羅瑞寧, 黃樹彩, 趙 巖, 張 振

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

近年來,美軍啟動推進了多項無人機集群作戰(zhàn)項目并取得了階段性成果,未來無人機集群將逐步實現(xiàn)半自主與完全自主的作戰(zhàn)能力[1-4],我國面臨的無人機集群威脅與日俱增。對此,許多單位與學者開展了反制無人機集群的研究,提出了電磁干擾、電子壓制、電子欺騙等干擾手段,破壞集群通信網絡以癱瘓集群作戰(zhàn)能力;采用高功率微波、激光武器等定向能毀傷手段,毀傷無人機關鍵部件;采用槍、炮、破片炸彈等硬殺傷手段,對集群進行直接摧毀[5-8],但單一反制手段往往受到各種使用條件的制約,單獨使用的效果難以得到保證。文獻[9]設計了一種軟硬結合、梯次部署的防御系統(tǒng),綜合運用多種手段實現(xiàn)對無人機集群的有效反制。但目前針對無人機的探測、干擾與殺傷武器的有效作用距離范圍多為5～30 km[10],以上反制武器與防御系統(tǒng)僅適用于中近程防御。無人機集群對抗多被認為是一種反制無人機集群最有效的硬殺傷手段,文獻[11]與文獻[12]分別針對無人機集群對抗中決策生成與編隊、制導問題進行了研究,為無人機集群對抗提供了技術方案。文獻[13]設計了一種由攔截群、偵察群、反輻射群、誘餌群、電子對抗群、補充群組成的無人機蜂群攔截系統(tǒng)。多種職能的群相互配合,具備較強的集群對抗能力且能攔截多種目標,但其依賴于協(xié)同探測、協(xié)同控制、群智能等先進技術,系統(tǒng)功能實現(xiàn)難度大。文獻[14]研究了一種多彈協(xié)同毀傷無人機集群的方法,根據(jù)目標分布區(qū)域與攔截彈爆炸毀傷半徑計算各攔截彈的目標點,攔截彈通過協(xié)同方式同時到達目標點,實現(xiàn)對無人機集群的覆蓋毀傷。理論上,該方法面對密集分布的蜂群式無人機有較好的攔截效果,但當集群由數(shù)目較少的中/大型集群無人機組成且分布較為分散時,難以實現(xiàn)有效覆蓋。另一種有效的反制手段是用傳統(tǒng)武器系統(tǒng)攔截載機,從根本上毀傷集群。目前對于無人機集群反制方法的研究尚存在以下兩方面不足,一是反制對象多為微/小型無人機組成的蜂群,而針對“小精靈”一類具有較大飛行高度與作戰(zhàn)里程的中/大型集群無人機的反制方法研究較少;二是對于無人機集群在載機釋放后的中遠程編隊巡航階段的反制方法研究較少。

比例導引(proportional navigation, PN)律仍是目前空天攔截武器應用最廣泛的制導律,PN經過發(fā)展主要分為純PN(pure PN, PPN)及其變形[15-17]與真PN(true PN, TPN)及其變形[18-23]兩大類。學者們在對PN的攔截能力進行分析時提出了捕獲區(qū)的概念,求解捕獲區(qū)的方法不同,得到的捕獲區(qū)描述方式也不同。文獻[24]對PPN、TPN兩大類PN律進行了分析與求解,并提出了捕獲區(qū)的最一般描述形式,即用初始彈目接近速度與初始脫靶量描述導彈對目標的捕獲能力。文獻[25]用此種描述方法給出了視線旋轉坐標系下三維現(xiàn)實TPN的捕獲區(qū)。文獻[26]充分考慮目標機動與加速度約束,給出了不同機動情形下的捕獲區(qū)。文獻[27-28]用相平面法計算并描述了目標在不同機動情況下的捕獲區(qū)。文獻[29-30]分析了基于PN攔截高速目標的零控攔截條件,給出了用彈目速度前置角描述的捕獲區(qū),用角度的形式描述可直觀地反映出彈目初始空間幾何關系與攔截能力的關系,能較好地適用于本文中子攔截彈可攔截性約束分析,但其提出的捕獲區(qū)僅在彈目速度比小于1的條件下適用。對此,本文采用文獻[29-30]的描述方式,推導了攔截低速目標(彈目速度比大于1)時的捕獲區(qū),進一步得到了計算“釋放點”時的可攔截性約束條件。

針對中遠程階段反制無人機集群方法理論欠缺的問題,本文提出一種利用子母導彈攔截無人機集群的作戰(zhàn)構想。針對該構想中的制導問題,給出了集群威脅“重心”與子攔截彈“釋放點”的選取方法,為子母導彈的制導提供了一種可行方案。

1 子母導彈攔截無人機集群作戰(zhàn)構想

作為具有一定區(qū)域拒止能力的大國,敵軍難以將無人機集群直接釋放在目標區(qū)域。最可能的作戰(zhàn)方式是利用載機在防區(qū)外遠距離釋放,集群經過載機釋放、集結編隊與密集飛行、散布飛行3個階段飛抵任務區(qū)域,最后按照既定規(guī)劃執(zhí)行偵查、干擾與打擊等作戰(zhàn)任務。因此,無人機集群的作戰(zhàn)過程可分為4個階段[8],如圖1所示。

圖1 無人機集群作戰(zhàn)階段Fig.1 Unmanned aerial vehicle cluster operation stage

在載機釋放后的中遠程的密集飛行階段,無人機集群首先進行集結與編隊,此階段集群的通信、協(xié)同等功能尚不完全,是防護能力最弱的階段;隨后,無人機集群按照規(guī)劃的路線以較密集的編隊巡航飛往任務區(qū)域,此階段編隊密集,且由于單個無人機性能以及編隊結構的約束,集群整體的機動能力較弱。

基于集群的以上特性,提出一種利用子母導彈在中遠程密集飛行階段攔截無人機集群的作戰(zhàn)構想。

攔截的目標是以“小精靈”無人機為代表的進行集群作戰(zhàn)的無人機,即美國國防部所劃分的第3類無人機/中型無人機[31],文獻[4]將其歸類為大型集群目標。此類無人機具有較大的作戰(zhàn)里程與飛行高度,可作為拒止環(huán)境下作戰(zhàn)的開路先鋒,其具備的載荷能力足以支撐其執(zhí)行偵查、干擾、打擊等各項作戰(zhàn)任務,具備較大的威脅程度與攔截效益。

所設計子母導彈由母艙與運載在艙內的子攔截彈構成,如圖2所示。母艙搭載渦噴發(fā)動機,可獲得遠大于無人機的飛行速度;采用復合式導引頭,在飛至距離集群目標一定距離后可對集群目標進行識別與截獲,并在適當?shù)奈恢靡詮椛涞姆绞结尫抛訑r截彈,對無人機目標進行攔截。子攔截彈攜帶光學與紅外導引頭,通過智能識別算法識別并鎖定目標,尾部裝有電動舵系統(tǒng),依靠母艙提供的較大初速度制導攔截目標。

圖2 子母導彈概念圖Fig.2 Concept map of mother-son missile

子母導彈攔截無人機集群的基本作戰(zhàn)過程為:分散布置的綜合情報系統(tǒng)對集群目標進行識別與跟蹤,并將目標信息指示給子母導彈指控系統(tǒng);指控系統(tǒng)制導母艙飛向目標;母艙在適當?shù)奈恢冕尫抛訑r截彈對目標進行攔截,作戰(zhàn)構想如圖3所示。

圖3 子母導彈攔截無人機集群作戰(zhàn)構想Fig.3 Operational conception of mother-son missile intercepting unmanned aerial vehicle cluster

從該構想中可以看出,只有確定了子攔截彈“釋放點”的位置,整個攔截過程才能連通,因此如何求取“釋放點”是該制導策略的關鍵。在制導問題中,可將無人機集群目標看作是空間中的多個質點,由多個質點直接推導“釋放點”較為困難。對此提出一種計算集群威脅“重心”的思想,用威脅“重心”的位置與運動狀態(tài)代表整個集群的位置與狀態(tài),據(jù)此可將母艙制導的“一對多”問題轉化為“一對一”問題。

本文的制導策略即如何合理地選擇集群的威脅“重心”,并根據(jù)威脅“重心”、目標狀態(tài)與子母導彈的性能參數(shù)計算母艙的最佳“釋放點”。

注 1當集群目標較多時,可將集群分成n塊,計算出與之對應的n個威脅“重心”與“釋放點”,由n枚彈分別進行攔截。此時,需要為n枚子母彈額外設置以相同速度同時釋放的約束條件,以保證子攔截彈同時攔截,避免先后攔截情況下前者攔截過程對后者的攔截產生干擾的問題。為突出重點,本文不再展開討論集群分群與母艙協(xié)同問題。

2 集群威脅“重心”選取

為使子母導彈制導更易實現(xiàn),期望將母艙“一對多”的制導問題轉化為“一對一”制導問題。對此,希望能夠在集群中尋找一個虛擬質點,用質點的位置代表集群的位置。

由微型無人機組成的蜂群,無人機數(shù)目可達成百上千架,在由中型無人機組成的集群中,無人機的數(shù)目也很可能多達幾十至上百架。在考慮硬殺傷反制手段時,難以將其全部攔截。另外,集群往往由異構無人機組成,其各自發(fā)揮的職能與威脅程度也不同,若能將其中具有高威脅或高價值的無人機攔截,也能達到削弱或毀傷集群關鍵作戰(zhàn)能力的目的。因此,攔截策略為指控系統(tǒng)根據(jù)傳感器系統(tǒng)得到的探測結果對目標進行威脅評估,挑選集群中高威脅目標進行攔截,而忽略其余次要目標。同時,挑選出的目標威脅程度也可能會有差異,此時將目標威脅度形象地看作其重量,所尋找的質點不應僅代表無人機集群的幾何中心,而是要代表集群威脅度的重心,如此可保證母艙以該點為目標進行制導時可最有利地對高威脅目標進行攔截,將集群總威脅度降到最低。

定義 1無人機集群的威脅“重心”定義為可代表集群威脅分布的空間質點,威脅“重心”位置隨集群運動實時變化。

在慣性坐標系OXYZ下對“重心”進行求取,規(guī)定原點O位于導彈發(fā)射陣地,X軸在水平面內,指向目標在地面投影為正;OZ軸與地面垂直,向上為正;OY軸由右手定則確定。威脅“重心”計算模型如下:

(1)

該模型下“重心”的求取在數(shù)學上是一個多元函數(shù)的無條件極值問題,利用常規(guī)求多元函數(shù)駐點與Hesse矩陣的方法或粒子群算法等智能優(yōu)化算法均易求得極值。

為便于后續(xù)子攔截彈可攔截性分析,在得到集群威脅“重心”的基礎上需計算集群最大半徑。集群最大半徑定義為在YOZ投影平面內,目標與威脅“重心”的最大距離Rmax,Rmax實則對應子攔截彈攔截目標需要做出的最大縱向機動距離,計算公式如下:

(2)

3 子攔截彈“釋放點”選取

母艙需在距集群適當?shù)奈恢冕尫抛訑r截彈,“釋放點”隨目標集群運動而實時變化。對于母艙而言,可將“釋放點”看作目標點進行制導飛行。威脅“重心”可代表集群的位置所在,利用由威脅“重心”外推“釋放點”的方法對“釋放點”的位置進行求取。

定義 2子攔截彈“釋放點”定義為母艙釋放子攔截彈的空間位置,該位置是由集群威脅“重心”外推得到的空間中的一個質點,母艙依據(jù)該質點制導飛行并在飛抵該質點后釋放子攔截彈,可最大程度地毀傷集群。

“釋放點”的選取需要綜合考慮子攔截彈對目標的攔截能力、母艙導引頭探測能力以及目標的運動狀態(tài),應滿足以下4個約束條件:

(1) 子攔截彈對目標的可攔截性約束。子攔截彈作為一種微型彈,其對目標的跟蹤與機動能力有限,不具備迎頭攔截失敗進而轉向尾追攔截的能力。因此,必須對子攔截彈的攔截能力進行分析,期望子攔截彈釋放后有充足的機動時間,對集群中每個目標均具備攔截條件,這要求“釋放點”距離集群不能過近。

(2) 母艙探測視場角約束。保證目標全部落在母艙導引頭視場內,要求“釋放點”距離集群不能過近。

(3) 母艙探測距離約束。復合式導引頭實現(xiàn)對目標的有效識別與跟蹤需要滿足一定距離條件,要求“釋放點”距離集群不能過遠。

(4) 為了降低母艙與子攔截彈的制導難度,要求“釋放點”與集群(即集群威脅“重心”)處于同一高度。

其中,約束條件(2)～(4)可直接計算得到,約束條件(1)是4個約束條件中的難點,因此本節(jié)重點對子攔截彈對目標的可攔截性進行分析,進而綜合其他3個約束條件得到子攔截彈的最佳“釋放點”。

以子攔截彈應用PPN律制導為例,利用求解子攔截彈捕獲區(qū)進而反推子攔截彈對目標極限攔截條件的思想求解“釋放點”在約束條件(1)下的最近釋放位置。

3.1 彈目相對運動模型

以地面慣性坐標系XOZ為參考,子攔截彈與無人機目標在縱向平面內的相對運動關系如圖4所示。

圖4 彈目相對運動模型Fig.4 Missile-target relative motion model

其中,V和a分別代表速度矢量與加速度矢量;θM、θT分別代表導彈與目標的彈道傾角,q為導彈視線角,規(guī)定θ、q以水平線的正向為基準,逆時針旋轉為正;γ、η分別為導彈與目標的速度前置角,規(guī)定其由速度方向逆時針旋轉至彈目視線方向為正。

圖4所示彈目運動數(shù)學模型如下:

(3)

(4)

(5)

γ=q-θM

(6)

(7)

(8)

(9)

η=q-θT

(10)

(11)

(12)

子母導彈攔截無人機集群可分為迎頭攔截與尾追攔截兩種情形,子攔截彈在母艙迎頭接近集群時對應逆軌攔截,如圖5所示,在尾追時對應順軌攔截,如圖6所示。

圖5 逆軌攔截Fig.5 Head-on interception

圖6 順軌攔截Fig.6 Head-pursuit interception

一方面,子攔截彈在釋放時刻已距集群較近,且子攔截彈速度遠遠大于無人機速度;另一方面,中小型無人機目標機動能力本身較差,加之受限于集群編隊,短時間內可做出的機動有限,為便于后文捕獲區(qū)分析可忽略目標機動因素。另外,考慮母艙對集群的探測以及子攔截彈對集群目標攔截的適宜性,要求母艙飛至“釋放點”前需與集群處于同一高度且速度方向對準集群(此處不展開討論母艙制導問題),因此子攔截彈初速度應為水平且指向集群方向。基于以上分析做出如下假設。

假設 1子攔截彈釋放后的初始速度水平且指向無人機集群方向,子攔截彈攔截目標階段,目標速度沿水平方向且不發(fā)生機動。

3.2 子攔截彈捕獲區(qū)分析

用導彈速度前置角γ與目標速度前置角η對捕獲區(qū)進行描述,下面給出捕獲區(qū)的定義。

定義 3捕獲區(qū)定義為以目標速度前置角η為橫軸、導彈速度前置角γ為縱軸構成的坐標平面ηOγ內的一個區(qū)域S。目標不發(fā)生機動的條件下,只要導彈與目標的初始狀態(tài)(γ0,η0)處于S區(qū)域內,導彈即可在有限時間內成功攔截目標。

制導律的作用是將處于捕獲區(qū)內的導彈導引至零控攔截狀態(tài),捕獲區(qū)分析建立在確定了制導律且已知零控攔截條件的基礎上,因此先對零控攔截條件與制導律進行分析。

定義 4零控攔截條件定義為導彈與目標之間的一種理想相對運動狀態(tài),對處于該狀態(tài)的導彈不施加任何控制指令即可在有限時間內成功攔截目標。

定理 1在目標不發(fā)生機動的條件下,在目標與導彈速度比ρ=VT/VM<1時,零控攔截條件為γ=arcsin(ρsinη)。

規(guī)定目標速度前置角的取值范圍為η∈[-π,π]。定理1描述的零控攔截條件如圖7所示(ρ=2/5時),圖中藍色部分對應順軌攔截狀態(tài),紅色部分對應逆軌攔截狀態(tài)。

圖7 零控攔截條件Fig.7 Zero control interception condition

證明(1) 當η∈[0,π/2]時,導彈以圖8所示彈目幾何關系零控攔截目標。

圖8 彈目相對幾何關系(1)Fig.8 Missile-target relative geometric relation(1)

(2) 當η∈[π/2,π]時,導彈以圖9所示彈目幾何關系零控攔截目標。

圖9 彈目相對幾何關系(2)Fig.9 Missile-target relative geometric relation(2)

該條件下存在A點近軌攔截與B點遠軌攔截兩種情況。

故當η∈[π/2,π]時,零控攔截條件為γ=arcsin(ρsinη)。

(3)當η∈[-π,0]時,同理可證零控攔截條件為γ=arcsin(ρsinη)。

觀察幾何關系易得到,η∈[-π/2,π/2]時對應順軌攔截,η∈[-π,-π/2]∪[π/2,π]時對應逆軌攔截。

證畢

設定子攔截彈以PPN(見式(13))作為制導律。

(13)

由假設1可知,aT=0,代入式(9)可得

(14)

對式(10)求一階導并代入式(14)可得

(15)

將式(13)代入式(5)可得

(16)

對式(6)求一階導,并將式(15)、式(16)代入可得

(17)

對式(17)等式兩邊求積分得到

γ=(1-N)(η-η0)+γ0

(18)

由式(18)可知,在PPN的作用下,導彈速度前置角γ與目標速度前置角η呈線性關系,在ηOγ坐標平面內,彈目速度前置角從初始狀態(tài)(η0,γ0)開始沿斜率為(1-N)的直線變化。

基于以上分析,可得到子攔截彈攔截無人機目標的捕獲區(qū)。

定理 2在滿足假設1且目標與導彈速度比ρ保持不變的條件下,導彈以PPN為制導律,捕獲區(qū)可表示為

CR=L1∪L2∪L3∪L4

(19)

式中:

L1={(η,γ)|γ=η+π,-π≤η≤η1}

(20)

L2={(η,γ)|γ=η-π,η5≤η≤π}

(21)

L3={(η,γ)|γ=η,0≤η≤η2}

(22)

L4={(η,γ)|γ=η,η6≤η≤0}

(23)

η1,η5,η2,η6分別解方程組(24)～(27)得到:

(24)

(25)

(26)

(27)

為便于理解,將定理2描述的捕獲區(qū)在ηOγ平面內表示為圖10中L1,L2,L3,L44條綠色線段所在區(qū)域。

圖10 捕獲區(qū)Fig.10 Capture region

證明(1) 子攔截彈逆軌攔截目標時。由假設1與圖5可知,子攔截彈攔截目標的初始狀態(tài)僅可能為直線γ=η±π上的某一點,求解捕獲區(qū)即分析直線上哪些點(η,γ)可在制導律的作用下達到零控攔截條件γ=arcsin(ρsinη)。

在圖10中的黃色區(qū)域S1(包含邊界)內,有-π≤η≤0、γ≥arcsin(ρsinη),結合式(12)可得

(28)

由式(15)可知:

(29)

結合圖10可知,在η∈[-π,0]范圍內,有且僅有處于L1區(qū)域的彈目狀態(tài)可最終進入逆軌攔截條件,易知(η3,γ3)=(-π/2,-arcsinρ),由此可以得到(η1,γ1)為已知直線γ1=(1-N)(η1+π/2)-arcsinρ與γ1=η1+π的交點。由此可證L1為η∈[-π,0]范圍內的逆軌攔截捕獲區(qū)。

同理可證L2為η∈[0,π]范圍內的逆軌攔截捕獲區(qū)。

(2)子攔截彈順軌攔截目標時。由假設1與圖6可知,子攔截彈攔截目標的初始狀態(tài)僅可能為直線γ=η上的某一點。

結合圖10可知,在η∈[0,π]范圍內,有且僅有處于L3區(qū)域的彈目狀態(tài)可最終進入順軌攔截條件,易知(η4,γ4)=(π/2,arcsinρ),由此可以得到(η2,γ2)為已知直線γ2=(1-N)×(η2-π/2)+arcsinρ與γ2=η2的交點。由此可證L3為η∈[0,π]范圍內的順軌攔截捕獲區(qū)。

同理可證L4為η∈[-π,0]范圍內的順軌攔截捕獲區(qū)。

證畢

3.3 子攔截彈“釋放點”選擇

子攔截彈“釋放點”應在滿足4個約束條件的基礎上進行最優(yōu)選擇。

(1) 可攔截性約束分析

在捕獲區(qū)的基礎上,尋求最近的釋放距離。為便于分析,畫出集群在YOZ坐標平面上的截面圖,如圖11所示。圖11中,D為子攔截彈與集群威脅“重心”的水平距離,Rmax為集群最大半徑。

圖11 無人機集群剖面圖Fig.11 Sectional view of Unmanned Aerial Vehicle swarm

由圖11可知,在集群散布空間一定的情況下,子攔截彈速度前置角γ越大,對應的彈目距離D越近。設母艙全部釋放子攔截彈且子攔截彈完成目標跟蹤所需的總時間為t,即釋放子攔截彈t時長后子攔截彈開始進行制導攔截。則得到子攔截彈在捕獲區(qū)中最大的速度前置角γmax后,可用下式計算可攔截性約束條件下的最近釋放距離Dmin1:

(30)

捕獲區(qū)L1、L3與L2、L4實則為對稱的兩種情形,計算γmax時只需分析L1、L3即可。

(2) 母艙探測視場角約束分析

當母艙導引頭視場角φ固定時,“釋放點”距離集群越近,導引頭視場對集群的覆蓋范圍越小。當母艙導引頭視場恰好能夠覆蓋集群時,對應母艙探測視場角約束條件下的最近釋放距離Dmin2,可用下式求取:

(31)

(3) 母艙探測距離約束分析

作戰(zhàn)環(huán)境確定后,母艙導引頭有效探測距離Dmax隨之確定。母艙在釋放子攔截彈之前需確保已捕獲目標,因此母艙探測距離約束下最遠釋放距離應小于Dmax。

在約束條件(1)～(3)的基礎上,結合約束條件(4)得到可行釋放距離區(qū)間(Dmin,Dmax)。

綜合考慮子攔截彈攔截適宜性和母艙探測能力與距離之間的關系,建立如下效益函數(shù)F:

(32)

使效益函數(shù)F取得最大值的D即為最佳“釋放點”與集群威脅“重心”的距離,由此可得“釋放點”位置。

4 仿真分析

假設前沿部署的情報系統(tǒng)探測跟蹤到一個無人機集群并鎖定其中10個高威脅目標,子母導彈的母艙飛行速度為500 m/s,視場角φ=15°,有效探測距離Dmax=5 km,子攔截彈以PPN律進行制導,比例系數(shù)N=3,母艙釋放子攔截彈與子攔截彈穩(wěn)定跟蹤目標所需總時間為2 s。目標信息如表1所示。

表1 集群目標信息Table 1 Target information of cluster

(1)威脅“重心”仿真

將威脅“重心”的坐標精確到個位,利用標準粒子群算法對極值進行搜索,能夠快速準確求得模型(1)的解,如圖12所示,得到集群威脅“重心”在慣性坐標系OXYZ下的坐標為(80 112,3 568,8 006),集群最大半徑Rmax=578 m。

圖12 威脅“重心”Fig.12 Threat “center of gravity”

為檢驗模型求解的實時性,用i5-8250U處理器在matlab2018a環(huán)境下,應用標準粒子群算法對該算例在相同條件下進行20次重復求解,平均求解時間為0.041 6 s,且20次均能求得最優(yōu)解?？梢宰C明,本文集群威脅“重心”計算模型能夠滿足該制導問題的實時性要求。

該威脅“重心”與所有目標的帶威脅權重距離之和f(x,y,z)=4 072。如果選取某個無人機目標作為“重心”來代表集群,minf=f(x5,y5,z5)=4 116>4 072。結合圖12可知,選取一個虛擬點作為集群威脅“重心”而不是將某個處于集群中央的目標作為威脅“重心”,如此設計的“重心”能更好地代表集群且可避免某個目標發(fā)生機動或丟失而對集群威脅“重心”產生較大的影響。

(2)子攔截彈“釋放點”仿真

情形 1順軌攔截集群

由式(26)求得子攔截彈允許的最大速度前置角γmax=68°,由式(30)求得可攔截性約束分析下的最近釋放距離Dmin1=1 233 m。同樣,求得母艙探測視場角約束條件為Dmin2=2 457 m。求式(32)的最大值,得到最佳釋放距離為D=3 340 m。

情形 2逆軌攔截集群

由式(24)求得子攔截彈允許的最大速度前置角γmax=52°,由式(30)求得可攔截性約束分析下的最近釋放距離Dmin1=1 452 m,其他約束條件不變。求式(32)的最大值,得到最佳釋放距離為D=3 371 m。

兩種情形下“釋放點”位置如圖13所示。

圖13 “釋放點”位置Fig.13 Position of the release point

以逆軌攔截為例,在距集群“重心”D=3 371 m位置釋放子攔截彈,釋放點坐標設為(45 841,3 568,8 006),仿真步長設為0.001 s,攔截效果如圖14所示,攔截結果見表2。

圖14 子攔截彈攔截無人機Fig.14 Son-interceptors intercept the unmanned aerial vehicle

表2 子攔截彈攔截結果Table 2 Interception result of son-interceptors

結合圖13、圖14與表2可知,用第3節(jié)給出的方法進行“釋放點”選取,母艙探測距離與探測角度均有較大余量,且可保證子攔截彈以較小脫靶量攔截目標。

5 結 論

本文提出的集群威脅“重心”與子攔截彈“釋放點”計算方法,解決了母艙制導“一對多”的難題,連通了母艙與子攔截彈的制導過程。設計的子母導彈攔截無人機集群的作戰(zhàn)構想與制導策略,為子母導彈攔截無人機集群提供了一種制導方案,為中遠程反制無人機集群理論提供了新的參考。

同時注意到,該攔截方案的實現(xiàn)較依賴于對集群目標的穩(wěn)定探測與跟蹤,如何進一步改進方案,以降低對探測結果的依賴程度,以及探索傳感器系統(tǒng)的部署方案將是接下來的研究重點。