重慶市第二十九中學(xué)校(400023) 陳露蕾

1 研究背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》的出臺(tái),新增了核心素養(yǎng)這個(gè)概念,包括: 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析這六大素養(yǎng).其中,數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.主要包括: 從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ),反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中.因此,在課堂教學(xué)中,如何充分培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,便成為眾多一線教師當(dāng)下亟待解決的問(wèn)題.

韋達(dá)定理作為一元n次方程的根與系數(shù)關(guān)系定理,在中學(xué)階段,主要針對(duì)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,可以實(shí)現(xiàn)含參二次方程在計(jì)算中的設(shè)而不求,讓代數(shù)運(yùn)算得以大大簡(jiǎn)化.但由于韋達(dá)定理的證明與使用需要學(xué)生具備較強(qiáng)的符號(hào)意識(shí),對(duì)數(shù)學(xué)抽象能力要求較高,初中階段曾一度將韋達(dá)定理作為選學(xué)內(nèi)容.數(shù)學(xué)新課標(biāo)(2022 版)的頒布,再次將韋達(dá)定理納入必修內(nèi)容,可見韋達(dá)定理在中學(xué)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值不容忽視.

本文結(jié)合一個(gè)命題的解答,探究韋達(dá)定理的適用條件,并進(jìn)一步思考實(shí)際教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出韋達(dá)定理并能正確加以運(yùn)用.

2 韋達(dá)定理遭遇尷尬

命題關(guān)于x的多項(xiàng)式M=2x2-ax-2,a為任意實(shí)數(shù),若M=0 的兩個(gè)解分別為x1=t2,x2=2t-3,則實(shí)數(shù)a的最小值為-8.

解由韋達(dá)定理可知

矛盾的產(chǎn)生,讓我開始反思解法中存在的思維疏漏.運(yùn)用韋達(dá)定理得到等式(1)顯然沒(méi)有錯(cuò)誤,但等式(1)滿足的是2x2-ax+c=0 這一類方程,如何才能保證x1、x2恰是方程2x2-ax-2=0 的解呢? 回看初中階段一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,內(nèi)容如下:

性質(zhì)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有解,且兩個(gè)根分別為x1、x2,則

反之,當(dāng)(2) 成立時(shí),能否得出x1、x2一定是方程ax2+bx+c=0 的解呢? 即韋達(dá)定理是否存在逆定理?答案當(dāng)然是肯定的,不過(guò)考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平,人教版初中數(shù)學(xué)教材并未提及韋達(dá)定理逆定理,我開始嘗試證明:

解對(duì)于方程2x2-ax-2=0,顯然?=a2+16>0,由韋達(dá)定理,可得:

∵x1=t2,x2=2t-3,代入(3)

3 解題反思

韋達(dá)定理遭遇的尷尬雖已成功化解,但解題過(guò)程讓我產(chǎn)生了更多思考.作為中學(xué)代數(shù)的重要定理,韋達(dá)定理在具體應(yīng)用時(shí),原方程是否有解、根與系數(shù)關(guān)系在不同方程中如何表達(dá)、兩根之和與兩根之積是否進(jìn)行了整體考慮,常常成為學(xué)生知識(shí)體系中最易出現(xiàn)紕漏的一環(huán).為此,我嘗試對(duì)韋達(dá)定理的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了一定意義上的重構(gòu).

3.1 創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)探究熱情

探究活動(dòng):

一個(gè)直角三角形的兩直角邊恰是方程6x2-29x+35=0 的兩根,求此直角三角形的斜邊長(zhǎng)度.

設(shè)計(jì)意圖:

學(xué)生根據(jù)已有知識(shí),較大可能性會(huì)選取求根公式或其他方法來(lái)求出方程的兩根.經(jīng)過(guò)一定運(yùn)算后,解出進(jìn)而由勾股定理得到斜邊長(zhǎng)為但是解答過(guò)程中繁瑣的運(yùn)算和分?jǐn)?shù)的通分,會(huì)成為多數(shù)學(xué)生得出正確結(jié)果的障礙.設(shè)計(jì)此探究活動(dòng),旨在讓學(xué)生感受求根公式在實(shí)際應(yīng)用中的局限性(運(yùn)算量較大),引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)果出發(fā),思考能否在不解方程的前提下,直接得出斜邊長(zhǎng)度,進(jìn)而逐步發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間關(guān)系.

探究活動(dòng)的設(shè)計(jì),從一個(gè)具體一元二次方程出發(fā),符合學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)(學(xué)生已具備解一元二次方程的能力),但又故意在具體計(jì)算上設(shè)置難度,讓學(xué)生感受到引入其他方法的必要性,從而激發(fā)其主動(dòng)思考的欲望.

3.2 探究新知,發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)關(guān)系

問(wèn): 運(yùn)用求根公式時(shí)如果先不化簡(jiǎn),你能觀察出x1、x2在形式上有什么異同嗎? (只有±的差異,其余部分完全相同)

問(wèn):x1、x2的這種異同,適合將它們進(jìn)行哪種運(yùn)算,可以得出一個(gè)較簡(jiǎn)潔漂亮的結(jié)果,并說(shuō)說(shuō)你為什么選擇這種運(yùn)算? (引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)x1+x2、x1x2存在的必要性)

問(wèn): 你發(fā)現(xiàn)的這種運(yùn)算所得出的結(jié)果,對(duì)其他一元二次方程的兩根還適用嗎? 對(duì)所有一元二次方程都適用嗎?

一連串問(wèn)題的設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生借助具體一元二次方程探索出兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間關(guān)系.學(xué)生循序漸進(jìn)地操作、運(yùn)算,在過(guò)程中體會(huì)發(fā)現(xiàn)新知的快樂(lè),成就感也油然而生.最后一個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì),從特殊到一般,促使學(xué)生不得不進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,即用符號(hào)表示根與系數(shù)關(guān)系,進(jìn)而得出更為一般的結(jié)果.

3.3 文化滲透,加深定理理解

數(shù)學(xué)活動(dòng): (以動(dòng)畫或幻燈片的形式,呈現(xiàn)韋達(dá)定理產(chǎn)生的歷史背景及名字由來(lái),讓學(xué)生知曉韋達(dá)定理的得出與證明遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于一元二次方程求根公式)穿越到19 世紀(jì),體驗(yàn)蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里斯的杰出工作,用韋達(dá)定理推演一元二次方程的求根公式.

活動(dòng)的設(shè)計(jì),除了讓學(xué)生了解定理產(chǎn)生的過(guò)程,知曉任何一個(gè)發(fā)現(xiàn)所要經(jīng)歷的付出與艱辛,更希望通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生完成從韋達(dá)定理到求根公式的推演,強(qiáng)化學(xué)生符號(hào)運(yùn)算的能力,理解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系中兩根之和、兩根之積的不可分割性,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

初中一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的學(xué)習(xí),是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的一次有益嘗試,筆者在部分環(huán)節(jié)(用韋達(dá)定理推演求根公式)的重構(gòu),或許對(duì)初中學(xué)生存在一定難度,但在一次次的螺旋上升中,相信學(xué)生們能逐漸培養(yǎng)起對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)自內(nèi)心的喜愛和遇到問(wèn)題時(shí)從特殊到一般的思維方式,那今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就能有章可循、輕松應(yīng)對(duì)了.