物質(zhì)原子達(dá)到共同平衡時,n2和n1應(yīng)保持不變,即自發(fā)輻射和受激輻射引起的能級E2上粒子數(shù)n2的減少應(yīng)等于受激吸收引起的粒子數(shù)n2的增加,即

(Δn12)st=(Δn21)st+(Δn21)sp

或

n2A21+n2B21ρν=n1B12ρν

(19)

聯(lián)立上面3個平衡條件,得

(20)

要使上式恒等,需要

B12g1=B21g2

(21)

(22)

式(21)、(22)所代表的光子與物質(zhì)能級的相互作用關(guān)系是普適的關(guān)系式,是激光原理[3]等課程的核心基礎(chǔ).

6 關(guān)于受激輻射的說明

6.1 受激輻射的存在性證明

假設(shè)不存在受激輻射,式(19)變?yōu)?/p>

n2A21=n1B12ρν

(23)

(24)

(25)

無法得到普朗克公式.

這個分布正好對應(yīng)維恩分布[6,7],在忽略受激輻射過程的條件下,無法得到普朗克分布,因此受激輻射是必須存在的,只有這樣才能解釋普朗克分布.

6.2 受激輻射的特性

(26)

按照愛因斯坦理論,發(fā)射光波的另一條途徑是受激輻射.但是,愛因斯坦受激發(fā)射理論發(fā)表后的很多年后人們才發(fā)現(xiàn)其真正的應(yīng)用意義.

造成這種狀況的原因是當(dāng)物質(zhì)處于熱平衡態(tài)時,能級上的粒子數(shù)(或稱粒子集居數(shù)或布居數(shù))服從MB分布,為簡單起見令g2=g1,因此有

(27)

由于E2>E1,所以n2

平衡態(tài)的理論已經(jīng)如此深地占據(jù)了人們的思想,以至科學(xué)家寧可提出負(fù)吸收的概念解釋光的放大,也沒有想到光的放大實(shí)際是具有應(yīng)用意義的.人們對非平衡態(tài)認(rèn)識的局限性,使得受激輻射的理論只在理論物理學(xué)家建立光的散射、折射、色散和吸

收的量子理論時派上了用場,也由于對相干輻射源的需要當(dāng)時也沒有那么迫切,幾乎沒有人想到負(fù)吸收可以用在相干放大電磁波的工作器件上.

現(xiàn)在我們知道,在一定條件下,物質(zhì)的光吸收可以轉(zhuǎn)化為光放大,其條件為n2>n1,這一條件稱為集居數(shù)反轉(zhuǎn). 當(dāng)然這樣必須打破熱平衡狀態(tài),只有通過外界向物質(zhì)不斷供給能量(稱為泵浦過程),集居數(shù)反轉(zhuǎn)才能實(shí)現(xiàn). 這已經(jīng)成為激光發(fā)射的基礎(chǔ).

7 總結(jié)與思考

本文作者多年在光電專業(yè)講授激光原理和光電技術(shù)課程,在此基礎(chǔ)上通過開設(shè)光電專業(yè)統(tǒng)計(jì)物理課程,認(rèn)識到其對于光電專業(yè)的重要性. 筆者根據(jù)自身的實(shí)踐,認(rèn)識到將輻射的黑體輻射對于光源輻射的基礎(chǔ)作用和受激輻射概念等內(nèi)容,系統(tǒng)地通過與光子氣體理論結(jié)合的方法講授給學(xué)生,可以保證光電專業(yè)學(xué)生對光與物質(zhì)相互作用的理論有系統(tǒng)的理解;同時也通過實(shí)踐體會到在講授過程中需要注意一些細(xì)節(jié)的把握,這些細(xì)節(jié)對于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度的養(yǎng)成是非常重要的.