朱福敏, 劉儀榕, 2, 鄭尊信*

(1. 深圳大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 深圳 518060; 2. 寧波諾丁漢大學(xué)商學(xué)院, 寧波 315100)

0 引 言

資產(chǎn)價(jià)格的演變有許多不可忽視的重要特征.股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過程可以分解為連續(xù)性擴(kuò)散(與布朗運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng),這部分稱為diffusion)和隨機(jī)跳躍(與瞬時(shí)變化的非連續(xù)性突變對(duì)應(yīng),這部分稱為jumps)[1-5],前者形成連續(xù)性的波動(dòng),后者產(chǎn)生間斷性的市場(chǎng)震蕩,這些都是市場(chǎng)總波動(dòng)的重要組成部分[6, 7].相應(yīng)地,股價(jià)的跌宕起伏和股市的波動(dòng)震蕩都具有明顯的集聚和持續(xù)特征,這是股票市場(chǎng)特定風(fēng)險(xiǎn)不容忽視的演變規(guī)律.大量研究表明股票價(jià)格的大幅震蕩會(huì)引起市場(chǎng)的持續(xù)性波動(dòng),那么股票市場(chǎng)中波動(dòng)率累積到一定程度又是否會(huì)反向觸發(fā)隨機(jī)跳躍?哲學(xué)上的“量變”指事物的連續(xù)累積變化,這可在一定程度上反映波動(dòng)的變化特征,而“質(zhì)變”一般表現(xiàn)為事物非連續(xù)性的中斷或突變,這與跳躍的本質(zhì)十分相似,因此本文將連續(xù)性波動(dòng)的累積變化視作價(jià)格的“量變”,將間斷性的跳躍視作“質(zhì)變”,研究跳躍和波動(dòng)的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.如果股市存在量變引起質(zhì)變的效應(yīng),這意味著股票市場(chǎng)的波動(dòng)集聚變化可能導(dǎo)致市場(chǎng)持續(xù)震蕩甚至崩盤.研究跳躍和擴(kuò)散的動(dòng)態(tài)演變機(jī)制和相互關(guān)系對(duì)資產(chǎn)定價(jià)、收益預(yù)測(cè)、投資組合分析以及風(fēng)險(xiǎn)管理都具有重要意義[8].

一方面,非預(yù)期事件的發(fā)生往往容易引發(fā)資產(chǎn)價(jià)格跳躍,一次跳躍會(huì)觸發(fā)市場(chǎng)后續(xù)更多的隨機(jī)跳躍行為,從而形成跳躍群聚現(xiàn)象,這種現(xiàn)象稱為跳躍自激發(fā)(self-exciting).Eraker等[1, 2]最早采用收益率及波動(dòng)率都帶有跳躍(co-jump)的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)波動(dòng)率模型對(duì)標(biāo)普500指數(shù)以及納斯達(dá)克100指數(shù)進(jìn)行建模,給出了波動(dòng)率和收益率都有明顯跳躍行為的證據(jù).Lee和Mykland[3]對(duì)指數(shù)及個(gè)股高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),認(rèn)為隨機(jī)跳躍的強(qiáng)度應(yīng)該是時(shí)變的.Todorov和Tauchen[4]基于VIX高頻數(shù)據(jù)的非參數(shù)分析,證明波動(dòng)率中也存在與價(jià)格跳躍高度相關(guān)的隨機(jī)跳躍行為,且具有高階變差和無(wú)窮活動(dòng)率等特點(diǎn).Christoffersen等[9]則在GARCH模型的基礎(chǔ)上建立了時(shí)變跳躍強(qiáng)度的離散時(shí)間模型,從期權(quán)和收益率數(shù)據(jù)中得到了跳躍集聚的證據(jù).唐勇和張伯新[10]基于非參數(shù)方法結(jié)合A-J跳躍檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量考察了上證指數(shù)的高頻數(shù)據(jù)跳躍行為,實(shí)證研究表明其正負(fù)方向跳躍是不對(duì)稱的,且跳躍的變差在總方差中占有較高比例.A?t-Sahalia等[11]引入Hawkes跳-擴(kuò)散模型,探究美國(guó)、英國(guó)、日本、中國(guó)香港、墨西哥五個(gè)主要金融市場(chǎng)的跳躍集聚現(xiàn)象和跳躍互激發(fā)效應(yīng),研究發(fā)現(xiàn),五個(gè)市場(chǎng)的跳躍行為都存在著顯著的自激發(fā)現(xiàn)象,且市場(chǎng)兩兩之間的互激發(fā)效應(yīng)具有明顯不對(duì)稱性.Boswijk等[12]將跳躍中的自激發(fā)概念擴(kuò)展到一類豐富的連續(xù)時(shí)間半鞅模型中,采用十分鐘的高頻數(shù)據(jù),檢測(cè)到離散觀測(cè)樣本中的跳躍集聚現(xiàn)象.如今越來(lái)越多實(shí)證研究提供了市場(chǎng)存在跳躍集聚的證據(jù).股市中的跳躍行為不僅具有無(wú)窮活動(dòng)率特征,且存在持續(xù)性和記憶性,這些特征已經(jīng)反映在金融市場(chǎng)中,并對(duì)衍生品定價(jià)、對(duì)沖與套利產(chǎn)生重要影響.另一方面,市場(chǎng)波動(dòng)水平也同樣存在集聚現(xiàn)象和非對(duì)稱的回饋效應(yīng)[13-19].針對(duì)隨機(jī)跳躍和連續(xù)波動(dòng)的關(guān)系,陳浪南等[20]采用混合GARCH跳模型,研究了上證綜合指數(shù)、中國(guó)香港恒生指數(shù)、中國(guó)臺(tái)灣加權(quán)指數(shù)、道瓊斯工業(yè)指數(shù)和納斯達(dá)克指數(shù)的跳躍行為特征,研究顯示,跳躍不僅存在時(shí)變特征和集聚效應(yīng),而且對(duì)波動(dòng)率預(yù)期存在顯著的非對(duì)稱回饋效應(yīng),即存在質(zhì)變向量變滲透的顯著特征.Fulop等[21]針對(duì)標(biāo)普500指數(shù)提出了隨機(jī)波動(dòng)率的跳躍自激發(fā)模型,研究發(fā)現(xiàn),資產(chǎn)收益率的負(fù)跳可以同時(shí)對(duì)收益波動(dòng)率和跳躍強(qiáng)度產(chǎn)生非對(duì)稱回饋?zhàn)饔?從而提升極端事件發(fā)生的概率.與此同時(shí),陳國(guó)進(jìn)和王占海[22]、馬勇等[23]、吳恒煜等[24]的研究也表明,中國(guó)股市也存在波動(dòng)率非對(duì)稱回饋和跳躍群聚現(xiàn)象.事實(shí)上,與波動(dòng)率非對(duì)稱回饋類似,股市中跳躍行為同樣具有杠桿作用,負(fù)跳將提高未來(lái)的跳躍強(qiáng)度和擴(kuò)散波動(dòng)率.現(xiàn)有研究主要聚焦于考察隨機(jī)跳躍對(duì)波動(dòng)率形成的沖擊和回饋,而沒有反過來(lái)考慮和量化連續(xù)擴(kuò)散對(duì)隨機(jī)跳躍的短期反饋和持續(xù)性影響,即量變引起質(zhì)變的機(jī)制與程度.為此,朱福敏等[25, 26]探討了半鞅動(dòng)態(tài)跳-擴(kuò)散交叉回饋模型應(yīng)用于美國(guó)市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)問題,其假設(shè)跳躍和擴(kuò)散之間存在一定的交互協(xié)同關(guān)系,基于狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)的序貫貝葉斯參數(shù)學(xué)習(xí)方法的結(jié)果顯示,在美國(guó)期權(quán)市場(chǎng)上采用交叉回饋模型能顯著提高定價(jià)精度.由此可見,市場(chǎng)波動(dòng)和跳躍行為可能不是彼此孤立存在的,而是相互交叉回饋,甚至呈現(xiàn)出彼此關(guān)聯(lián)而又各具特色的協(xié)同演變規(guī)律.

如今,隨機(jī)跳躍的發(fā)生會(huì)對(duì)連續(xù)波動(dòng)率造成沖擊并提升下一期的跳躍到達(dá)率這一觀點(diǎn)已經(jīng)被廣泛接受[27-29].然而,股票市場(chǎng)中波動(dòng)率累積到一定程度是否會(huì)觸發(fā)隨機(jī)跳躍的形成和提高市場(chǎng)的跳躍強(qiáng)度?即波動(dòng)率的量變是否會(huì)引起隨機(jī)跳躍的質(zhì)變?對(duì)此學(xué)術(shù)界尚缺乏國(guó)際市場(chǎng)的相關(guān)研究,也尚未形成共識(shí)[9, 11, 26, 30].為了在國(guó)際市場(chǎng)上提供更加全面、系統(tǒng)和廣泛的證據(jù),同時(shí)為大樣本和多指數(shù)的全球股票市場(chǎng)的實(shí)證分析開拓更加高效便捷的估計(jì)方法,本文首先采用動(dòng)態(tài)跳-擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型對(duì)國(guó)際股票市場(chǎng)指數(shù)的跳躍和擴(kuò)散兩類不同風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行精準(zhǔn)分離,捕捉連續(xù)波動(dòng)“量變”引發(fā)隨機(jī)跳躍“質(zhì)變”的規(guī)律,并量化股票市場(chǎng)跳躍和波動(dòng)相互影響的持續(xù)性水平和交叉回饋程度,即量變引起質(zhì)變的長(zhǎng)期記憶與短期影響;其次借助廣義矩估計(jì)方法(GMM)和粒子濾波技術(shù)(PF),得到準(zhǔn)確的測(cè)度系數(shù)與跳擴(kuò)散狀態(tài)變量的時(shí)間序列,實(shí)現(xiàn)從理論到實(shí)證的演繹,為本文的研究結(jié)論提供有力的實(shí)證支撐;最后,結(jié)合本文提供的核心證據(jù),針對(duì)跳躍與擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)的演變特征,為監(jiān)管當(dāng)局、投資者以及政策制定者提供理論分析與實(shí)證檢驗(yàn)的參考依據(jù).本文的特色有:1)和Christoffersen等[9]提出的一系列Lévy-GARCH模型相比,本文更加綜合、全面地考慮了跳躍達(dá)到率和波動(dòng)率之間的動(dòng)態(tài)交互作用;和A?t-Sahalia等[11]重點(diǎn)考察市場(chǎng)間跳躍傳導(dǎo)規(guī)律的Hawkes模型相比,本文假設(shè)波動(dòng)率和跳躍到達(dá)率交叉變化,詳細(xì)刻畫了市場(chǎng)內(nèi)隨機(jī)跳躍和連續(xù)波動(dòng)率之間的動(dòng)態(tài)雙向影響關(guān)系,即量變與質(zhì)變的相互轉(zhuǎn)換規(guī)律;和Fulop等[21]提出的連續(xù)時(shí)間跳擴(kuò)散模型相比,本文的跳擴(kuò)散交互回饋模型既能夠分析跳躍對(duì)波動(dòng)的沖擊,也能反過來(lái)考察波動(dòng)集聚對(duì)跳躍的影響和反饋,能更深入地描繪跳躍沖擊在市場(chǎng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)演變和轉(zhuǎn)化機(jī)制;2)和朱福敏等[25, 26]用序貫貝葉斯學(xué)習(xí)方法研究美國(guó)市場(chǎng)相比,本文的實(shí)證研究拓展到國(guó)際股票市場(chǎng),能夠提供更加全面、系統(tǒng)和廣泛的實(shí)證參考,分析更為深入,研究結(jié)論更加可靠;同時(shí),針對(duì)國(guó)際市場(chǎng)大樣本情形,本文進(jìn)一步通過條件特征函數(shù)推導(dǎo)了模型的矩條件,借助廣義矩估計(jì)方法和粒子濾波技術(shù)(GMM-PF)聯(lián)合估計(jì)潛在的跳躍到達(dá)率和連續(xù)波動(dòng)率.模擬仿真實(shí)驗(yàn)表明,GMM-PF相比粒子濾波的極大似然法(MLE-PF)更加準(zhǔn)確,相比序貫貝葉斯的參數(shù)學(xué)習(xí)方法(SBL)更加高效快捷,平均估計(jì)時(shí)間不到序貫貝葉斯學(xué)習(xí)方法的1/10,且估計(jì)精度有保障、估計(jì)效率高,即可實(shí)現(xiàn)估計(jì)精度與效率的聯(lián)合最優(yōu),這對(duì)研究多指數(shù)的國(guó)際股票市場(chǎng)十分有利;3)本文借助跳擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型,對(duì)所有市場(chǎng)指數(shù)的跳躍和擴(kuò)散成分進(jìn)行了精準(zhǔn)分解,量化分析了各市場(chǎng)相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)的集聚水平和交互反饋程度,并就跳躍風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移、消化能力進(jìn)行國(guó)際間的橫向動(dòng)態(tài)比較,提供了量變引起質(zhì)變的國(guó)際證據(jù).研究發(fā)現(xiàn),各個(gè)市場(chǎng)內(nèi)部存在顯著的跳躍激發(fā)、波動(dòng)率集聚以及跳擴(kuò)散之間的非對(duì)稱交叉回饋影響,這說明跳躍不僅僅對(duì)連續(xù)波動(dòng)造成沖擊,同樣,波動(dòng)率累積到一定程度也會(huì)觸發(fā)跳躍,從而提升市場(chǎng)的跳躍發(fā)生概率,引發(fā)質(zhì)變,即存在量變與質(zhì)變相互轉(zhuǎn)化特征,且后者在國(guó)際股市中更為普遍;此外,研究還表明,新興市場(chǎng)(如中國(guó)大陸市場(chǎng))的跳躍變差占總變差的比例較高,且其震蕩水平和跳躍的持續(xù)性程度相對(duì)高于其他市場(chǎng),跳躍風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)化為擴(kuò)散波動(dòng)率的能力較弱,這些結(jié)論對(duì)我國(guó)進(jìn)一步研究和探索完善股票市場(chǎng)機(jī)制體制有重要參考價(jià)值.

1 模型設(shè)定

1.1 資產(chǎn)收益的動(dòng)態(tài)過程

為了同時(shí)捕獲資產(chǎn)價(jià)格中的跳躍和波動(dòng)率動(dòng)態(tài),假設(shè)對(duì)數(shù)收益率的隨機(jī)微分方程滿足如下半鞅隨機(jī)過程

dLt=μtdt+σtdWt+htdJt

(1)

(2)

這里Jt表示跳躍總幅度,Yi表示單次跳躍幅度,可假設(shè)服從正態(tài)分布.Nt表示跳躍發(fā)生的次數(shù),服從強(qiáng)度為λJ的泊松分布,此時(shí)htdNt可度量無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)的跳躍頻率,稱為跳躍達(dá)到率,htdλJ則表示該隨機(jī)過程時(shí)變的跳躍強(qiáng)度.默頓跳過程屬于有限跳躍,有限跳雖然能夠捕捉資產(chǎn)價(jià)格的重大突變,但無(wú)法解釋市場(chǎng)的高頻率無(wú)窮小跳躍.研究表明,在收益率擬合和衍生品定價(jià)方面,無(wú)窮跳躍相比有限跳躍具有更好的表現(xiàn)[21, 26, 32-34],因此本文引入無(wú)窮活動(dòng)率的Variance Gamma(VG)過程來(lái)刻畫跳躍水平,此時(shí)隨機(jī)跳躍可表達(dá)為如下形式

(3)

這里htdJt表示總的跳躍成分,令xt=dJt為每單位的跳躍幅度,且服從VG無(wú)窮活動(dòng)率的跳躍過程,那么對(duì)VG標(biāo)準(zhǔn)化之后,ht可表示單位時(shí)間下已實(shí)現(xiàn)的跳躍到達(dá)率.此時(shí)對(duì)數(shù)收益率的隨機(jī)過程分解為兩種不同類型的沖擊:一種是服從正態(tài)分布的隨機(jī)沖擊,即連續(xù)布朗運(yùn)動(dòng),其連續(xù)擴(kuò)散的波動(dòng)率為σt,另一種是由跳躍造成的非連續(xù)性沖擊,其跳躍到達(dá)率為ht,對(duì)擴(kuò)散和跳躍的凸度修正和補(bǔ)償則指定在半鞅模型的確定性漂移項(xiàng)中.后續(xù)只需假設(shè)跳躍強(qiáng)度或跳躍活動(dòng)率隨時(shí)間而動(dòng)態(tài)變化,即可刻畫跳躍的自激發(fā)和集聚現(xiàn)象.與波動(dòng)率類似,ht可以作為資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)過程的跳躍壓力指標(biāo)及市場(chǎng)中跳躍風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度[25, 26, 35, 36].

此時(shí),VG過程的跳躍幅度xt可表示成兩個(gè)Gamma過程之差

xt=Γt(C,M)-Γt(C,G)

(4)

其中M和G分別控制正向跳躍測(cè)度和負(fù)向跳躍測(cè)度,而VG過程的均值和方差為

(5)

這里假設(shè)隨機(jī)跳躍服從無(wú)窮跳躍的VG過程,使得模型能夠同時(shí)捕獲大幅度跳躍和高頻率的無(wú)窮小跳躍.進(jìn)一步令跳躍的活動(dòng)率具有時(shí)變特征,便于在跳-擴(kuò)散框架下系統(tǒng)地分析跳躍的集聚效應(yīng)、自激發(fā)行為以及與波動(dòng)之間的相互傳導(dǎo)機(jī)制.

1.2 量變與質(zhì)變關(guān)系的測(cè)度

依據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)和變量的離散特征,用zt表示單位時(shí)間內(nèi)的擴(kuò)散dWt,代表連續(xù)擴(kuò)散的隨機(jī)沖擊.xt表示標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)跳躍因子,繼續(xù)采用ht代表單位時(shí)間內(nèi)的已實(shí)現(xiàn)跳躍到達(dá)率,那么對(duì)數(shù)收益率可以表示為[26]

htxt+σtzt

(6)

這里zt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,xt和zt相互獨(dú)立,φx(u)=ln E[eux]為隨機(jī)跳躍因子的矩母指數(shù),用以對(duì)跳躍項(xiàng)進(jìn)行凸度修正,使該隨機(jī)過程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)指數(shù)鞅.在此設(shè)定下,股票收益率的隨機(jī)變化來(lái)源于連續(xù)擴(kuò)散和隨機(jī)跳躍兩個(gè)因子,且將產(chǎn)生兩組風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)[32](1)連續(xù)波動(dòng)與隨機(jī)跳躍兩類因子的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)形式與相關(guān)證明備索..

為探究連續(xù)波動(dòng)量變與隨機(jī)跳躍質(zhì)變的相互轉(zhuǎn)化規(guī)律,精準(zhǔn)測(cè)度其作用程度,本文采用朱福敏等[26]提出的跳-擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型(CFJDEC),來(lái)全面刻畫隨機(jī)跳躍與連續(xù)波動(dòng)兩類風(fēng)險(xiǎn)之間的動(dòng)態(tài)演化特征與交叉影響機(jī)制,具體形式如下

(7)

Vt+1=U+βVt+AΥ(Vt,Xt)

(8)

這里Vt代表收益率的總方差,它由擴(kuò)散方差和跳躍二次變差組成.U為常數(shù)向量,矩陣A反映各項(xiàng)元素的短期回饋效應(yīng),向量Υ(Vt,Xt)捕獲了回饋效應(yīng)的非對(duì)稱性,矩陣B量化跳躍和波動(dòng)的長(zhǎng)期持續(xù)性水平,此時(shí)矩陣A,矩陣B分別表示為如下形式

(9)

在滿足Vt+1無(wú)條件期望的有界性基礎(chǔ)上,回饋矩陣A及持續(xù)性矩陣B滿足[26]

(10)

Ball=B11+B22-B11B22+B12B21

0<1-B11≤1,1<1-B22≤1

0<1-Ball≤1

(11)

本文采用的動(dòng)態(tài)跳擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型具有非常廣泛的適用性和顯著的優(yōu)越性.一方面,該框架嵌套了很多備受關(guān)注的跳躍自激發(fā)結(jié)構(gòu),包括跳擴(kuò)散獨(dú)立動(dòng)態(tài)演化的半鞅隨機(jī)過程[11],跳擴(kuò)散單向回饋的模型[21],以及各種帶跳躍的廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型[20, 24];另一方面,將跳躍到達(dá)率和擴(kuò)散波動(dòng)率設(shè)定為條件狀態(tài)變量,降低了模型的復(fù)雜性,可借助其條件特征函數(shù)進(jìn)行參數(shù)的廣義矩估計(jì).該框架依據(jù)參數(shù)約束跳躍的不同,包含下列四種情形(具體可參見圖1):1)β12,β21,α12,α21=0,這種情形下認(rèn)為隨機(jī)跳躍和連續(xù)波動(dòng)兩者是獨(dú)立演變、彼此無(wú)關(guān)的(僅包含①和②的影響),即Non-feedback(無(wú)回饋,NFJDEC)[11, 22];2)β12,β21,α12=0,僅考慮跳躍集聚、波動(dòng)群聚(①、②)和跳躍對(duì)波動(dòng)率的單向回饋(③),這種情況下波動(dòng)率累積不會(huì)反過來(lái)對(duì)跳躍產(chǎn)生相關(guān)影響,即Half-feedback (半回饋,HFJDEC)[21];3)β12,β21=0,該模型允許跳躍和波動(dòng)率之間存在短期雙向回饋(①、②、③、④),但沒有考慮兩種變化之間的長(zhǎng)期影響關(guān)系,即無(wú)交叉記憶,可稱為Inter-feedback (互回饋,IFJDEC)[20];4)βij,αij≠0,該模型全面系統(tǒng)地考慮了兩種風(fēng)險(xiǎn)之間的協(xié)同演變,表明跳躍和波動(dòng)之間存在交叉回饋和持續(xù)性的相互影響(①、②、③、④、⑤、⑥),可稱為Cross-feedback (交叉回饋,CFJDEC)[25, 26];后兩者都能體現(xiàn)波動(dòng)率量變引起跳躍質(zhì)變的規(guī)律(④、⑥).下文將介紹針對(duì)動(dòng)態(tài)跳-擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型的參數(shù)估計(jì)方法.

2 模型估計(jì)

本文所引入的交互回饋模型屬于非線性、非高斯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu),且同時(shí)包含多個(gè)不可觀測(cè)的潛在狀態(tài)變量(兩個(gè)條件狀態(tài)變量和兩個(gè)隨機(jī)狀態(tài)變量),暫時(shí)沒有封閉的、顯式的密度函數(shù),因此采用基于密度函數(shù)的極大似然方法(MLE)求解難度較大.目前,針對(duì)此類跳擴(kuò)散雙因子模型可用的估計(jì)方法主要有四種:基于特征函數(shù)的傅里葉變換[24, 33]、基于粒子濾波的極大似然估計(jì)[9, 14]、基于序貫貝葉斯的參數(shù)學(xué)習(xí)方法[21, 26],以及基于高階矩條件的廣義矩估計(jì)[11, 29, 37].特征函數(shù)的傅里葉變換方法要求模型具有指數(shù)型仿射結(jié)構(gòu)和封閉的特征函數(shù),這嚴(yán)格限制了模型設(shè)定的靈活性,不適用于本文采用的雙因子動(dòng)態(tài)交互模型.序貫貝葉斯學(xué)習(xí)方法(SBL)可以同時(shí)聯(lián)合估計(jì)參數(shù)和多個(gè)潛在狀態(tài)變量,對(duì)此類動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)具有超高的估計(jì)精度[21, 25, 26],然而面對(duì)國(guó)際市場(chǎng)具有多指數(shù)、大樣本的情形,序貫貝葉斯學(xué)習(xí)又相對(duì)較為耗時(shí).為了進(jìn)一步探索更加高效、便捷的模型估計(jì)方法,本文提出了基于廣義矩估計(jì)的粒子濾波技術(shù)(GMM-PF),并通過模擬仿真從精度與效率兩個(gè)維度論證這一方法的優(yōu)越性.GMM-PF方法可對(duì)參數(shù)和狀態(tài)進(jìn)行分步估計(jì),兼顧精度和效率,適用于國(guó)際股市的多指數(shù)和大樣本情形.這一方面為非線性、非高斯動(dòng)態(tài)模型的估計(jì)提供了較好的解決方案;另一方面也有利于開展穩(wěn)健性分析,從多方面證實(shí)本文結(jié)論的可靠性.綜合而言,GMM-PF方法能較好地捕獲跳擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型中跳躍和波動(dòng)率動(dòng)態(tài),可更直觀地實(shí)現(xiàn)參數(shù)的識(shí)別.下面分別介紹廣義矩估計(jì)方法、粒子濾波技術(shù)和模擬仿真結(jié)果.

2.1 交叉回饋模型廣義矩估計(jì)

首先,本文依據(jù)VG過程的矩母函數(shù)推導(dǎo)并給出動(dòng)態(tài)模型的高階矩條件,再引入廣義矩估計(jì)方法(GMM)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行初步估計(jì),在此基礎(chǔ)上,結(jié)合粒子濾波技術(shù)(PF)實(shí)現(xiàn)波動(dòng)與跳躍等狀態(tài)變量的估計(jì).

2.1.1 交叉回饋模型的高階矩條件

廣義矩估計(jì)(GMM)的核心步驟是構(gòu)造包含參數(shù)的矩條件和計(jì)算權(quán)重矩陣,使得目標(biāo)函數(shù)最小化.為了構(gòu)造矩條件,在對(duì)收益率(對(duì)數(shù))取條件矩的基礎(chǔ)上,利用重期望公式得到無(wú)條件矩函數(shù).其中,跳躍幅度xt的高階矩由VG過程的特征函數(shù)來(lái)計(jì)算,關(guān)于所構(gòu)造的各階矩條件如下(2)具體推導(dǎo)過程備索..

一階條件矩

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

二階條件矩

(16)

三階條件矩

(17)

依據(jù)條件期望,可得

(18)

(19)

四階條件矩

(20)

其中

(21)

(22)

(23)

協(xié)方差

E[yt|yt-1-E(yt|yt-1)][yt-1|yt-2-E(yt-1|yt-2)]=0

(24)

(25)

2.1.2 交叉回饋模型的參數(shù)估計(jì)

下面,簡(jiǎn)要介紹跳-擴(kuò)散模型的GMM參數(shù)估計(jì)的思路,設(shè)?為模型的K維參數(shù)向量,這里K=17,且?∈Θ,其中Θ表示參數(shù)向量的可行域.考慮P維的矩條件向量h(y,?),這里假設(shè)h(y,?)在參數(shù)向量?處連續(xù)可微.GMM算法的一個(gè)重要假設(shè)是正交條件,即若?*為真實(shí)的解,一定滿足E[h(y,?*)]=0,這是使GMM估計(jì)量保持一致性的關(guān)鍵.

(26)

其中OT是P×P的正定權(quán)重矩陣,當(dāng)P=dim(?)時(shí),可選擇任意的權(quán)重矩陣,包括單位矩陣.當(dāng)P>dim(?)時(shí),參考A?t-Sahalia等[11],Nyawa[37],Hansen[38],權(quán)重矩陣可設(shè)置為矩條件向量的漸進(jìn)協(xié)方差矩陣的逆,即O=S-1,其中S=E[h(yt,?)h(yt,?)T],并采用同時(shí)考慮了異方差和序列相關(guān)性的Newey-West[39]方法對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)(3)詳細(xì)推導(dǎo)過程備索..

2.2 狀態(tài)變量的粒子濾波估計(jì)

人們無(wú)法從市場(chǎng)中直接觀測(cè)隨機(jī)跳躍大小與連續(xù)擴(kuò)散數(shù)值,為了能夠更直觀地分析并展示波動(dòng)率量變與跳躍質(zhì)變的交互演變規(guī)律,并量化跳躍和波動(dòng)率的持續(xù)性水平和交叉回饋程度,需要對(duì)潛在的狀態(tài)變量進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)(包括跳躍和擴(kuò)散幅度,以及時(shí)變的跳躍到達(dá)率和連續(xù)波動(dòng)率),前文已經(jīng)給出參數(shù)的GMM估計(jì)方法,接下來(lái)介紹基于動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)的粒子濾波技術(shù),對(duì)以上狀態(tài)變量進(jìn)行貝葉斯聯(lián)合估計(jì).

粒子濾波也稱序貫蒙特卡羅(SMC),其核心思想是通過模擬一系列帶權(quán)重的狀態(tài)粒子來(lái)代表隨機(jī)變量的概率分布,這些粒子被投擲到觀測(cè)系統(tǒng)中進(jìn)行迭代升級(jí),再依據(jù)貝葉斯法則逐步地結(jié)合觀測(cè)變量逆推這些狀態(tài)粒子的后驗(yàn)概率.這里,用yt,εt分別表示t時(shí)刻的觀測(cè)變量和狀態(tài)變量,其中εt={ht,σt,xt,zt},令?為狀態(tài)空間模型的參數(shù),這里每個(gè)參數(shù)向量包含17個(gè)元素,再將觀測(cè)變量的序列記為y1:T={y1,…,yT},狀態(tài)變量序列ε0:T={ε0,…,εT}.由于狀態(tài)是不可直接觀測(cè)的,根據(jù)貝葉斯法則,t時(shí)刻狀態(tài)的后驗(yàn)密度有如下正比關(guān)系

p(ε0:t|y1:t;?)∝p(y1:t|ε0:t;?)p(ε0:t;?)

(27)

用ω1:t表示狀態(tài)變量的權(quán)重,依據(jù)馬爾科夫性質(zhì),那么后驗(yàn)密度的計(jì)算可以通過t時(shí)刻的邊際濾波得到

ω1:t∝ω1:t-1·p(yt|εt;?)p(εt|εt-1;?)

(28)

(29)

其似然函數(shù)為

(30)

此時(shí),各期的狀態(tài)估計(jì)值為

(31)

在實(shí)際操作過程中,εt={ht,σt,xt,zt}可以分解為{ht,σt},{xt,zt}兩部分,{ht,σt}是條件狀態(tài),在t時(shí)刻和{xt,zt}相互獨(dú)立,因此可以把后驗(yàn)概率分解為

(32)

此時(shí),zt服從正態(tài)分布,這給聯(lián)合概率的計(jì)算帶來(lái)了極大便利.在參數(shù)?給定的情況下,借助蒙特卡羅模擬和粒子濾波方法即可計(jì)算狀態(tài)的后驗(yàn)概率,從而聯(lián)合估計(jì)跳躍達(dá)到率、跳躍幅度、波動(dòng)率和擴(kuò)散水平四個(gè)潛在的不可觀測(cè)的狀態(tài)變量.如果沒有給定參數(shù),不少文獻(xiàn)直接使用粒子濾波方法構(gòu)建似然函數(shù)并進(jìn)行極大似然估計(jì)[9, 14, 24],使得參數(shù)滿足

(33)

(34)

這種方法為了搜索得到最大似然值,會(huì)將權(quán)重盡可能地放在大概率的隨機(jī)抽取的樣本上,而忽視處于小概率但具有重要影響的隨機(jī)跳躍,這一結(jié)果導(dǎo)致高階矩的相關(guān)參數(shù)在模型中的作用微乎其微.為此,序貫貝葉斯參數(shù)學(xué)習(xí)可以修正這一不足,該方法通過設(shè)定預(yù)設(shè)分布和先驗(yàn)概率的方法,對(duì)參數(shù)和狀態(tài)變量進(jìn)行聯(lián)合后驗(yàn)估計(jì),其核心思想如下式

p(?,ε0:t|y1:T)∝pθ(ε0:t|y1:T,?)p(y1:T|?)p(?)

(35)

這里會(huì)用到兩次粒子濾波技術(shù),一次針對(duì)狀態(tài)變量,一次針對(duì)參數(shù).當(dāng)然,參數(shù)和狀態(tài)變量不同,參數(shù)會(huì)在整個(gè)系統(tǒng)中收斂直至保持不變.為了使得參數(shù)具有穩(wěn)定性和收斂性,可以引入?yún)?shù)學(xué)習(xí)方法進(jìn)行優(yōu)化選擇,關(guān)于參數(shù)的最優(yōu)選擇,可以采用如下的Metropolis-Hastings算法進(jìn)行學(xué)習(xí)

(36)

這里q(·)表示參數(shù)抽樣更新的預(yù)設(shè)概率.這種方法直接把狀態(tài)和參數(shù)的不確定性統(tǒng)一考慮進(jìn)來(lái),從而實(shí)現(xiàn)模型的聯(lián)合估計(jì).在僅給定觀測(cè)變量的情形下,該方法依據(jù)貝葉斯法則估計(jì)狀態(tài)和參數(shù)的聯(lián)合概率,再依據(jù)MCMC的算法規(guī)則進(jìn)行參數(shù)的升級(jí)優(yōu)化[21, 25, 26].下文將對(duì)以上三種方法進(jìn)行模擬仿真,借助計(jì)算機(jī)模擬來(lái)比較分析以上方法在估計(jì)動(dòng)態(tài)跳擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型上的表現(xiàn).

2.3 交叉回饋模型的模擬仿真

為了證明本文所提出的廣義矩估計(jì)的粒子濾波方法(GMM-PF)的優(yōu)越性,本節(jié)展示并比較分析以上所述三種估計(jì)方法的模擬仿真效果,即粒子濾波的極大似然估計(jì)(MLE-PF)、粒子濾波的廣義矩估計(jì)(GMM-PF)以及序貫貝葉斯學(xué)習(xí)方法(SBL).這里首先給定模型中的各個(gè)初始參數(shù)和初始變量,再對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行路徑模擬,其中每條路徑包含100至1 000個(gè)不同觀測(cè)變量,作為每條路徑的樣本容量,每次隨機(jī)模擬生成100條路徑之后,隨機(jī)抽取其中50條序列作為測(cè)試對(duì)象,這些參數(shù)都是從各個(gè)股票指數(shù)中進(jìn)行估計(jì)得到的,使得模型設(shè)定和參數(shù)取值都有較好的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上,本文繪制了采用三種方法進(jìn)行模型估計(jì)所耗費(fèi)的時(shí)間圖以及各種方法參數(shù)估計(jì)的盒狀圖(4)計(jì)算機(jī)性能:Dell, Latitute 14, Inter 10, 6核12線程,內(nèi)存8G.,具體參見圖2和圖3.

圖2 MLE-PF, GMM-PF, SBL等方法模型估計(jì)的時(shí)間損耗Fig.2 Time costs of MLE-PF, GMM-PF, SBL estimation

圖3 MLE-PF, GMM-PF, SBL參數(shù)估計(jì)的模擬仿真盒狀圖Fig.3 Simulation studies for MLE-PF, GMM-PF, SBL estimation

結(jié)合圖2和圖3,可以看出,三類方法在估計(jì)精度與估計(jì)效率上各有特點(diǎn),具體分析如下.

1)序貫貝葉斯學(xué)習(xí)(SBL):從圖3參數(shù)估計(jì)的box分布圖來(lái)看,序貫貝葉斯學(xué)習(xí)(SBL)方法擁有最高的估計(jì)精度,能同時(shí)有效估計(jì)跳躍成分和擴(kuò)散成分的相關(guān)參數(shù),但根據(jù)圖2來(lái)看,SBL對(duì)樣本容量大小較為敏感,樣本容量增大到一定規(guī)模后,估計(jì)效率急速下滑,所耗時(shí)間為其他兩類方法的10倍左右,不適用于大樣本、多市場(chǎng)情形下的參數(shù)估計(jì).

2)廣義矩估計(jì)+粒子濾波(GMM-PF):廣義矩估計(jì)(GMM)的估計(jì)精度雖然略遜于SBL,但顯著優(yōu)于MLE,仍然具有良好的估計(jì)能力,該方法通過高階矩能較精準(zhǔn)地捕捉跳躍成分,且通過圖2可清晰看出,GMM-PF方法估計(jì)效率較高,每單位樣本的耗時(shí)不到SBL方法的1/10.

3)極大似然估計(jì)+粒子濾波(MLE-PF): MLE-PF估計(jì)效率與GMM-PF相近,但估計(jì)精度為三類方法中最低,估計(jì)的取值較為分散,該方法為實(shí)現(xiàn)局部最優(yōu),忽略了高階矩的相應(yīng)參數(shù),而高階矩是反映資產(chǎn)價(jià)格跳躍過程的關(guān)鍵,因此該方法難以估計(jì)重要的跳躍成分.

綜合而言,三種方法中,基于粒子濾波的GMM估計(jì)效率高、精度好,能實(shí)現(xiàn)估計(jì)精度與效率的聯(lián)合最優(yōu),非常適用于這種多指數(shù)、大樣本、帶跳躍的國(guó)際市場(chǎng)研究.

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

為了在國(guó)際股票市場(chǎng)背景下進(jìn)行實(shí)證研究,考察跳躍和擴(kuò)散之間的互動(dòng)規(guī)律,為量變與質(zhì)變的關(guān)系提供更加全面、系統(tǒng)和廣泛的證據(jù),本文選取具有代表性的國(guó)際股票市場(chǎng)指數(shù),包括英國(guó)富時(shí)100指數(shù)(FTSE)、美國(guó)標(biāo)普500指數(shù)(SPX)、中國(guó)香港恒生指數(shù)(HSI)、韓國(guó)綜合股價(jià)指數(shù)(KS11)、新加坡海峽時(shí)報(bào)指數(shù)(STI)、德國(guó)DAX指數(shù)(DAX)、日本日經(jīng)指數(shù)(N225)、巴西圣保羅指數(shù)(BVSP)、中國(guó)大陸滬深300指數(shù)(CSI),以及俄羅斯指數(shù)(RTSI)、印度孟買敏感指數(shù)(SENSEX),來(lái)分析各個(gè)市場(chǎng)中的跳躍行為特征,討論連續(xù)波動(dòng)量變與隨機(jī)跳躍質(zhì)變之間的相互傳導(dǎo)關(guān)系、交叉回饋效應(yīng)和長(zhǎng)期影響.樣本包含發(fā)達(dá)國(guó)家和發(fā)展中國(guó)家,也包括成熟的股票市場(chǎng)和新興經(jīng)濟(jì)體的股票市場(chǎng),具有較好的代表性.股票指數(shù)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率數(shù)據(jù)來(lái)源于CSMAR數(shù)據(jù)庫(kù)和Wind數(shù)據(jù)庫(kù).

廣義矩估計(jì)方法在大樣本情況下參數(shù)估計(jì)效果較好,因此為保證廣義矩估計(jì)結(jié)果的一致性和有效性,本文選取樣本區(qū)間為2007年4月3日至2019年12月31日的國(guó)際股票市場(chǎng)指數(shù)數(shù)據(jù),共2 900余個(gè)日度數(shù)據(jù),樣本涵蓋了整個(gè)金融危機(jī)、歐債危機(jī)、中國(guó)股災(zāi)、英國(guó)脫歐等事件發(fā)生到結(jié)束的時(shí)間.下文通過對(duì)國(guó)際股票市場(chǎng)指數(shù)跳擴(kuò)散成分進(jìn)行精準(zhǔn)分解,測(cè)度各個(gè)市場(chǎng)的量變質(zhì)變關(guān)系,分析相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)的持續(xù)性水平及交叉反饋程度,并對(duì)各個(gè)市場(chǎng)的跳躍風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移、消化水平進(jìn)行國(guó)際間的橫向動(dòng)態(tài)比較,最后探討這些結(jié)論對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)發(fā)展的相關(guān)啟示.

關(guān)于國(guó)際市場(chǎng)各個(gè)指數(shù)的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果參見表1,相關(guān)描述變量包括指數(shù)對(duì)數(shù)收益率、基于粒子濾波方法估計(jì)的隨機(jī)跳躍到達(dá)率以及連續(xù)波動(dòng)率(5)本文在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上都模擬了4 000個(gè)等權(quán)重的狀態(tài)粒子,然后將這些粒子投擲在觀測(cè)系統(tǒng)中循環(huán)迭代,再通過序貫貝葉斯法則進(jìn)行權(quán)重更新,得到后驗(yàn)概率之后進(jìn)一步計(jì)算狀態(tài)變量的估計(jì)值.,描述性統(tǒng)計(jì)量包括均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最大值最小值、偏度和峰度.根據(jù)表1,樣本期間大多指數(shù)的平均對(duì)數(shù)收益率都為正數(shù),其中印度孟買敏感指數(shù)的平均收益率最高.同時(shí),根據(jù)偏度和峰度可看出,大多數(shù)指數(shù)都具有“左偏、尖峰厚尾”的特征.從隨機(jī)跳躍到達(dá)率和連續(xù)波動(dòng)率來(lái)看,除中國(guó)大陸、俄羅斯和印度外,其他各市場(chǎng)跳躍成分的峰度顯著大于連續(xù)波動(dòng)率的峰度,隨機(jī)跳躍和連續(xù)波動(dòng)兩者呈現(xiàn)不同的分布特征,由此可見,將跳躍與擴(kuò)散從收益率序列中分離出來(lái)進(jìn)行區(qū)別分析是十分必要的.

表1 描述性統(tǒng)計(jì)分析Table 1 The descriptive statistics

3.2 實(shí)證分析

根據(jù)蒙特卡羅模擬仿真結(jié)果,這里選用基于廣義矩估計(jì)的粒子濾波方法對(duì)國(guó)際市場(chǎng)相應(yīng)股票指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行模型估計(jì)(6)相比而言,半回饋模型(HF)和互回饋模型(IF)是交叉回饋模型(CF)的特殊嵌套形式,限于篇幅原因,正文僅展示交叉回饋模型的結(jié)果.其他嵌套模型的檢驗(yàn)列于補(bǔ)充附錄中,可向作者索要,研究結(jié)論保持一致.,參數(shù)詳細(xì)結(jié)果參見表2.表中列出了各個(gè)指數(shù)的參數(shù)估計(jì)值和相應(yīng)的p值,其中,γJ和γD分別反映跳躍和擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)的杠桿效應(yīng)水平.可以看出,各個(gè)市場(chǎng)的交叉回饋系數(shù)αij,i,j=1,2.相互回歸系數(shù)βij,i,j=1,2.雖然大小各不相同,但總體上都較為顯著,意味著國(guó)際股票市場(chǎng)不僅普遍存在跳躍與波動(dòng)的自我集聚,也同樣存在跳擴(kuò)散交叉回饋和相互傳導(dǎo)特征,即存在連續(xù)波動(dòng)量變與隨機(jī)跳躍質(zhì)變的相互轉(zhuǎn)化規(guī)律.基于上述結(jié)果,可進(jìn)一步計(jì)算各個(gè)市場(chǎng)的跳擴(kuò)散交叉回饋矩陣A和相互持續(xù)性影響矩陣B的具體數(shù)值,從而對(duì)各市場(chǎng)跳躍和波動(dòng)率之間的短期影響和長(zhǎng)期相互轉(zhuǎn)化程度進(jìn)行精準(zhǔn)量化分析.如果參數(shù)αij,βij,i,j=1,2.都是顯著而準(zhǔn)確的,那么由此計(jì)算出來(lái)的矩陣A,矩陣B也具有較好的可靠性,具體結(jié)果可參見表3和圖4,下面進(jìn)行分點(diǎn)論述.

表2 交叉回饋模型的參數(shù)估計(jì)Table 2 The parameter estimates of CFJDEC model

表3 跳擴(kuò)散交叉回饋和持續(xù)性影響水平Table 3 The cross-feedback effects and persistence of jumps and diffusion

圖4 回饋矩陣、記憶矩陣與跳躍方差占比Fig.4 Feedback matrices, persistence matrices and proportion of jumps in total variance of different markets

1)波動(dòng)率量變引發(fā)跳躍的質(zhì)變(能力).總體上,根據(jù)表2,參數(shù)α11,α22,β11,β22,γJ,γD顯著不為0,表明國(guó)際股票市場(chǎng)普遍都存在跳躍自激發(fā)、波動(dòng)率集聚現(xiàn)象,同時(shí)各市場(chǎng)的跳躍行為與波動(dòng)率都具有顯著的杠桿性,負(fù)跳行為將導(dǎo)致較大的波動(dòng)率變化.此外,β12,β21分別刻畫波動(dòng)率對(duì)跳躍到達(dá)率和跳躍到達(dá)率對(duì)波動(dòng)率的回歸關(guān)系.根據(jù)表2,各個(gè)市場(chǎng)β12與β21顯著不為0,表明跳躍到達(dá)率與擴(kuò)散波動(dòng)率之間不僅存在自身持續(xù)性影響,同時(shí)存在顯著的交互轉(zhuǎn)化關(guān)系,一方面當(dāng)期跳躍行為的發(fā)生將提高下期波動(dòng)率,即質(zhì)變向量變滲透(β21),另一方面波動(dòng)率的連續(xù)累積變化也將觸發(fā)隨機(jī)跳躍,提高下一期跳躍發(fā)生的概率,進(jìn)而推動(dòng)市場(chǎng)總的跳躍壓力上升,即量變引起質(zhì)變(β12),這一規(guī)律在國(guó)際市場(chǎng)十分普遍.α12,α21分別刻畫擴(kuò)散行為對(duì)跳躍到達(dá)率和跳躍沖擊對(duì)擴(kuò)散波動(dòng)率的交叉回饋影響.各個(gè)市場(chǎng)的α12都顯著不為0,表明連續(xù)擴(kuò)散對(duì)跳躍到達(dá)率預(yù)期可產(chǎn)生短期沖擊,波動(dòng)率的量變可引發(fā)跳躍的質(zhì)變,同時(shí),對(duì)大部分發(fā)達(dá)市場(chǎng)而言,一次跳躍的發(fā)生也可轉(zhuǎn)化為持續(xù)的波動(dòng)率來(lái)緩解市場(chǎng)后續(xù)震蕩.

2)跳擴(kuò)散的傳導(dǎo)程度、交叉回饋大小和持續(xù)性水平(相互轉(zhuǎn)化程度).在上述基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步量化波動(dòng)與跳躍短期與長(zhǎng)期的轉(zhuǎn)化程度.跳擴(kuò)散之間的交叉回饋程度(短期)主要由矩陣A反映(表3).大多數(shù)市場(chǎng)中,擴(kuò)散沖擊對(duì)波動(dòng)率的回饋程度A22高于隨機(jī)跳躍對(duì)跳躍到達(dá)率A11的影響,說明相較于跳躍行為,這些市場(chǎng)的擴(kuò)散沖擊對(duì)市場(chǎng)跌宕的后續(xù)影響更大,而中國(guó)大陸、印度等股市中,跳躍自激發(fā)程度更強(qiáng).另外,結(jié)合圖4,可以看出,擴(kuò)散沖擊對(duì)跳躍到達(dá)率的回饋程度A12普遍高于跳躍沖擊對(duì)波動(dòng)率的平均回饋程度A21,說明量變引起質(zhì)變的短期程度比質(zhì)變轉(zhuǎn)化為量變的程度更高,當(dāng)股市發(fā)生持續(xù)的波動(dòng)時(shí),極大可能可引發(fā)市場(chǎng)跳躍,即累積的波動(dòng)達(dá)到一定限度將轉(zhuǎn)化成為一次性的跳躍來(lái)化解市場(chǎng)后續(xù)波動(dòng)壓力.

矩陣B測(cè)度了跳擴(kuò)散長(zhǎng)期相互影響的持續(xù)性水平,表3中的B11,B22數(shù)值較大,說明股票市場(chǎng)的跳躍自激發(fā)與擴(kuò)散集聚具有較高的持續(xù)性.而跳擴(kuò)散間的交互持續(xù)性影響差別體現(xiàn)在B12,B21上,根據(jù)圖4,可以看出,俄羅斯和印度市場(chǎng)上的B21顯著低于其他九個(gè)市場(chǎng),其中英國(guó)、美國(guó)、中國(guó)香港市場(chǎng)、新加坡、韓國(guó)等市場(chǎng)的B21較高,均超過0.1.這說明大部分發(fā)達(dá)市場(chǎng)的跳躍質(zhì)變對(duì)波動(dòng)率量變的長(zhǎng)期影響更為顯著,轉(zhuǎn)化能力更強(qiáng),相比而言,大陸、日本、俄羅斯和印度市場(chǎng)在消化突變性的市場(chǎng)震蕩方面能力較弱.對(duì)大陸、俄羅斯和印度等新興市場(chǎng)而言,一方面,這可能是由于股市中散戶投資者占比較高,專業(yè)機(jī)構(gòu)和外資占比偏低[40],股票價(jià)格受到投資者情緒的影響較大,而跳躍風(fēng)險(xiǎn)又往往與投資者情緒相關(guān)聯(lián)[41],跳躍頻發(fā),風(fēng)險(xiǎn)持續(xù)性較強(qiáng),轉(zhuǎn)移難度較大,最終使得市場(chǎng)總波動(dòng)維持在較高水平.另一方面可能是這些市場(chǎng)的監(jiān)管機(jī)制和交易規(guī)則也與成熟經(jīng)濟(jì)體存在一定差距[42],導(dǎo)致大幅震蕩的風(fēng)險(xiǎn)消化能力較弱.此外,金融市場(chǎng)的完善程度與對(duì)經(jīng)濟(jì)政策不確定性的高敏感度[43]也是影響新興市場(chǎng)能否有效緩解突發(fā)性沖擊的重要因素.新興金融市場(chǎng)一般規(guī)模較小、金融市場(chǎng)結(jié)構(gòu)較為單一,在防御和緩解突發(fā)性沖擊等方面能力十分有限,且一旦經(jīng)濟(jì)政策存在較大不確定性,風(fēng)險(xiǎn)集聚程度將迅速升高,引發(fā)股市異常劇烈的波動(dòng),進(jìn)一步增大風(fēng)險(xiǎn)化解壓力.上述分析表明跳躍轉(zhuǎn)化成波動(dòng)的程度在國(guó)際市場(chǎng)中存在差異,與之不一致的是,不管是成熟經(jīng)濟(jì)體,還是新興市場(chǎng),B12數(shù)值普遍較高,且顯著大于B21,這表明了波動(dòng)率量變引起跳躍質(zhì)變的規(guī)律在國(guó)際市場(chǎng)上廣泛存在,且持續(xù)性更強(qiáng),而質(zhì)變向量變滲透的這一特征并沒有在所有市場(chǎng)中體現(xiàn)出來(lái).最后,各個(gè)市場(chǎng)的總體風(fēng)險(xiǎn)都維持在較高水平.

3)跳擴(kuò)散的方差相對(duì)占比.根據(jù)表4,大多數(shù)指數(shù)的跳躍均值(μJ)都明顯小于0,說明負(fù)跳在已發(fā)生的跳躍行為中占據(jù)主導(dǎo)地位,也表明股市中資產(chǎn)價(jià)格的下跌沖擊更頻繁.與此同時(shí),從圖4中可以清晰看到,俄羅斯股市的跳躍在總方差中占比(VJ%)遠(yuǎn)高于其他幾個(gè)市場(chǎng),接近100%(漸進(jìn)純跳躍過程),印度市場(chǎng)超過90%,中國(guó)大陸股市跳躍的標(biāo)準(zhǔn)差(σJ)最低(0.19左右),但是跳躍占總方差的比例已超過總方差的60%,排列第三,這說明我國(guó)股市雖然存在漲跌幅限制,但其震蕩程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他股市,尤其是歐美等發(fā)達(dá)國(guó)家股市.此外,各國(guó)股市起伏跌宕,跳躍行為在市場(chǎng)中變得越來(lái)越常見,跳躍風(fēng)險(xiǎn)對(duì)市場(chǎng)的影響將越來(lái)越顯著,不論是投機(jī)、套利還是風(fēng)險(xiǎn)管理,都應(yīng)當(dāng)重視這一趨勢(shì).

表4 跳躍擴(kuò)散占比與跳躍成分估Table 4 The percentages of jumps and diffusion in variance and parameter estimates of jump components

3.3 事件分析

為了進(jìn)一步研究各個(gè)市場(chǎng)的跳擴(kuò)散動(dòng)態(tài)演化和量變質(zhì)變規(guī)律,在上述基礎(chǔ)上,本文借助粒子濾波方法對(duì)交叉回饋模型的潛在狀態(tài)變量進(jìn)行聯(lián)合估計(jì),包括跳躍幅度、跳躍到達(dá)率和連續(xù)波動(dòng)率(7)關(guān)于部分狀態(tài)變量的描述性統(tǒng)計(jì)分析可參考表1..各個(gè)市場(chǎng)跳躍成分的狀態(tài)變量的時(shí)間序列估計(jì)值具體可參見圖5,該圖可以清晰地展示不同市場(chǎng)跳躍行為的差異.從圖5可以看出,在樣本觀測(cè)期內(nèi),國(guó)際市場(chǎng)上明顯存在若干次跳躍集聚階段,雖各個(gè)市場(chǎng)的跳躍聚集程度有所不同,但集聚的時(shí)期具有較高的重合度,主要集中在2008年次貸危機(jī),2010年歐債危機(jī),2015年中國(guó)股災(zāi),2016年的英國(guó)脫歐以及2018年開始的中美貿(mào)易戰(zhàn)等.為了便于比較各個(gè)市場(chǎng)的跳躍水平,將各個(gè)圖的縱坐標(biāo)刻度進(jìn)行了統(tǒng)一,由圖可以看出,中國(guó)大陸、日本、巴西、俄羅斯和印度等市場(chǎng)指數(shù)跳躍幅度的極差相對(duì)較大,而歐美發(fā)達(dá)市場(chǎng)的跳躍幅度較為平緩.

此外,為了更直觀地展示波動(dòng)率的量變引發(fā)跳躍質(zhì)變的現(xiàn)象,挑選了部分具有特色的市場(chǎng)指數(shù),繪制了特定窗口跳擴(kuò)散的動(dòng)態(tài)變化時(shí)間序列圖(圖6).該圖反映了市場(chǎng)跳躍隨波動(dòng)率的連續(xù)變動(dòng)而發(fā)生的不同程度的動(dòng)態(tài)變化過程,其中右縱坐標(biāo)為跳躍幅度的絕對(duì)值,基于圖6,市場(chǎng)的跳擴(kuò)散時(shí)間序列是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化過程,跳躍和擴(kuò)散交互協(xié)同演進(jìn),連續(xù)擴(kuò)散的累積會(huì)提高下一期的跳躍到達(dá)率,提高突發(fā)性沖擊發(fā)生的概率.

圖6 跳擴(kuò)散的動(dòng)態(tài)變化時(shí)間序列圖Fig.6 The time series of the changes for jump diffusion dynamics

為了探究上述現(xiàn)象與成因(圖5和圖6),本文針對(duì)以上時(shí)間序列,選取三個(gè)代表性的窗口進(jìn)行事件分析.

1)金融危機(jī).受2007年次貸危機(jī)的影響,美國(guó)金融風(fēng)險(xiǎn)蔓延至全球,導(dǎo)致股票市場(chǎng)跳躍頻發(fā),初始的跳躍沖擊釋放較強(qiáng)的自激發(fā)性,持續(xù)向市場(chǎng)后續(xù)輸出震蕩,形成跳躍群聚.從圖5可明顯看出在這段時(shí)間內(nèi),中國(guó)大陸、中國(guó)香港、英國(guó)、日本、德國(guó)、韓國(guó)、俄羅斯、印度和巴西市場(chǎng)跳躍都出現(xiàn)明顯的集聚特征.異常集聚的跳躍不僅改變下一期的連續(xù)波動(dòng),波動(dòng)率的累積也會(huì)進(jìn)一步提高未來(lái)的跳躍到達(dá)率,即量變引起了質(zhì)變,這一特征在美國(guó)市場(chǎng)較為突出.同時(shí)結(jié)合圖6,可以看出,2008年下半年,隨著金融危機(jī)的進(jìn)一步加劇,美國(guó)市場(chǎng)波動(dòng)率顯著上升,當(dāng)7 000億救市計(jì)劃消息沖擊股票市場(chǎng)時(shí),連續(xù)波動(dòng)迅速向跳躍轉(zhuǎn)移,最終導(dǎo)致跳躍風(fēng)險(xiǎn)維持在較高水平.

2)中國(guó)股災(zāi).2015年6月—2015年7月,杠桿資金的急速撤離引發(fā)了中國(guó)A股市場(chǎng)的急速下跌,隨后一系列政策的接連出臺(tái)也使得A股市場(chǎng)接連發(fā)生幾次大規(guī)模跌停事件,一方面查處場(chǎng)外違規(guī)配資導(dǎo)致違規(guī)杠桿資金急速撤離這一事件造成市場(chǎng)大幅震蕩;另一方面初始的跳躍類似“地震”的發(fā)生,給市場(chǎng)后續(xù)走勢(shì)帶來(lái)持續(xù)性影響,導(dǎo)致“余震”不斷,最終出現(xiàn)“千股跌停,千股停牌”的現(xiàn)象.結(jié)合圖5和圖6,可以清晰地看到,這段時(shí)間內(nèi),波動(dòng)迅速轉(zhuǎn)化成跳躍,滬深300指數(shù)頻繁下跳,跳躍集聚程度異常高,且持續(xù)時(shí)間長(zhǎng),這充分說明了大陸市場(chǎng)對(duì)于跳躍風(fēng)險(xiǎn)的消化能力較弱,無(wú)法將隨機(jī)跳躍轉(zhuǎn)化為連續(xù)擴(kuò)散來(lái)消化大幅震蕩.

3)英國(guó)脫歐.2016年6月,英國(guó)全民公投決定“脫歐”,非預(yù)期信息給全球股市帶來(lái)較為劇烈的突發(fā)性沖擊,基于圖6可以看出,事件發(fā)生時(shí),英國(guó)市場(chǎng)波動(dòng)率快速提高,同時(shí)波動(dòng)沖擊的連續(xù)累積迅速引發(fā)跳躍的攀升,在事件影響減弱時(shí),連續(xù)波動(dòng)的回落也進(jìn)一步降低跳躍到達(dá)率,再一次驗(yàn)證了“波動(dòng)率的連續(xù)累積可觸發(fā)跳躍”這一結(jié)論.

綜上所述,各個(gè)股市的跳躍沖擊不僅會(huì)影響市場(chǎng)后續(xù)波動(dòng),多個(gè)市場(chǎng),多個(gè)事件的典型事實(shí)表明,波動(dòng)率累積到一定程度也會(huì)觸發(fā)跳躍,提升市場(chǎng)的跳躍到達(dá)率,這一特征在危機(jī)時(shí)期更加顯著.此外,整個(gè)樣本期間內(nèi),中國(guó)大陸發(fā)生市場(chǎng)震蕩的現(xiàn)象相對(duì)于其他發(fā)達(dá)市場(chǎng)更加頻繁,跳躍群聚程度遠(yuǎn)高于波動(dòng)率集聚水平,而跳躍風(fēng)險(xiǎn)的消化和轉(zhuǎn)移能力較弱,導(dǎo)致市場(chǎng)突發(fā)性風(fēng)險(xiǎn)集聚程度維持在高水平,對(duì)此,應(yīng)給予高度關(guān)注.

3.4 穩(wěn)健性分析

在前文中已經(jīng)對(duì)跳擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型及其如何捕獲“量變與質(zhì)變轉(zhuǎn)化關(guān)系”進(jìn)行了詳細(xì)介紹與深入實(shí)證分析,得到“波動(dòng)率的累積變化會(huì)引發(fā)跳躍的質(zhì)變”這一結(jié)論,為進(jìn)一步考察本文結(jié)論在樣本大小與估計(jì)方法等方面的穩(wěn)健性,本文主要從以下三個(gè)方面進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)與分析(8)由于篇幅限制,具體實(shí)證結(jié)果備索..

1)子樣本檢驗(yàn):為了考察研究結(jié)論在不同的窗口期內(nèi)是否穩(wěn)健,本文對(duì)各區(qū)間的子樣本進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn).由于GMM和MLE方法對(duì)樣本容量有要求,加上模型參數(shù)較多,這里以2年為一個(gè)樣本區(qū)間進(jìn)行滾動(dòng)估計(jì),樣本容量為500余個(gè),共計(jì)6個(gè)窗口.基于GMM方法得到的所有子樣本的實(shí)證研究顯示,國(guó)際股票市場(chǎng)指數(shù)的主要結(jié)果和大樣本分析結(jié)論是基本一致的,特別是關(guān)于參數(shù)β12,α12,B12,A12等的估計(jì),表明波動(dòng)率的累積變化極有可能觸發(fā)跳躍,再次論證了“量變引起質(zhì)變”這一規(guī)律,結(jié)論具有穩(wěn)健性.

2)矩條件檢驗(yàn):本文同時(shí)對(duì)不同數(shù)量矩條件下的參數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行了檢驗(yàn),考察參數(shù)估計(jì)關(guān)于矩條件個(gè)數(shù)的穩(wěn)健性,研究發(fā)現(xiàn)增加更多的矩條件會(huì)延長(zhǎng)估計(jì)時(shí)間,但不改變整體估計(jì)結(jié)果,且研究結(jié)論保持不變.

3)其他估計(jì)方法:本文進(jìn)一步采用了序貫貝葉斯參數(shù)學(xué)習(xí)方法對(duì)國(guó)際股票市場(chǎng)上述指數(shù)的部分樣本進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn).鑒于序貫貝葉斯學(xué)習(xí)方法的效率會(huì)伴隨樣本數(shù)量提升而下降,本文以500個(gè)觀測(cè)變量和1 000個(gè)觀測(cè)變量為一個(gè)周期,進(jìn)行循環(huán)學(xué)習(xí).相較而言,序貫貝葉斯學(xué)習(xí)得到的參數(shù)和狀態(tài)變量誤差更小,但是研究結(jié)論基本不變.

綜上,本文的研究結(jié)論在不同模型、不同數(shù)量矩條件和不同參數(shù)估計(jì)方法下均保持一致,具有較強(qiáng)的可靠性.

4 結(jié)束語(yǔ)

目前股票市場(chǎng)價(jià)格隨機(jī)過程的研究大多數(shù)集中在隨機(jī)波動(dòng)率和動(dòng)態(tài)跳躍強(qiáng)度的層面,學(xué)界對(duì)跳躍和波動(dòng)存在集聚現(xiàn)象以及非對(duì)稱杠桿效應(yīng)已經(jīng)達(dá)成共識(shí).近年來(lái)部分研究表明,跳躍不僅會(huì)對(duì)股票價(jià)格造成沖擊和在短時(shí)間內(nèi)引發(fā)更多的跳躍,也會(huì)提升下一期的波動(dòng)水平,即質(zhì)變引起量變.然而,跳躍活動(dòng)率及連續(xù)波動(dòng)率之間是否普遍存在雙向交叉回饋影響,特別是波動(dòng)率的累積變化是否會(huì)觸發(fā)市場(chǎng)的突然震蕩、提高未來(lái)的跳躍到達(dá)率,即量變是否引起質(zhì)變,仍然存在爭(zhēng)議.為了精確捕捉、量化和分析股票市場(chǎng)中跳躍和波動(dòng)之間的交叉影響和動(dòng)態(tài)演化特征,本文采用動(dòng)態(tài)跳擴(kuò)散雙因子交叉回饋模型,借助特征函數(shù)推導(dǎo)高階矩條件,并結(jié)合廣義矩估計(jì)和粒子濾波方法,研究了各個(gè)市場(chǎng)內(nèi)部跳擴(kuò)散間短期交互影響和長(zhǎng)期協(xié)同關(guān)系.結(jié)合廣義矩估計(jì)、粒子濾波和序貫貝葉斯學(xué)習(xí)方法參數(shù)估計(jì)的模擬仿真,以及各個(gè)市場(chǎng)指數(shù)跳擴(kuò)散長(zhǎng)短期影響的實(shí)證研究,主要得到以下結(jié)論.

1)模型層面.雙因子交叉模型同時(shí)考慮了跳躍和波動(dòng)間的相互作用,既能夠研究跳躍對(duì)波動(dòng)的沖擊,也能反過來(lái)考察波動(dòng)集聚對(duì)跳躍的影響和反饋,能更深入地描繪跳躍沖擊在市場(chǎng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)演變和轉(zhuǎn)化機(jī)制;研究發(fā)現(xiàn),國(guó)際市場(chǎng)上大部分指數(shù)存在較為顯著的跳擴(kuò)散交叉回饋效應(yīng),說明跳躍和波動(dòng)之間普遍存在相互影響和協(xié)同演變,跳躍不僅僅對(duì)連續(xù)波動(dòng)造成沖擊,同樣,量變也會(huì)引起質(zhì)變,波動(dòng)率累積到一定程度也將觸發(fā)隨機(jī)跳躍,從而提升市場(chǎng)跳躍發(fā)生的概率.

2)估計(jì)方法層面.本文針對(duì)跳擴(kuò)散交叉回饋模型提出的廣義矩估計(jì)的粒子濾波方法精度好、效率高,能夠聯(lián)合估計(jì)跳躍到達(dá)率和連續(xù)波動(dòng)率這些多維狀態(tài)變量.該方法相比粒子濾波的極大似然估計(jì)更加準(zhǔn)確,相比序貫貝葉斯的參數(shù)學(xué)習(xí)方法更加高效便捷,這為研究多指數(shù)、大樣本的國(guó)際股票市場(chǎng)提供了較大的便利.針對(duì)跳擴(kuò)散模型,廣義矩估計(jì)能較好地捕獲跳躍和高階矩的相關(guān)參數(shù),能準(zhǔn)確識(shí)別隨機(jī)跳躍形態(tài).在此基礎(chǔ)上結(jié)合粒子濾波方法,能直觀地、動(dòng)態(tài)地考察不同市場(chǎng)的跳躍集聚水平和交叉回饋程度.

3)實(shí)證結(jié)果層面.通過對(duì)國(guó)際股票市場(chǎng)指數(shù)的跳躍和擴(kuò)散成分進(jìn)行分解,量化分析各市場(chǎng)跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)的持續(xù)性水平和交叉反饋程度,并對(duì)跳躍風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移、消化水平進(jìn)行國(guó)際間的橫向動(dòng)態(tài)比較,研究表明,各個(gè)市場(chǎng)的跳躍到達(dá)率水平、跳躍變差在總方差中的占比,以及交叉回饋程度是動(dòng)態(tài)變化的,不是一成不變的.其中,中國(guó)大陸、俄羅斯和印度等新興股市的跳躍方差占比較高,跳躍的持續(xù)性程度相對(duì)高于其他發(fā)達(dá)市場(chǎng),跳躍風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)化為擴(kuò)散波動(dòng)率的能力相對(duì)較弱,這可能與新興市場(chǎng)中散戶投資者占比較高、監(jiān)管機(jī)制與金融市場(chǎng)不完備,以及對(duì)經(jīng)濟(jì)政策不確定性的高度敏感有關(guān),這些結(jié)論對(duì)我國(guó)進(jìn)一步研究、探索和完善股票市場(chǎng)機(jī)制體制具有重要的參考價(jià)值.

綜上所述,股票市場(chǎng)中隨機(jī)跳躍和波動(dòng)都存在自身和相互的持續(xù)性影響,同時(shí)跳擴(kuò)散之間并不是獨(dú)立無(wú)關(guān)的,而是在高階矩層面動(dòng)態(tài)地相互影響、協(xié)同演化,跳躍的發(fā)生會(huì)提高未來(lái)的波動(dòng)率水平,同樣,波動(dòng)率的累積也會(huì)觸發(fā)跳躍,跳躍與波動(dòng)在不同市場(chǎng)的相互轉(zhuǎn)化程度存在較大差異.基于上述結(jié)論,并結(jié)合我國(guó)股市的現(xiàn)實(shí)特征,本文提出以下幾點(diǎn)建議.

對(duì)監(jiān)管者而言:需警惕“溫水煮青蛙”:由于波動(dòng)的連續(xù)累積將引起跳躍的質(zhì)變,監(jiān)管當(dāng)局在將跳躍風(fēng)險(xiǎn)納入監(jiān)測(cè)預(yù)警系統(tǒng)的同時(shí),應(yīng)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)看起來(lái)持續(xù)而緩慢變化的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn),尤其應(yīng)警惕它的急劇變化.此外,當(dāng)市場(chǎng)波動(dòng)長(zhǎng)時(shí)間維持在高水平的狀態(tài)時(shí),應(yīng)注意及時(shí)疏導(dǎo),預(yù)防其轉(zhuǎn)化成突發(fā)性的市場(chǎng)震蕩來(lái)分散后續(xù)的波動(dòng)壓力,避免給金融市場(chǎng)帶來(lái)較大的不確定性.

對(duì)投資者而言:在投資決策上,投資者不僅要充分考慮到連續(xù)性擴(kuò)散帶來(lái)的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn),而且也應(yīng)注意隨機(jī)跳躍帶來(lái)的突發(fā)性擾動(dòng),更為重要的是,當(dāng)持有波動(dòng)變化較為劇烈的股票時(shí),應(yīng)采取合適的投資策略,謹(jǐn)防量變引起質(zhì)變,減少波動(dòng)轉(zhuǎn)成巨幅市場(chǎng)震蕩而導(dǎo)致的巨額損失.

對(duì)我國(guó)金融市場(chǎng)而言:針對(duì)我國(guó)市場(chǎng)跳躍集聚程度較高、且對(duì)跳躍風(fēng)險(xiǎn)的消化能力較弱這一特點(diǎn),建議進(jìn)一步豐富金融衍生工具,壯大機(jī)構(gòu)投資者力量,發(fā)展與本國(guó)資本市場(chǎng)發(fā)展情況相匹配的投資者結(jié)構(gòu),并通過引導(dǎo)或制度設(shè)計(jì)等措施減弱投資者情緒對(duì)股價(jià)的影響,進(jìn)而降低跳躍風(fēng)險(xiǎn)的持續(xù)性.另一方面,建議完善資本市場(chǎng)的監(jiān)管制度與交易規(guī)則,進(jìn)一步調(diào)整市場(chǎng)結(jié)構(gòu),努力打造全方位、立體化的資本市場(chǎng)開放格局,增強(qiáng)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移與消化能力.