? 西華師范大學數(shù)學與信息學院 謝 濤 程國忠

冪函數(shù)是繼函數(shù)概念及其基本性質后所學習的第一種基本初等函數(shù)模型.通過對冪函數(shù)的學習,構建出研究一類函數(shù)的基本方法,即定義與表示—圖象與性質—應用.在教學中,大部分教師選擇讓學生通過觀察圖象,感知和發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質.然而,觀察圖形變化是處理教學難點的一個關鍵因素,并且此過程中,函數(shù)圖象均處于靜態(tài),學生難以感受到變化中的不變性,導致教學活動缺乏探究性,學生思維缺乏主動性.為解決這些問題,本文中基于GeoGebra(以下簡稱GGB)開展探究活動,對新人教A版高中數(shù)學必修第一冊第三章第3節(jié)“冪函數(shù)”進行了如下教學設計.

1 回顧舊知,引出課題

問題1前面我們已經學習了有關函數(shù)的哪些知識?

設計意圖:通過復習回顧所學內容,在學生原有的知識體系中生長出新的知識,幫助學生構建知識體系,探尋研究路徑.

問題2利用已有知識,請同學們解決下列5個問題.

(1)如果張紅購買了價格為1元/kg的蔬菜wkg,那么她需要支付p元,則p=______.

(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=______.

(3)如果立方體的棱長為a,那么立方體的體積V=______.

(4)如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長a=______.

(5)如果某人ts內騎車行進了1 km,那么他騎車的平均速度v=______.

追問1:如果去掉這些變量的實際意義,將自變量用x來表示,因變量用y來表示,上述五個式子分別如何表示?

追問2:觀察抽象后的式子,它們在形式上都有哪些共同特征?

追問3:根據(jù)這些特征,可以用一個怎樣的式子進行概括?

師生共同歸納總結,最終得到冪函數(shù)的定義:一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).

設計意圖:“情境問題是數(shù)學教學的平臺”,創(chuàng)設合適的數(shù)學情境,有助于激活學生的數(shù)學思維.通過解決生活中的實際問題,抽象得到熟悉的函數(shù)模型,強化學生對函數(shù)概念的理解.通過3個追問,引導學生由這些特殊的函數(shù)概括出一般的形式,由特殊到一般,抽象出冪函數(shù)的定義.培養(yǎng)學生數(shù)學抽象核心素養(yǎng),促使學生感悟特殊到一般的數(shù)學思想方法.

2 合作探究,體驗過程

問題3根據(jù)初中研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的經驗,我們該如何研究冪函數(shù)?

問題4分別畫出y=x,y=x2,y=x-1這三個函數(shù)的圖象,并研究它們各自具有哪些性質.

教學組織:學生體驗作圖過程,并從定義域、值域、單調性、奇偶性等方面研究這三個函數(shù)的性質,同時明確定義域是研究一個函數(shù)其他性質的前提.最后,教師借助GGB準確作圖,如圖1所示.

圖1

設計意圖:引導學生回顧研究一類函數(shù)的基本方法——圖象法,并以學生熟悉的三個具體函數(shù)作為對象展開研究,符合“最近發(fā)展區(qū)”理論.引導學生從圖象上直觀感受函數(shù)的基本性質,讓學生體驗“說”的過程,進而體會“形”是研究函數(shù)的一種重要方式.

追問1:它們之間有什么共同的特點?

追問2:將它們放在同一坐標系下,有何發(fā)現(xiàn)?

教學組織:教師將合并后的函數(shù)圖象(如圖2)在GGB上呈現(xiàn)出來,引導學生發(fā)現(xiàn)它們的共性,鼓勵學生提出有關一般冪函數(shù)性質的猜想,并借助GGB加以驗證.

圖2

發(fā)現(xiàn)1:這三個函數(shù)圖象有共同的交點,都經過點(1,1).

猜想:冪函數(shù)圖象都經過點(1,1).

探究:你能從代數(shù)的角度證明這一猜想嗎?

根據(jù)冪函數(shù)的解析式f(x)=xα,可知f(1)=1α=1,所以冪函數(shù)的圖象過點(1,1).

發(fā)現(xiàn)2:函數(shù)y=x,y=x-1是奇函數(shù),函數(shù)y=x2是偶函數(shù).

猜想:當指數(shù)α為奇數(shù)時,冪函數(shù)是奇函數(shù);當指數(shù)α為偶數(shù)時,冪函數(shù)是偶函數(shù).

探究:這是巧合還是必然呢?不妨借助GGB軟件來探究(如圖3).

圖3

首先,在GGB的繪圖區(qū)中創(chuàng)建兩個滑動條,分別表示奇數(shù)和偶數(shù),用于控制冪函數(shù)的指數(shù).其次,在代數(shù)區(qū)中輸入兩類冪函數(shù),繪制對應的函數(shù)圖象.最后,拖動滑動條,讓學生觀察當指數(shù)α發(fā)生變化時函數(shù)圖象的特點,猜想得以驗證.

設計意圖:單獨研究每個對象時,要在變化中尋找不變性,即函數(shù)的性質,相對困難.因此,需引導學生學會用“分與合”這一思想,研究事物的個性與共性,認識事物之間的聯(lián)系.對于函數(shù)性質的探究,信息技術不僅讓抽象的函數(shù)“動”了起來,也讓學生的思維“動”了起來,極大地提高了直觀性,有助于發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

圖4

設計意圖:對于函數(shù)y=x3的圖象,在描點過程中,部分學生喜歡取整數(shù)點,導致其與函數(shù)y=x2的圖象在區(qū)間(0,1)上的位置關系拿捏不準.此時,引導學生在區(qū)間(0,1)上取點,并利用GGB實現(xiàn)交互,展示取點、列表、描點、連線繪制函數(shù)圖象的動態(tài)過程,借助信息技術突破教學中的難點,克服學生思維上的障礙.同時,從“形”的角度再次證明了前面兩個猜想的正確性.

追問1:再次觀察這五個函數(shù)的圖象,有何發(fā)現(xiàn)?

發(fā)現(xiàn)3:函數(shù)圖象在第一象限均有出現(xiàn),即冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義.

追問2:聚焦第一象限,有何發(fā)現(xiàn)?

猜想:當指數(shù)α>0時,冪函數(shù)在第一象限內單調遞增;α<0時,冪函數(shù)在第一象限內單調遞減.

探究:創(chuàng)建兩個滑動條,分別控制α>0和α<0.拖動滑動條,通過觀察函數(shù)圖象在第一象限內的變化,學生可以直觀感受到這一猜想的正確性(如圖5).

圖5

追問3:當α<0時,函數(shù)在第一象限內單調遞減.遞減有怎樣的特點?函數(shù)值會隨著自變量的增大而無限減小嗎?

發(fā)現(xiàn)5:當α<0時,x→0+時,函數(shù)圖象無限接近于y軸;x→+∞時,函數(shù)圖象無限接近于x軸.

設計意圖:強化學生的作圖能力和歸納概括能力,強化學生通過代數(shù)運算和幾何直觀來研究函數(shù)性質的方法.培養(yǎng)學生用數(shù)學的語言表達數(shù)學現(xiàn)象的能力.

3 自主歸納,提煉升華

根據(jù)探究得到冪函數(shù)的性質如下:

(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都通過點(1,1).

(2)當α為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù);當α為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù).

(3)若α>0,則冪函數(shù)圖象過原點,并且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).

(4)若α<0,則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).在第一象限內,當x從右邊趨近原點時,圖象在y軸右側無限逼近于y軸,當x趨向+∞時,圖象在x軸上方無限逼近于x軸.

4 學以致用,小試牛刀

例2利用冪函數(shù)的性質,比較下列各題中兩個值的大小:

5 梳理知識,形成系統(tǒng)

問題7我們是如何研究冪函數(shù)性質的?研究路徑是怎樣的?這一過程中學到了哪些數(shù)學思想方法?

設計意圖:“思想方法是數(shù)學的靈魂”,通過構建思維導圖(圖6),總結研究對象所涉及的研究思路與方法,幫助學生建立良好的知識結構,從而促使學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

圖6

新課程標準倡導數(shù)學教學要適當?shù)乩眯畔⒓夹g進行輔助教學.對于抽象程度較大的數(shù)學內容,借助GGB的可視性,可建立起“抽象”通往“可見”的橋梁,為學生探索規(guī)律啟發(fā)思路,為學生解決問題提供直觀.只有這樣,才能有效落實學生的“四基”與“四能”,發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).