豐秀蓉,王 鋒

(北京理工大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100081)

表象理論是量子力學(xué)教材中的基礎(chǔ)概念之一[1-4],選取不同表象來(lái)研究物理問(wèn)題時(shí),最終的結(jié)論不會(huì)因?yàn)檫x取表象的不同而發(fā)生改變,只是力學(xué)量在不同表象下的表達(dá)形式是不同的,因此表象選得恰當(dāng)往往可以使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)化[5,6].量子力學(xué)中常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象等[7].大多數(shù)情況下,人們都習(xí)慣使用坐標(biāo)表象,但是在處理一些問(wèn)題,如固態(tài)物理中電子的有效勢(shì),一般采用依賴(lài)于動(dòng)量的勢(shì)V(p),它不是坐標(biāo)空間中的局域勢(shì),用坐標(biāo)表象來(lái)處理比較麻煩,因此適合選取動(dòng)量表象來(lái)處理[2].

在量子力學(xué)教學(xué)中,經(jīng)常會(huì)用到坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中的表示,但在一些教材中只是給出最終的結(jié)果,很少提及詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程[8,9],這將使學(xué)生在學(xué)習(xí)量子力學(xué)過(guò)程中產(chǎn)生相應(yīng)的疑惑.還有的是通過(guò)自由粒子是動(dòng)量的本征態(tài),而動(dòng)量的本征態(tài)在坐標(biāo)表象下是平面波的基本假設(shè)和狄拉克δ函數(shù)[10]來(lái)推導(dǎo)坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中表示[5,11,12],比較抽象和復(fù)雜,在教學(xué)過(guò)程中不利于學(xué)生的深入理解.因此,探索新的引入方法在加深學(xué)生對(duì)量子力學(xué)的理解等方面具有一定的實(shí)際意義.本文另辟新徑,以數(shù)學(xué)中的泰勒展開(kāi)為基礎(chǔ),引入泰勒平移的概念,再結(jié)合學(xué)生熟知的對(duì)易關(guān)系推導(dǎo)出坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象下的表達(dá)形式,新的推導(dǎo)方式讓學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容有了更好的理解,也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維,同時(shí)使教學(xué)過(guò)程更具有啟發(fā)性.

1 泰勒平移的提出

若函數(shù)f(x)在x=x0處n階可導(dǎo),則能被如下無(wú)窮級(jí)泰勒展開(kāi)表示

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+

(1)

其中n→∞,式(1)可寫(xiě)成如下一般形式

(2)

指數(shù)函數(shù)ex在x=0的泰勒展開(kāi)式可寫(xiě)成[13]

(3)

式(2)可以通過(guò)式(3)表達(dá)為

(4)

其中令x-x0=ε(其中ε為小于收斂半徑的平移量), 式(4)可以表達(dá)為

(5)

(6)

2 坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中的表示

(7)

式(7)兩邊乘以一個(gè)無(wú)窮小參量ε,可表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

其中O(ε2)為二階小量舍去,因此式(10)可寫(xiě)成

(12)

(13)

(14)

(15)

因此式(14)可寫(xiě)成

(16)

再根據(jù)泰勒平移概念式(6),也可以得到

(17)

從式(16)和(17)可得

(18)

變形得

(19)

由此可以得出坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中的表示為

(20)

最后推廣到

(21)

至此,就推出了坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中的表達(dá)式.

本文通過(guò)泰勒平移的概念并結(jié)合量子力學(xué)的知識(shí)詳細(xì)推導(dǎo)出坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中的表達(dá)式,促進(jìn)學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的掌握,也彌補(bǔ)了傳統(tǒng)推導(dǎo)方法的不足,同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維,使教學(xué)過(guò)程更具有啟發(fā)性.