? 江蘇省如東縣掘港高級中學(xué) 張必榮

問題是激發(fā)思維的火種.提出一個問題遠(yuǎn)比回答一個問題有難度,一個有價值的問題的誕生,需要經(jīng)過深思熟慮的思考[1].如何根據(jù)已有的試題,改編出更適合學(xué)生的問題?這是筆者近些年一直在探索的課題之一.實踐證明,面對一道試題,可從它的出處、背景著手,通過不同的角度去觀察與分析,進行改造與編排,亦可用變式訓(xùn)練來強化學(xué)生的理解程度.

1 觀察試題背景,合理改編

當(dāng)我們拿到一道新的試題時,首先要觀察題從何處來,分析試題產(chǎn)生的背景及其待考查的目標(biāo).一般我們從題目的條件與結(jié)論著手進行分析,根據(jù)試題條件與結(jié)論所提供的信息,發(fā)現(xiàn)它的出處.根據(jù)它的背景條件進行合理改編,能加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的認(rèn)識,夯實基本功,為解題能力的提升奠定基礎(chǔ).

觀察本題,可見這是一道解析幾何的基礎(chǔ)題,問題的背景為圓錐曲線與直線的位置關(guān)系.一般此類問題涉及到的知識點有距離、弦長、兩直線夾角、多邊形面積、最值、定值或軌跡等.因此,改編本題時,可以這些知識點為問題的基礎(chǔ),進行適當(dāng)?shù)母脑?

經(jīng)改編后,本題由一道封閉的問題,變成了一道開放性問題.這給學(xué)生的思維提供了更為廣闊的空間,讓學(xué)生的思維具有更大的彈性.每個層次的學(xué)生都能在自己的認(rèn)知基礎(chǔ)上添加適當(dāng)?shù)臈l件,從而獲得不同的結(jié)論.

學(xué)生在添加條件時,不僅會復(fù)習(xí)圓錐曲線與直線位置關(guān)系的相關(guān)知識,還能形成良好的提問能力.筆者在巡查時發(fā)現(xiàn),也有少部分學(xué)生提出的問題具有科學(xué)性的錯誤,但在教師及時點撥下,學(xué)生通過思辨,不僅及時糾正了錯誤,還糾正了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這也是促進學(xué)生個人成長的歷程.

對于例1的改編題,學(xué)生添加的條件主要有以下幾種:①直線l過原點;②直線l經(jīng)過橢圓C的左頂點;③橢圓C與直線l相交于點A與點B,且|AB|=2;④弦AB的中點為M(1,1);⑤弦AB的中點在y軸上;⑥AB的三等分點為點P(1,1);⑦∠BOA為直角;⑧△ABC的面積是1.

本題經(jīng)開放性條件的補充后,看起來問題難度并不大,但所蘊含的信息量卻很多,所包含的知識也比較全面.教師在此時可借力打力,鼓勵學(xué)生根據(jù)大家所添加的條件進行思考,解題過程即是對圓錐曲線與直線位置關(guān)系進行復(fù)習(xí)與建構(gòu)知識體系的過程.在此過程中,不論是條件的添加,還是問題的解決,都以學(xué)生的自主探究為主,從真正意義上踐行了“以生為本”的現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式.

2 延伸試題內(nèi)容,深度開發(fā)

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性的學(xué)科.觀察高考試題,會發(fā)現(xiàn)大部分試題都具有顯著的綜合性特征,往往一道題考查多方面的知識.因此,在面對一道試題時,不能以題論題,而應(yīng)根據(jù)試題所呈現(xiàn)的內(nèi)容進行前后知識的鏈接,以幫助學(xué)生更好地建構(gòu)知識體系[2].編題前,應(yīng)觀察原題所包含的內(nèi)容,并根據(jù)原知識點延伸到與之相關(guān)的其他章節(jié)內(nèi)容,進行深度開發(fā)與改變,幫助學(xué)生提高解決綜合性問題的能力.

例2如圖1,已知正四棱錐V-ABCD中,AB=2,且AB?平面α,正四棱錐圍繞著AB任意旋轉(zhuǎn),CD平行于平面α.求正四棱錐在平面α內(nèi)的投影面積的取值范圍.

圖1

根據(jù)本題所提供的信息,筆者鼓勵學(xué)生先進行小組合作學(xué)習(xí),經(jīng)討論后再改編本題.要求改編后的問題要涵蓋到其他章節(jié)的內(nèi)容,所提出的問題不僅要有一定的寬度,還要具有一定的深度.

學(xué)生經(jīng)討論后,提出了以下幾種改編方法:

(1)如圖2所示,假設(shè)I為棱AD的中點,H為棱BC的中點,N為線段IV的中點,M為線段HV的中點,正四棱錐V-ABCD圍繞直線NM進行旋轉(zhuǎn)的時候,點V在平面α上的射影是O,若底面ABCD的中心是V1,則|OV1|的最大值是多少?

圖2

(2)如果P為側(cè)面VAB上的動點,且點P到點V的距離與到底面ABCD的距離相等,那么點P的運動軌跡為( ).

A.是橢圓的一部分 B.是雙曲線的一部分

C.是圓的一部分 D.是拋物線的一部分

(3)如圖3所示,若長方體EFRT-E1F1R1T1內(nèi)接于正四棱錐V-ABCD,求該長方體的最大值.

圖3

(4)在第(3)題的條件下,已知幾何體EFRT-E1F1R1T1是一個正方體,S為正方形E1F1R1T1及其內(nèi)部的一個動點,若直線SE與底面E1F1R1T1所形成的角與直線SR和底面E1F1R1T1所構(gòu)成的角互余,則點S的運動軌跡為( ).

A.一點 B.線段

C.圓的一個部分 D.兩點

以上四種改編方法,適用于綜合復(fù)習(xí)課中的教學(xué).例2經(jīng)改編后,不僅突破了單元教學(xué)內(nèi)容的局限性,還延伸到了其他章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容.隨著問題的拓展、深入,學(xué)生的思維也跟著試題變得更為廣泛、深刻.這些改編方法建立在合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,不僅體現(xiàn)了學(xué)生的自主意識,還有效地開發(fā)了學(xué)生的思維,為創(chuàng)新意識的形成奠定了基礎(chǔ).

3 衍變試題價值,適當(dāng)推廣

面對一道試題,除了要觀察其產(chǎn)生的背景及與其相關(guān)聯(lián)的知識,還要從問題的來龍去脈來判斷本題是否值得推廣與衍變,是否能通過改編產(chǎn)生新的教學(xué)價值.

例如,我們可將題目中所呈現(xiàn)的定量改編為變量,將定點改編為動點,將橢圓改編為雙曲線等.這種推廣方式,不僅能體現(xiàn)出改編的價值,還能有效地激發(fā)學(xué)生的想象能力,拓寬學(xué)生的視野,培養(yǎng)學(xué)生形成良好的發(fā)散思維,為核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).

本題為一道基礎(chǔ)的線性規(guī)劃問題,所涉及到的直線y=1+x為定直線.若想讓本題變得更具價值,可以改編定直線這個條件,使它成為一條動直線,此時問題所表達的平面區(qū)域也會隨之變化.那么,在什么情況下可以使得平面區(qū)域轉(zhuǎn)化為封閉的三角形呢?

基于這個理念,學(xué)生經(jīng)討論,獲得如下問題:

此問所表達的變化的量為平面區(qū)域面積,而變化的面積有可能會產(chǎn)生最值.觀察并研究圖形,發(fā)現(xiàn)平面區(qū)域存在最小值的可能,但無最大值.由此,又聯(lián)想到一個新的問題:

學(xué)生的思維容量隨著問題的逐漸深入而擴大,無需使用大量例題,即可快速提高教學(xué)效率.因此,將原題進行推廣與衍變是提升學(xué)生思維深度與廣度的良好方式,也是提高學(xué)生綜合應(yīng)用能力的有效方法[3].

總而言之,合理改編試題,實現(xiàn)問題價值的提升,需在“以生為本”的基礎(chǔ)上,讓原題成為交流的媒介,通過對試題背景的觀察、知識點的延伸與推廣等方式,進行合理改編.學(xué)生在萬變不離其宗的試題中,逐漸深化對知識的理解,獲得良好的數(shù)學(xué)思想方法,為創(chuàng)新能力的形成與核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).