廣東省佛山市教育局教學(xué)研究室(528000) 錢耀周

在歷年的高三備考過程中,除了常規(guī)的復(fù)習(xí)策略外,利用高考模擬試卷進(jìn)行考試也是重要的復(fù)習(xí)手段.一套好的模擬試題,不僅要能夠反映出學(xué)生的復(fù)習(xí)狀態(tài),還要能夠為后續(xù)的復(fù)習(xí)備考指明方向.那么如何命制一套高質(zhì)量的模擬試題呢? 筆者長期參與佛山市模擬試題的命制與審核工作,所命制的試題在周邊地區(qū)具有一定的影響力.本文以2023 年佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(一)(以下簡稱佛山一模)中的部分試題為例,談?wù)勗囶}的命制過程與思路.

1 充分利用試題情境,體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用

在本套試卷中,命題團(tuán)隊以佛山的一處地標(biāo)建筑為背景,命制了一道數(shù)列相關(guān)試題,具體題目如下:

17.佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素,與佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應(yīng).坊塔是文化中心的標(biāo)志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊,總高度153.6 米.坊塔塔樓由底部4 個高度相同的方體組成塔基,支托上部5 個方體,交錯疊合成一個外形時尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4 個方體高度均為33.6 米,中間第5 個方體也為33.6 米高,再往上2 個方體均為24 米高,最上面的兩個方體均為19.2 米高.

(1)請根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù),結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識,寫出一個等差數(shù)列的通項公式,該數(shù)列以33.6 為首項,并使得24 和19.2 也是該數(shù)列的項;

(2) 佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310 米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列,連續(xù)取用該數(shù)列前m(m∈N?)項的值作為方體的高度,在保持最小方體高度為19.2 米的情況下,采用新的堆疊規(guī)則,自下而上依次為2a1、3a2、4a3、…、(m+1)am((m+1)am表示高度為am的方體連續(xù)堆疊m+1層的總高度),請問新堆疊坊塔的高度是否超過310 米? 并說明理由.

本題的背景新穎,所選地標(biāo)建筑具有很好的觀賞價值,能夠很好地提升佛山本土學(xué)生的文化自信.

其次,則是試題情境在解題中的應(yīng)用.在多數(shù)情境類試題中,情境與試題較為割裂,去除情境都不影響解題.而本題的情境在解題過程中至關(guān)重要,其中部分信息還是通過圖形提供的.學(xué)生需要識別“坊塔塔樓”的結(jié)構(gòu)來研究每一層的數(shù)量,為了降低難度,筆者提供了“示意圖”供同學(xué)們參考.

最后,則是設(shè)問的角度,本題放棄了求通項、求和等常規(guī)考查方式.以開放性的問法讓學(xué)生構(gòu)建出一個“等差數(shù)列”.而該數(shù)列并不是完全開放,-2.4、-1.2,-4.8 都可以作為數(shù)列的公差,但不同的選擇則決定了后續(xù)解題的運算量.第(2)問是從設(shè)計的視角搭建一個新的“堆疊坊塔”,限于試題的難度,本題僅選擇塔高作為判斷的依據(jù).若將該題進(jìn)行拓展,還可從“美觀”的角度進(jìn)行研究.

在試題的命制過程中,命題團(tuán)隊也探討過數(shù)據(jù)的運算量問題.是否需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行“美化”,僅保留整數(shù)部分進(jìn)行設(shè)問.例如,在原題干背景下,由某學(xué)生社團(tuán)仿照該建筑制作了一個“坊塔”模型,該模型的數(shù)據(jù)就可以完全設(shè)計為整數(shù).筆者認(rèn)為,在平時的教學(xué)中,為了體現(xiàn)相關(guān)的解題思想,我們常常簡化數(shù)據(jù)的運算.但數(shù)據(jù)運算是現(xiàn)階段所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一,所以命題團(tuán)隊認(rèn)為有必要提升學(xué)生的運算能力.為此,團(tuán)隊特意查詢了該建筑的真實數(shù)據(jù),本題所采用的數(shù)據(jù)也均為真實數(shù)據(jù).

本題充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)據(jù)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).筆者認(rèn)為,本題為情境類試題的設(shè)置提供了很好的范例.

除該試題外,本套試題還有兩道情境類試題,現(xiàn)展示如下:

9.中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會的報告中,一組組數(shù)據(jù)折射出新時代十年的非凡成就,數(shù)字的背后是無數(shù)的付出,更是開啟新征程的希望.二十大首場新聞發(fā)布會指出近十年我國居民生活水平進(jìn)一步提高,其中2017 年全國居民恩格爾系數(shù)為29.39%,這是歷史上中國恩格爾系數(shù)首次跌破30%.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學(xué)家恩斯特·恩格爾提出的,計算公式是“恩格爾系數(shù)=×100%”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標(biāo),一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降.恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困,50%～60%為溫飽,40%～50%為小康,30%～40%為富裕,低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖,由圖可知( ).

A.城鎮(zhèn)居民2015 年開始進(jìn)入“最富裕”水平

B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%

C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45 百分位數(shù)高于29%

D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)

20.近幾年,隨著生活水平的提高,人們對水果的需求量也隨之增加,我市精品水果店大街小巷遍地開花,其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口,風(fēng)味較好,廣受消費者的喜愛.在某水果店,某種獼猴桃整盒出售,每盒20 個.已知各盒含0,1個爛果的概率分別為0.8,0.2.

(1)顧客甲任取一盒,隨機檢查其中4 個獼猴桃,若當(dāng)中沒有爛果,則買下這盒獼猴桃,否則不會購買此種獼猴桃.求甲購買一盒獼猴桃的概率;

(2)顧客乙第1 周網(wǎng)購了一盒這種獼猴桃,若當(dāng)中沒有爛果,則下一周繼續(xù)網(wǎng)購一盒;若當(dāng)中有爛果,則隔一周再網(wǎng)購一盒;以此類推,求乙第5 周網(wǎng)購一盒獼猴桃的概率.

第9 題中的“恩格爾系數(shù)”是衡量居民生活水平高低的一項重要指標(biāo),在人教版教材必修一函數(shù)這一章節(jié)中,首次提出過該概念.但本題對概念還是進(jìn)行了說明,降低了試題的難度,將問題轉(zhuǎn)化為閱讀信息,理解圖表統(tǒng)計量的相關(guān)信息.其次,本題還考查了處理數(shù)據(jù)的能力,例如百分位數(shù)的求解還需對圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行重排,最后通過估算獲得.很好地考查了數(shù)據(jù)運算的核心素養(yǎng).

第20 題的情境通俗易懂,考查的核心知識在于全概率公式、條件概率等.體現(xiàn)了新教材中新增知識在考試中的考查方式.而且設(shè)問方式符合客觀規(guī)律,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用價值.其次,本題也可從商家的視角出發(fā),根據(jù)爛果率決策備貨的數(shù)量,由此改編成一道決策類試題.

2 重視新、舊教材變化,突出新增內(nèi)容

與舊教材相比,新教材有很大的變化.包括知識的順序,增減的知識點等等.除在上文中提到的全概率公式外,“投影向量”也是一個新的概念.

18.在銳角三角形?ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,為在方向上的投影向量,且滿足

(1)求cosC的值;

(2)若b=a=3ccosB,求?ABC的周長.

在舊教材中,我們只學(xué)習(xí)了“投影”的概念,“投影”是一個數(shù)量,其本質(zhì)是為了構(gòu)建向量的數(shù)量積.而投影向量是一個新的向量,體現(xiàn)了向量的運算過程.本題對“投影向量”的考查方式較為直接,需要考生明確概念,并將其與圖形相結(jié)合發(fā)現(xiàn)?ABC邊、角間的關(guān)系.

19.如圖,?ACD和?BCD都是邊長為2 的等邊三角形,平面ACD⊥平面BCD,EB⊥平面BCD.

(1)證明:EB//平面ACD;

(2)若點E到平面ABC的距離為求平面ECD與平面BCD夾角的正切值.

本題的第2 問考查點到平面的距離,常規(guī)方法是利用等體積法將其轉(zhuǎn)化為易求解的幾何量進(jìn)行運算.若從空間向量的視角研究,可通過向量在法向量上的投影來進(jìn)行運算.所以本題也可理解為“投影向量”在空間圖形中的考查與應(yīng)用.

3 挖掘經(jīng)典模型,構(gòu)建新穎試題

作為一套完整的試題,還需要考慮試題的難易搭配,以及亮點題目的設(shè)計.其中圓錐曲線試題因為背景豐富,且解題視角多樣,常常作為亮點試題精心設(shè)計.如何命制此類試題呢? 筆者認(rèn)為首先要了解此類試題的一般化結(jié)論,再根據(jù)結(jié)論的特點進(jìn)行改編再創(chuàng)造.現(xiàn)以21 題為例,簡介如下:

(1)求橢圓Γ 的方程;

(2)設(shè)過F的直線PQ交橢圓Γ 于P,Q兩點,若直線PA,QA與直線l:x+4=0 分別交于M,N兩點,l與x軸的交點為k,則|MK|·|KN|是否為定值? 若為定值,請求出該定值;若不為定值,請說明理由.

對于圓錐曲線試題,一般都具有普遍的結(jié)論.本題的設(shè)問方式是考查兩個線段間的關(guān)系,但本質(zhì)上是探究直線PA與QA的斜率之間的關(guān)系.

兩條直線的斜率之積為定值,由此衍生出對應(yīng)的兩條線段之積也為定值.由此可將l更換為其他直線(與x軸垂直)時,對應(yīng)的線段之積仍為定值.

現(xiàn)將一般化結(jié)論介紹如下:

本題在設(shè)計該問題時進(jìn)行了一次包裝,將斜率的定值問題轉(zhuǎn)化為線段的乘積之間的關(guān)系.這樣的設(shè)問方式還增加了解題的突破口,為了降低運算方面的難度,本題還選擇將點T特殊化為橢圓的左焦點,對應(yīng)的線段設(shè)計為橢圓的左準(zhǔn)線,這也是為了突出橢圓的幾何特征,由此也可衍生出利用第二定義的相關(guān)知識進(jìn)行求解.

4 命制試卷的核心理念

本次模擬試題的命制過程堅持重基礎(chǔ)、重本質(zhì)、重應(yīng)用、重創(chuàng)新的一貫命題思路,實現(xiàn)強化了“三位一體”(考查內(nèi)容、考查要求、考查載體)的認(rèn)識.命題更加強調(diào)了“知識為基、能力為重、素養(yǎng)導(dǎo)向、價值引領(lǐng)”的理念,更加突出考查數(shù)學(xué)本質(zhì),重視理性思維的考查,更加關(guān)注學(xué)生問題解決能力和學(xué)科素養(yǎng),在關(guān)鍵能力的考查上更加深入.命題時,我們充分吸收黨的二十大精神以及新時代對數(shù)學(xué)人才的要求,多角度思考命題所能起到的引領(lǐng)作用,貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針,設(shè)計真實問題情境,體現(xiàn)我國的社會主義建設(shè)成就和社會主義的制度優(yōu)勢,具有鮮明的時代特色,發(fā)揮數(shù)學(xué)試卷的育人價值

筆者認(rèn)為,模擬試題承載著復(fù)習(xí)備考的指導(dǎo)作用.本套試題突出新舊教材的差異,倡導(dǎo)數(shù)學(xué)文化,深入分析經(jīng)典結(jié)論,為后續(xù)的復(fù)習(xí)備考指明了方向.