廣東省佛山市第二中學(xué)(528000) 李耀光

1 三角形中的中線問(wèn)題

例1(2022 佛山一模)?ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且acosC=(2b-c)cosA.

解法2第(1)問(wèn)的求解可參照解法1.下面介紹用坐標(biāo)法對(duì)第(2)問(wèn)進(jìn)行求解.

(2)用坐標(biāo)法: 建立如圖1 所示的直角坐標(biāo)系,?ABC的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)重合,AC邊與x軸正半軸重合.

圖1

圖2

圖3

圖4

解析根據(jù)三角形角A和邊AB、AC,分別設(shè)定點(diǎn)B、C的坐標(biāo),通過(guò)中點(diǎn)公式得到點(diǎn)D的坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式得到方程c2+2c-8=0,從而求出c的值,最后用三角形面積公式進(jìn)行求解,不需動(dòng)用正弦定理、余弦定理等工具,兩種解法各有特色.

練習(xí)1已知?ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b=3(acosB+bcosA),b+c=8.

解法2 第(1)問(wèn)的求解可參照解法1.下面用坐標(biāo)法對(duì)第(2)問(wèn)進(jìn)行求解.

2 三角形中的角平分線問(wèn)題

解析第(1) 問(wèn)用三角形中的角平分線定理、正弦定理,兩角和的余弦展開(kāi)式進(jìn)行求解; 第(2) 問(wèn)用三角形的邊長(zhǎng)與內(nèi)角,設(shè)定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)角平分線定理、三點(diǎn)共線的向量模型,求出BC邊的長(zhǎng).對(duì)比解法1 的第(2) 問(wèn),這里不需動(dòng)用三角形的面積公式及面積關(guān)系S?ABC=S?ABD+S?ACD和余弦定理等工具,兩種解法特點(diǎn)各異.

練習(xí)3已知?ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+bsinB.

(1)求角A;

(2)若AD平分∠BAC交線段BC于點(diǎn)D,且AD=2,BD=2CD,求?ABC的周長(zhǎng).

解析 第(1)問(wèn)用三角形中的正弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和倍角公式進(jìn)行求解;第(2)問(wèn)用三角形角平分線性質(zhì)、三角形面積公式及面積關(guān)系、正弦定理、兩角和的正弦展開(kāi)式進(jìn)行計(jì)算.

解法2 第(1)問(wèn)的求解可參照解法1.下面用坐標(biāo)法對(duì)第(2)問(wèn)進(jìn)行求解.

(2) 用坐標(biāo)法: 建立如圖5 所示的直角坐標(biāo)系,使?ABC的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)重合,AB邊與x軸的正半軸重合.

圖5

因?yàn)锳M為∠BAC的角平分線,設(shè)∠BAC=2∠BAM=2∠MAC=2θ,且AM=x.結(jié)合已知AB=2AC=2,則B(2,0),設(shè)點(diǎn)M、C的坐標(biāo)分別為M(xcosθ,xsinθ)、C(cos 2θ,sin 2θ).

結(jié)論筆者在講授解三角形關(guān)于中線與角平分線的教學(xué)實(shí)踐中,調(diào)查發(fā)現(xiàn)有八成以上的學(xué)生認(rèn)為只有在直角三角形、等腰三角形等特殊三角形中,才會(huì)想起并愿意去嘗試通過(guò)建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.

本文通過(guò)解題方法的對(duì)比,針對(duì)一般三角形建立直角坐標(biāo)系,利用三角形的邊與內(nèi)角的關(guān)系,設(shè)定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),再用兩點(diǎn)間距離公式、三角形角平分線定理、共線向量的性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)和方法求解三角形,提供了用坐標(biāo)法解三角形中線與角平分線問(wèn)題的一種解題方法論.