劉朝濤,劉浩鳴,杜子學(xué),鄔浩鑫 ,侯忠偉

(1. 重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院,重慶 400074; 2. 重慶交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院,重慶 400074)

0 引 言

隨著城市化進(jìn)程加速,中小城市交通擁堵現(xiàn)象日益凸顯,亟需大力發(fā)展建設(shè)成本低的除地鐵制式之外的新型城市軌道交通系統(tǒng)?？缱絾诬壗煌ㄏ噍^地鐵交通具有成本低、噪音低、轉(zhuǎn)彎半徑小等優(yōu)點(diǎn),是中小城市軌道交通建設(shè)的重要選擇。重慶軌道交通二、三號(hào)線是我國目前唯一成功運(yùn)營的中大運(yùn)量跨座式單軌交通線路。重慶單軌運(yùn)營實(shí)踐發(fā)現(xiàn),現(xiàn)行跨座式單軌列車是以固定時(shí)間間隔和固定物理聯(lián)掛的多編組方式運(yùn)行,而實(shí)際每天早中晚客流分布波動(dòng)較大,造成了很大的運(yùn)力浪費(fèi)和車輛資源(車輛配置數(shù)多)浪費(fèi),存在運(yùn)營投入大的問題。尤其是新冠疫情嚴(yán)重時(shí),八編組列車竟然出現(xiàn)每車僅有3～4位乘客的情況。亟需開展跨座式單軌智能編組相關(guān)理論、方法和技術(shù)研究來適應(yīng)客流波動(dòng)大的場(chǎng)景需求,同時(shí)解決軌道交通投入大和運(yùn)營成本高的問題。

圍繞跨座式單軌智能編組協(xié)同控制問題,基于分布式協(xié)同控制的思想,借鑒分布式控制方法在智能網(wǎng)聯(lián)道路車輛以及高鐵列車、多智能體協(xié)同控制中的相關(guān)成果[1-4],結(jié)合跨座式單軌的運(yùn)行特點(diǎn)以及滑模變結(jié)構(gòu)控制的強(qiáng)魯棒性、響應(yīng)快速實(shí)時(shí)性好的特點(diǎn),建立跨座式單軌智能編組(straddle monorail intelligent marshalling, SMIM)動(dòng)力學(xué)模型,構(gòu)建了分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制架構(gòu);提出了SMIM分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制(DFTSMC)方法,應(yīng)用了分布式固定時(shí)間滑模估計(jì)器(DFTSME),為SMIM隊(duì)列中每個(gè)編組車輛分別設(shè)計(jì)了分布式固定時(shí)間積分滑?？刂破?DFTISMC),并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出的控制方法的有效性。

1 跨座式單軌智能編組動(dòng)力學(xué)模型

跨座式單軌智能編組動(dòng)力學(xué)模型是協(xié)同控制方法研究的基礎(chǔ)。本研究基于質(zhì)點(diǎn)模型的指導(dǎo)思想和列車牽引動(dòng)力學(xué)理論,進(jìn)行了SMIM運(yùn)行受力分析。SMIM單車行駛時(shí)受3個(gè)力作用,分別是牽引/制動(dòng)力、基本運(yùn)行阻力和額外運(yùn)行阻力,它們之間的關(guān)系可以用式(1)來描述:

ma=u-f1(v,t)-f2(p,v,t)

(1)

式中:m為SMIM單車的質(zhì)量;a為加速度;u為牽引/制動(dòng)力;f1(v,t)為基本運(yùn)行阻力;f2(p,v,t)為附加運(yùn)行阻力;v為速度;p為位置。

基本運(yùn)行阻力f1(v,t)一般由如下形式,見式(2)的戴維斯[5]方程描述:

f1(v,t)=α+βv+γv2

(2)

式中:α、β、γ均為經(jīng)驗(yàn)系數(shù),在這里不做過多的討論,假定是已知的;f2(p,v,t)作為附加運(yùn)行阻力,包括曲線阻力,坡道阻力,隧道阻力以及其他一些因素導(dǎo)致的阻力。通常按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算,在這里假定是已知的。

取如下狀態(tài)變量:

(3)

綜合式(1)～式(3),可以得到如下方程:

(4)

式(4)是SMIM單車的動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)于SMIM編組,假設(shè)編組是由n個(gè)單車組成(n∈R且為正整數(shù)),那么可以有方程為:

(5)

式中:i為SMIM編組里的第i輛車,i∈(1,2,3,…,n);xi1為第i輛車的位置;xi2為第i輛車的速度;mi為第i輛車的質(zhì)量;fi2(xi1,xi2,t)為第i輛車的附加運(yùn)行阻力。

2 跨座式單軌智能編組分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制

分布式控制方式具有高擴(kuò)展性、高靈活性等優(yōu)點(diǎn),分布式控制是近幾年國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)之一。V.ANDRIEU等[6]最早提出了固定時(shí)間穩(wěn)定的概念,A.POLYAKOV[7]后來提出了固定時(shí)間Lyapunov穩(wěn)定理論,為后續(xù)的固定時(shí)間控制算法的設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

2.1 分布式固定時(shí)間滑膜協(xié)同控制架構(gòu)

SMIM整個(gè)行駛過程包括出站、加速、惰性、減速、進(jìn)站,在行駛?cè)^程中,需要達(dá)到的控制目標(biāo)是:

1)領(lǐng)航車輛:能夠在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確的跟蹤控制中心、云平臺(tái)或預(yù)設(shè)的速度-距離曲線。

2)編組內(nèi)非領(lǐng)航車輛:能夠在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確的跟蹤領(lǐng)航車輛速度并保持一致,保持期望的車間間距dei。

為達(dá)到以上的目標(biāo),我們?cè)O(shè)計(jì)了SMIM分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制架構(gòu)(圖1),設(shè)計(jì)了位置和速度雙閉環(huán)控制提高了系統(tǒng)的可控性。

圖1 分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制架構(gòu)

每個(gè)編組之間可以無線通訊(通訊可以采取5G、Wifi或者其他組合方式等)來實(shí)時(shí)交換彼此的信息,受限于車間間距以及路況,我們采取鄰接通訊的方式,如圖1可見,每個(gè)編組可以和其前后相鄰的編組通訊交換彼此信息。

對(duì)于領(lǐng)航車輛,控制中心、云平臺(tái)或預(yù)設(shè)的速度-距離曲線指令送達(dá)給DFTISMC 1,其直接控制領(lǐng)航車輛,通過選取適當(dāng)?shù)目刂破鲄?shù),領(lǐng)航車輛可以獨(dú)立于初始狀態(tài)在固定時(shí)間內(nèi)(根據(jù)調(diào)整控制參數(shù)來控制固定時(shí)間的大小)準(zhǔn)確跟蹤控制中心、云平臺(tái)或預(yù)設(shè)的速度-距離曲線下發(fā)的指令,極大地提高了工程實(shí)用性,減少了跟蹤時(shí)間,提高了運(yùn)行效率。

對(duì)于編組內(nèi)非領(lǐng)航車輛,首先由DFTSME估計(jì)出領(lǐng)航車輛的速度和位置狀態(tài),再將指令發(fā)送給DFTISMC 2,通過選取適當(dāng)?shù)墓烙?jì)器參數(shù)和控制器參數(shù),編組內(nèi)非領(lǐng)航車輛可以獨(dú)立于初始狀態(tài)的估計(jì)出領(lǐng)航車輛的速度狀態(tài)和位置狀態(tài),并在固定時(shí)間內(nèi)(根據(jù)調(diào)整控制參數(shù)來控制固定時(shí)間的大小)準(zhǔn)確跟蹤領(lǐng)航車輛的速度且保持編組之間期望的車間間距dei,提高了工程實(shí)用性。

2.2 分布式固定時(shí)間滑模估計(jì)器設(shè)計(jì)

為方便估計(jì)器和后面控制器的設(shè)計(jì),先給出如下定義:

定義1假設(shè)非線系統(tǒng)式(5) 為全局漸近穩(wěn)定, 若存在有限收斂時(shí)間Ts(x0),對(duì)于所有的t≥Ts滿足x(t)=0恒成立,則系統(tǒng)式(5)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定[8]。

定義2若系統(tǒng)式(5)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定,同時(shí)收斂時(shí)間存在確定上界且上界值與系統(tǒng)狀態(tài)變量無關(guān),則稱系統(tǒng)式(5)為全局固定時(shí)間穩(wěn)定[7]。

由前面控制架構(gòu)可以得知,SMIM非領(lǐng)航車輛需要先對(duì)領(lǐng)航車輛的速度狀態(tài)進(jìn)行估計(jì),再將估計(jì)指令發(fā)送給DFTISMC 2進(jìn)而控制車輛。

為了方便DFTSME的設(shè)計(jì),我們利用代數(shù)圖論來描述車輛間的通訊拓?fù)潢P(guān)系。

在由N個(gè)SMIM組成的編隊(duì)系統(tǒng)中,如果第j個(gè)編隊(duì)成員Oj可以接收到第i個(gè)編隊(duì)成員Oi的信息,第i個(gè)編隊(duì)成員Oi也可以接收到第j個(gè)編隊(duì)成員Oj的信息,由SMIM組成的圖G為無向圖,圖G中就有一條邊從Oj指向Oi(也可以說有一條邊從Oi指向Oj),記為(Oj,Oi)∈φ?(Oi,Oj)∈φ,在編組中,領(lǐng)航車輛只能接收第2個(gè)編組的信息,編組中的尾車只能接收前車的信息,其余編組車輛皆可以接收前車和后車的信息,故圖G的加權(quán)鄰接矩陣為:

(6)

圖G的入度矩陣D=diag(d1,…,dN),對(duì)角元素為:

(7)

那么圖G對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣:

L=D-A

(8)

圖G對(duì)應(yīng)的領(lǐng)航鄰接矩陣B：

B=diag(b1,b2,…,bN)

(9)

當(dāng)?shù)趇個(gè)編隊(duì)成員Zi可以接收到領(lǐng)航者的信號(hào)時(shí),bi=1,否則bi=0。

定義矩陣Q：

Q=L+B

(10)

另外,為了方便給出DFTSME,我們做出以下符合SMIM運(yùn)行實(shí)況的假設(shè):

根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的DFTSME,并結(jié)合SMIM的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),DFTSME可設(shè)計(jì)如下:

(11)

(12)

先給出以下引理:

引理2[11]如果ξ1,ξ2,…,ξN≥0,那么有下述結(jié)論成立:

(13)

(14)

(15)

定理1中位置估計(jì)的證明和速度估計(jì)的證明過程類似,在此僅對(duì)位置估計(jì)器進(jìn)行證明。

(16)

將式(16)增廣并引入克羅克內(nèi)積后可得:

(17)

其中:YN=[1]N,I3是三階單位矩陣。

由引理1可知Q?I3是正定的。選取Lyapunov函數(shù)為:

皖河流域下游屬平原圩區(qū)，地勢(shì)低平，水系復(fù)雜，河床落差小、彎道多，水流緩慢，泄洪能力差，多澇災(zāi)有必然性。皖河流域下游千畝以上重點(diǎn)圩口104個(gè)，總面積880.69 km2，耕地5.33萬公頃，其中萬公頃以上圩口22個(gè)。建國以來60余年間，就發(fā)生過較大洪澇災(zāi)害17次，平均不到3年一次，與上游洪水出現(xiàn)保持高度一致。澇災(zāi)嚴(yán)重的是皖河中下游支流及武昌湖周邊圩區(qū)。

(18)

為了簡(jiǎn)化表達(dá),令δ=(Q?I3)ep,則有:

(19)

根據(jù)定理2可得:

(20)

證畢。

2.3 分布式固定時(shí)間積分滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

由前面控制架構(gòu)可以得知,SMIM領(lǐng)航車輛得到云平臺(tái)、控制中心或預(yù)設(shè)速度-曲線指令后由DFTISMC 1控制車輛;非領(lǐng)航車輛由DFTSME給DFTISMC 2發(fā)送指令進(jìn)而控制非領(lǐng)航車輛。

2.3.1 固定時(shí)間積分滑模控制器1的設(shè)計(jì)

為了方便DFTISMC 1的設(shè)計(jì),先給出如下引理。

引理3如果存在一個(gè)連續(xù)徑向無界函數(shù)V：Rn→R+∪{0}滿足:

V*(x)≤k3Vz(x)-k4Vg(x)

(21)

式中:k3,k4>0,z>1,0

(22)

對(duì)于領(lǐng)航SMIM車輛,給出如下定義:

(23)

式中:e1p為領(lǐng)航SMIM車輛位置誤差;p1為領(lǐng)航車輛位置;pr為領(lǐng)航車輛位置指令;e1v為領(lǐng)航車輛速度誤差;v1為領(lǐng)航車輛速度;vr為領(lǐng)航車輛速度指令。為了收斂的快速性和平滑性,采用如下的積分滑模面:

(24)

對(duì)式(24)求導(dǎo)可得:

(25)

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí),有:

(26)

則可以得到:

(27)

領(lǐng)航車輛固定時(shí)間積分滑?？刂破髟O(shè)計(jì)為:

(28)

2.3.2 固定時(shí)間積分滑?？刂破?的設(shè)計(jì)

為了方便DFTISMC 2的設(shè)計(jì),先給出如下定義,對(duì)于編組內(nèi)的非領(lǐng)航SMIM車輛:

(29)

式中:eip為編組內(nèi)非領(lǐng)航SMIM車輛位置誤差;pi和pi-1分別為編組內(nèi)第i輛和第i-1輛SMIM車輛位置;eiv是第i輛SMIM車輛估計(jì)速度和領(lǐng)航車輛速度的誤差。為了收斂的快速性和平滑性,采用如下的積分滑模面:

(30)

對(duì)式(30)其求導(dǎo)得到:

(31)

非領(lǐng)航車輛固定時(shí)間積分滑模控制器設(shè)計(jì)為:

(32)

定理2對(duì)于系統(tǒng)式(5)的SMIM領(lǐng)航車輛,當(dāng)選用滑模面式(24)及控制器式(28)時(shí),系統(tǒng)為全局穩(wěn)定且滿足SMIM領(lǐng)航車輛位置誤差e1p和速度誤差e1v于固定時(shí)間TP收斂至零, 其中TP滿足下面不等式:

TP≤T1+T2

(33)

即領(lǐng)航車輛在固定時(shí)間TP內(nèi)跟蹤到位置指令和速度指令。

對(duì)于系統(tǒng)式(5)的SMIM非領(lǐng)航車輛,當(dāng)選用滑模面式(30)及控制器式(32)時(shí),系統(tǒng)為全局穩(wěn)定且滿足車輛位置誤差eip和速度誤差eiv于固定時(shí)間TC收斂至零, 即在TC時(shí)間內(nèi),編組非領(lǐng)航車輛的速度跟蹤上領(lǐng)航車輛的速度并且保持理想的車間間距dei,其中TC滿足下面不等式:

TC≤T0+T1+T2

(34)

定理2中兩個(gè)控制器的證明過程類似,在此僅證明控制器1。

證明:選取以下Lyapunov函數(shù):

V2=|e1p|

(35)

(36)

根據(jù)引理3可以知道滑模運(yùn)動(dòng)階段的收斂時(shí)間T1滿足:

(37)

另外,再選取以下Lyapunov函數(shù):

V3=|s1|

(38)

(39)

根據(jù)引理3可以知道趨近階段的收斂時(shí)間T2滿足:

(40)

證畢。

因此可以得出結(jié)論, 通過適當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù), 可以使SMIM領(lǐng)航車輛的狀態(tài)在固定時(shí)間TP內(nèi)跟蹤上控制中心、云平臺(tái)或預(yù)設(shè)的速度-距離曲線。對(duì)于SMIM中非領(lǐng)航車輛,根據(jù)2.2節(jié)結(jié)論,DFTSME在T0內(nèi)估計(jì)出領(lǐng)航車輛的位置和速度,再根據(jù)本節(jié)結(jié)論,可以得知編組中非領(lǐng)航車輛在TC時(shí)間內(nèi)跟蹤上預(yù)期的速度-距離曲線,在此不再贅述。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證SMIM分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制方法,本研究仿真對(duì)象為車輛質(zhì)量作了比例縮小的跨座式單軌智能四編組車輛?？s小質(zhì)量是為了節(jié)約仿真時(shí)間,但不影響控制算法有效性驗(yàn)證的結(jié)果。有效性驗(yàn)證中是將文獻(xiàn)[13]有限時(shí)間滑模控制算法作為對(duì)比分析的對(duì)象。

SMIM單車主要仿真參數(shù)設(shè)置是:

1)領(lǐng)航車輛:m1=1 200 kg, 初始位置為30 m,初始速度為-15 m/s;控制器參數(shù):γ1=0.3,z1=19,n1=17,δ1=0.3,r1=3,q1=5,γ2=10,z2=3,n2=1,β2=10,g2=5,q2=7。

2)第1輛跟隨車:m2=1 300 kg,初始位置為70 m,初始速度為-10 m/s,與前車?yán)硐敫囬g距40 m;控制器參數(shù):γ1=0.25,z1=19,n1=17,δ1=0.25,r1=3,q1=5,γ2=5,z2=3,n2=1,β2=5,g2=5,q2=7。

3)由于篇幅限制,第3和第4輛跟隨車輛主要仿真參數(shù)不再贅述。

DFTSME參數(shù)設(shè)置如下:

編組中每輛車的基本運(yùn)行阻力f1和附加運(yùn)行阻力f2均假定為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。

圖2分別為SMIM在加速-巡航行駛時(shí)控制算法控制SMIM車輛和有限時(shí)間控制器控制SMIM車輛的位置和速度的追蹤圖,其中由于速度的目標(biāo)速度指令是相同的,分開表示更能清楚的做出對(duì)比,4輛車的速度追蹤分別如圖2。4輛SMIM車均是不同的質(zhì)量,不同的初始位置和速度,可以看出,領(lǐng)航車輛用筆者所設(shè)計(jì)算法時(shí),在11.5 s時(shí)位置和速度均跟蹤到指令曲線,而有限時(shí)間控制器在17.0 s時(shí)位置和速度才跟蹤上指令曲線;第1輛跟隨車用筆者所設(shè)計(jì)算法時(shí),在13.0 s時(shí)既速度跟蹤到領(lǐng)航車輛速度,位置上也和領(lǐng)航車輛保持了設(shè)定的間距,而有限時(shí)間控制器在26.0 s時(shí)才達(dá)到同樣的要求;第2輛跟隨車用筆者所設(shè)計(jì)算法時(shí),在12.0 s時(shí)既速度跟蹤到領(lǐng)航車輛速度,位置上也和第1輛跟隨車保持了設(shè)定的間距,而有限時(shí)間控制器在18.0 s時(shí)才達(dá)到同樣的要求;第3輛跟隨車用筆者所設(shè)計(jì)算法時(shí),在14.0 s時(shí)既速度跟蹤到領(lǐng)航車輛速度,位置上也和第2輛跟隨車保持了設(shè)定的間距,而有限時(shí)間控制器在28.0 s時(shí)才達(dá)到同樣的要求?？梢钥闯龉P者所設(shè)計(jì)布式固定時(shí)間協(xié)同控制算法能使編組內(nèi)領(lǐng)航車輛在較短時(shí)間內(nèi)跟蹤到指令曲線;編組內(nèi)非領(lǐng)航車輛在較短時(shí)間內(nèi)跟蹤上領(lǐng)航車輛的速度并且和前車保持設(shè)定的間距。

圖2 跨座式單軌智能編組控制算法對(duì)比

4 結(jié) 語

系統(tǒng)性的提出了跨座式單軌智能編組分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制方法,該方法包括了領(lǐng)航車輛的固定時(shí)間積分滑?？刂破?、非領(lǐng)航車輛的固定時(shí)間滑模估計(jì)器以及固定時(shí)間積分滑模控制器;同時(shí),對(duì)分布式固定時(shí)間滑?？刂扑惴ǖ挠行赃M(jìn)行了仿真分析,數(shù)值仿真結(jié)果顯示該控制算法可以使跨座式單軌智能編組中的車輛分別在11.5、13.0、12.0、14.0 s跟蹤上目標(biāo)的速度-距離曲線,而基于有限時(shí)間控制器分別在17、26、18、28 s跟蹤上目標(biāo)的速度-距離曲線,仿真結(jié)果表明分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制算法有效且能減少跟蹤時(shí)間。提出的分布式固定時(shí)間滑模協(xié)同控制方法對(duì)跨座式單軌智能編組協(xié)同控制具有理論和應(yīng)用參考價(jià)值。